精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数单调性解集合中不等式，再求集合交集即可. 【详解】由可得，故， 又因为， 所以. 故选：D 2. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义和点坐标求得解析式，即可得. 【详解】设，因为幂函数的图象过， 则有，所以，即， 所以. 故选：A 4. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系. 【详解】， 故选：D 5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 6. 已知，当取最大值时，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果. 【详解】由已知可得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号，即，， 此时. 故选：B． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再应用齐次式弦化切，代入正切值求解即可. 【详解】因为 又因为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零点. 【详解】当即时， ， 当即时，， 所以 当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点； 当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点， 综上所述函数的零点个数为4， 故选：C. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 10. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的一个对称中心 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】借助整体思想，利用正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：设的最小正周期为，故A正确： 对B：因，故B错误： 对C：因，故点是曲线的一个对称中心，即C正确： 对D：由，可得，则在上单调递减，故D错误. 故选：AC. 11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.直接验证；B.由 判断；C. 由 判断，D.由时， ，作差法判断. 【详解】因为函数， A.，故正确； B. ，易知在上递减， 所以，都有，故正确； C. 当时，；当时，，所以 ，故错误； D. 当时，， 要证明，都有， 即证明， 化简得， 即证明，即证明， 因为， 所以不等式恒成立，故D正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出即可得出的值. 【详解】由题意， 在中， ， ∴， 故答案为：. 13. 当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 【答案】20 【解析】 【分析】根据所给函数模型，由已知数据求得，然后令求得． 【详解】由已知可得， 由题意知，即， 解得， 当时， 由，得． 解得， 故答案为：. 14. 已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解. 【详解】）设，则，则，因为为偶函数， 所以，所以，作出的图象如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算出集合与集合后，结合补集与交集定义计算即可得； （2）由补集定义可得，再借助空集定义可得，解出即可得. 【小问1详解】 集合或， 当时，， 所以，所以； 【小问2详解】 由集合或和， 得， 要使，则，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系得到，再利用二倍角公式进行计算； （2）凑角法，结合正弦和角公式进行计算. 【小问1详解】 由，得． ． 则． 【小问2详解】 由，得， 所以． ． 17. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）已知点坐标代入求得，然后由求得，再把互换位置即得； （2）由的单调性解不等式． 【小问1详解】 的图象过点，则，即，∴（负值舍去）， ∴， 由得，所以； 【小问2详解】 在定义域内是减函数， 因此由得，解得． 18. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【小问1详解】 由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 19. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案； （3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. 【小问2详解】 任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. 【小问3详解】 命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 4. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，当取最大值时，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的一个对称中心 D. 在上单调递增 11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，都有 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 13. 当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要_______分钟． 14. 已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是______. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 18. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 19. 已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. （1）证明：对任意实数，，； （2）求证：是上的增函数； （3）若命题，为假命题，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $