18.2.1 矩形-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（人教版）

18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 ©第1课时 矩形的性质 ①基础在线 、知识要，点分类练 知识点2矩形的对角线相等 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相 知识点1矩形边、角的性质 交于点O,若AO=2,则DB的长度是() 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 A.2 B.4 C.22 D.4√2 形，若∠BAG=20°，则∠DAE= ( A.10° B.20° C.30° D.45 第4题图 第6题图 5.矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,如 果∠AOB=40°，那么∠ADB的度数是() A.70° B.45° C.30 D.20 第1题图 第2题图 6.(中考·杭州)如图，矩形ABCD的对角线 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB 在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长 AC,BD相交于点Q.若∠AOB=60,则能 为半径作弧，交x轴的正半轴于点M,则点M （) 的坐标为 ( 2 B.3-1 C.3 A.(5,0) B.(10,0) 2 2 D③ 3 C.(w5-1,0) D.(/10-1,0) 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连 于点O,点E是边AD的中点，点F在对角线 接BE,EC.求证：EB=EC AC上，且AF=}AC,连接ER.若AC=10, 求EF的长 第十八章46 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜13.（重庆月考）如图，在矩形ABCD中，E为AD 边的一半 上一点，连接BE,CE,∠ABE=45 8.【新考法】（中考·株洲）一技术人员用刻度尺 (1)如图①，若BE=3,2,BC=4,求EC的长： (单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所 (2)如图②，点P是EC的中点，连接BP并延 示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点， 长交CD于点F,H为AD上一点，连接HF, 点A,B对应的刻度为1,7，则CD=() 且∠DHF=∠CBF,求证：BP=PF+FH A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 图① 图② 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D 为线段AB的中点，则∠BCD= ②能力在线沙方法规华茶念装… 10.(广州期中)如图，四边形ABCD是矩形，连 接BD,∠ABD=60°，延长BC到点E使CE =BD,连接AE,则∠AEB的度数为( A.15°B.20° C.30° D.60 第10题图 第11题图 11.(中考·台州)如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过 3 点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为 拓展在线》，化拔尖提开练 14.(中考·滨州)如图，矩形ABCD的对角线 12.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段 AD,E,F分别是AC,BD的中点，EF=2,则 OB,OA上的点，若AE=BF,AB=5,AF= AC的长为 1,BE=3,则BF的长为 47探究在线八年级数学（下） ©第2课时 矩形的判定 基础在线》知识点分类练… 求证：四边形ADCE为矩形. 知识点1有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD= BC,若再补充一个条件，如∠A= 度时， 就能推出四边形ABCD是矩形 D 知识点3对角线相等的平行四边形是矩形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上 5.(惠城区模拟)如图，□ABCD的对角线AC和 的中线，四边形ADBE是平行四边形.求证： BD相交于点O,△OAB是等边三角形.求证： 四边形ADBE是矩形 口ABCD是矩形， ②能力在线》方法规体综合殊 6.(中考·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC, 知识点2有三个角是直角的四边形是矩形 AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩 3.如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，若再 形的是 添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形， A.AB∥CD B.AD=BC 条件是 (写出一种情 C.∠A=∠B D.∠A=∠D 况即可). 7.(衡水二模)依据图中所标数据，下列一定为矩 形的是 ) 4 4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，AN是△ABC的外角 A.①② B.①③ ∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为E. C.②③ D.③ 第十八章48 8.(中考·岳阳)如图，点M在□ABCD的边AD 10.已知：如图，BE,BF分别是∠ABC与它的邻 上，BM=CM,现有以下三个选项：①∠1= 补角∠ABD的平分线，AE⊥BE,垂足为E, ∠2：②AM=DM:③∠3=∠4.请从中选择一个 AF⊥BF,垂足为F,EF分别交边AB,AC于 合适的选项作为已知条件，使口ABCD为矩形. 点M和点N. (1)你添加的条件是 (填序号)： 求证：(1)四边形AFBE是矩形： (2)添加条件后，请证明□ABCD为矩形. (2)MN∥BC. M 9.(中考·新疆)如图，AD和BC相交于点O, ∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,点E,F分别 是AO,DO的中点， (1)求证：OE=OF; (2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是矩形. ③拓展在线沙持我报尖提升袋… 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6, AC=8,P为边BC上一动点(P不与点B,C 重合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M 为EF的中点，则AM的取值范围是() A号AM B.6≤AM8 cg≤AM<8 D.3≤AM<4 49探究在线八年级数学（下）,∠E=∠AKB+∠AE,∠AD=∠D+ 义，=泥，，言边形EF是平行国边形： ∠AE-a0.AE-是DE=之 点P是℃的中点，P= ∠ACE,∠ACB=∠D,∠CE-∠AM L四边形A(D是半打月边形 ∠-∠PC, 又”C=AC.E=DC.△Ea△A(D ADYNC ADm,DE-AE==至-2，a. 在△EG相△P菲中， ∠EG=∠CPB, 点=aPF-吉An ∠EA0=∠F10 S.AD-3X2,3-63. EP-CP. :0为AC的中点，÷0M=0 Ii,:图，延长AE交C于点F,延 △E0△CPIAAS.六HPnGiP 拓源在线 在△E相△(F中， 长AD交C于点G ”'∠DHE=∠CBF,∠CIFm∠G 14.(1)道接D交AC于点O. ∠E=∠O, :HD是∠A度C的平登线.BD ∠DHF=∠FH=F :国动形AD为平行图边 2M=, GP=PF+FGPF+FR. 形，.一 ∠E=∠(XF, 二A=倒一，点段是G的中点. BP=PF+FH. E-EF. △ME2△FA8M) 具用，LP=AC-5,点B是AF的中点， 挺展在线 ,是为△DF的中核线 f=月 D是△AG的中位线，F=一C=7=5= 16. DF/AC. 同用，可征O:=W ---T-6-1. 第2跟时烁形的判定 (2)国边形A议D为平村国边思，六A=4无 国边思PH是平行程边形 基建在线 是为△BDF的中位线 阶段测厚18,1川 DE-×(-BF-GO-是×3-g 0EDE,∠F=∠AEB=6幼 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D -1》=2,即DE2, 三AH=A,AD是C由上的中线.AD 气AD仪答影不味一)元51包 1%.2特城的平行四透彩 ∠ADH=00, :∠DGF-,,∠F=3,.DF=3F 1&2.1矩形 又图边意AD证是平行程边形， AE-(E-(-(-OE)-0-DF -2F 10.(0,-6)减(0，-2减40.6m11.4 第】课时是形的盾 国边意ADBE是矩形 微专是“平行国垃形的证明思路 1以，”再造冠AD是平行再边后， 蒂圈在丝 ,∠A0(容墨不曜一) 1.AB/DE. ..OD-OB.OA-OC.ABWCD 1.B2.D A.:AH-C.AD是∠BC的平分线， ∠DPO=∠EO,∠FLD=∠EB2 3.:四边形A以D是是思， .AD1HC.∠BAD=∠CAD ∠目■，∠DEF ACDF,∠AB∠ 在△x)相△B中， AB=D,∠A=∠DT, ∠ADC=阳 BECF. ∠DF)=∠， :E是AD中点 :AN为△AHC的外角∠CAM的平分线 ∠FDX■∠E AEDE .∠MAN-∠CAN,.∠DME-0 BE+EmC下+E母CaF ODOB. 在△BAE与△DE中， :军1AN,∠A-.四出形AAE为矩B 在△AC和△DEF中： 4△7公△EXAA5) AB-DC. 3,:△AB为等边三角形. ∠B-∠DEF /A=广D=0, .= 以”=F, .0F= 又：4A=,,访形A以F是平行置边形 AE-DE. :国边形A以D是平行图边形， ∠AGH-∠F. △AH2△DEFA8A).AB-DE 1口.(1蛋明：：四边形A以D是平什四边形， ,ABa△CDEYSAS. 0B=004=0D AD/BC.AD-BC. EEC. 2.AC-BD. :AB∥呢.四边形AED是平行国边形， 2,(11:点D.E分别为AB.AC的中点. 4∠A=∠EHF, t.55.D6.0 .平行国迹彩A(D为师思， AF-CE.DE/BC ∠ADE=/BFE 点E是AB志的中点，A-BE 元，在电那AD中d0C-号ACC--10, 能力在线 4.C7,C 在△EF与△AED中 CE-AE. △AD2△直AAS.,AD=F AF-子AC A.1》① (2显明：周边形A议D是平行边形 ∠CEF-∠ABD. 是，AD=,君F=仪C F-DE. (2)”属边和ACD是平行网边形。 AF=二2点F为D第中高 .ABDC.AB-DC. ,.∠A十∠D=1 ,△Ea△AED ABD.AB=CB∠DF-∠BEF 又点E为边AD的中点，EF为△D的中位线 在△A时和△LM中 (2由《1)证得△EF9△AE, D店1AB.÷∠EF=0.∠DF=0 DE-A8,∴，DB=m F-o0-- AB-l,∠1=∠2，N-CM :∠A=∠E.DCf ,△DE是等颗直角三角形. 8.B9.0 .△Af@△8As)..∠A=∠ 由41)知，DFC 闪边形D下是平行网边形 ∠DC-∠E=4.∠FT-1 .∠A-∠D=0 能力在线 3.习边形1做CD是平行四边形， 14,(I正用：ADLAB,AD1D,CDAH ,巴AD为新形.答老不性一司 1nA112.g12.4 4F-∠HEF 3.(1∠A=∠x0=90, CD■AB,AD=∠DAB=∠D 【X1),国边形AD量都形。 ,.AB8(队∠A=∠D 又△ADE和△CF得是等边三角形， CF=EF,∠D=∠E ∠A=∠-0，A=(TC-AD-4,AD 在AA出与△xC中， ,DE=AD=AE,CFa BFa,∠DAE=∠BCF △CFa△EFCASA). :∠AE一，六，△AE是等顺直角三角形. ∠A=∠D,∠A倒)-∠DX,OB=C, 4 CD HE. ,E一3反，.山匀量定理易得4-AE一 ,AA应A装AA51.,A=【以 BFDE.CF-AE. :料边形以DE是平行网边用， ED-AD-AE-1 点EF分荆是，D0的点， ∠DF-∠D-∠HF.∠HAE=∠DAB (2由《1)可期，四边形CE星半行国边聪， ∴.■，D+EDm16 ∠DAE,∠F=∠BAE .F=F,∠D=∠8ED=20,BE-CD= 0E=。球=2E=0 CD-AB. G是D的中点，是△DE的中位线. 2)证明，超茶BF交AD陶 (2)(B(元，EmF. 在△DF和△BA5中， ∠DxF=∠AE E=2Um2×2=4, 延长浅于点G,如圆所示 AG/BC. 再边期BFF是平行料边形 CF-AE. 在R:△ADE中.DEm4∠AED='一∠BFD ∠G=∠PC .△Pa△HAER8AS,DF=BE “∠A-0.0B-0A-0E 探究在线·八年级数学（下 21 =4汇，(=0非，=F ,∴.△AB出2△ADAA) 由口知，AD-CF, AC⊥电，.∠=0.三找)为电港 “,四边形ECF是年形. AE-AF ADF,∴四边形ADF是平行四边B AC-D.则-D.X-ACOB- 10.1山E,HF分期是∠ABC与它 (2》“图边形AD是克形，，∠B+∠AD=1 ?点D是AB的中点，AD BD 的邻补角∠AD验平分线， 自∠B=0, 又AE-E,.DFH ”更用气)为正方形. ∠1=∠2.∠3=∠4 ∠AAD=10 :ACCH,,AC⊥DF 14,(证明：图质示，过.点B作 :∠1+∠+∠3+∠4m10. 又？∠1EBm0,∠H=G,∠BAE=0 二四边形ACF是菱形 ⊥D于点M,EN⊥C于点X ∠9十∠3=0，再∠EBF=0 南I)矩，△ABEQ△ADF 拓展在线 ”男边形A做D是正方无： AFI BE.AFLBF. ∠HAE=∠DAF=3, 1名1)证明：”折叠条片悦H点靠在边1D上的E处， ,∠Ai=∠AC .∠AFB=∠AEH-00月 ∠EAF-120-3-10=0, 所箱为0， EMLLCD.EN LBC.EMEN. ,因边形AFE为跑形 “△AEF是等边区角形 六点B与点E关手阳时韩 ∠C-∠ENC-∠BCD=Do', (2)四边形AFEE为矩形 品∠AF=8 PB=PE,BF=EF,∠PF=∠PF 边君E1V是期形，占∠店X■0 ∴，HM24e1E 拓展在线 又”EFAB,∠IPF=∠EFP 图迹形DG是期形，÷.∠D站F= ∠2-∠5 14.10减o ∠EPF=∠F下P ∠DEM=∠FEN ∠2=∠1.∠1=∠3.M压 氧2保时夏衫的料定 EP-EF.-BF-EF-EP. B1M=BN.∠ED=∠ENF=o, 甲MN 藏移在线 四边形中EP为菱影， ,△MD△VFCASA),ED=EF 范需在线 1.B2.B 11,A 3点D,E,F分财是AB,AC,的中点： (2 m 矩形DFG是正方形 (2)8 1R,22菱形 LDE&CF.DE-BC.DF/CE.DF-AC. 1821正方形 斯展在线 第「第时荒型的性嘴 基侧在线 15.(103(2),13 基码在线 四边形DEF是平行四山无 1.C133.后.133 1,102C8.D4 :A=,D呢=DF 微专量5正方形中的三大模园 i,”四边形ABCD是菱形， 因国边形DF是菱形 ,四边形A黛)是正：方形， 1.A ∠BAE=∠ADF=0, .AH=AD,∠CAB=∠CAD LC 二(》过点A作AH⊥EF于点H 在△Am)阳△AD)中， ,)△A是成角三角形.理由如下： Al-AD. :四边思AD是正方形， A8-AD. :国边形AD屋平行m应慰，B0-, 在R:△BAE和R:△ADF中， 1AH=AD,∠n=∠D=的 ∴0-0地-是D- BE-AF, ∠2AB=∠4D, 片/AE=n0.∴.∠=∠AHE BA-AD. 1=AM. :EA是∠BEF的平什线： (3沿4，AB=i ,△L2k△ADF HL.AE=DF △A△Aa沿物D ,.∠AFB=∠AFH O-OB AB. .24 6,A-AD答常不唯一」 雀△ABE与△AHE中 品△B是直角三角思，且∠M带关的， 7,”因应无AD是菱形，D-4: T.YDEVAC.CEBD. ∠E-∠AHE, 《2)证明：由1)百知，∠B=0,AC上BD ,寅边形(xED是平行图边形 0m-C-号AC.0m-00-专D-.AC1BD ∠AEBT∠AEH 平行国边形A是菱形 图边形A以D是正方形· AF-AE. ”在R1△D中，∠(D=0 6H7,①5 0C-OD,OCLOD. :△ABE4△AHEAA3.六AB=AH “,GD2D=4. 能力在线 ∴0=w-7-,-2=25. 我鞋 ·@(CED为正方石 AB-AD...AH-AD. ADAB=D线=(D或∠ADH-∠D等) X,四边形A以D是更形， 在R1AAIF与R△ADP中， AC-20C4. ,∠B=∠D=∠C-o ,驾 AR-AD. 5n-AC·D-号×4石×4-6a, 1l,(1)AD=C- △AEF是等山三角形， AF-A. ADICD-BC+CD. AFAF,∠AFEF=∠AFE- ∴.Rt△AHF≌R△ADF(HI. 性力在线 F.AC-BD. +∠CEF=4 .∠AFE=∠A下D 8,A251m5111)-)州 AF-BF.CE-DF. ∠CFE=∠CEF■5 FA是∠DFE的平分线 12.1)E明，△AC@△.DFE, ,△AX1a△PTL858) ÷,∠APD=∠AB=1°一5==75 (2如图，过A作∠=∠FAD ,k=DF,∠U=∠TE :∠A=∠点.，AEIF △AEB9△AFDCAAS),.AB=AD 且G为岂边长线上-点 ACDF. (2△A置3△BD,,∠元A=∠FD退 矩用A是王方用 :国边形AD为正方形， 四边形AFDC整平行四边弗， ECDF. 整力在线 ,∠D=∠A=,AD=A以 12)18 EC=DF,因边形DE下是平行属边形. ∠ADG=得0∠A=∠D 13,1正明：，国边思AD是菱无. DF=FC. C1m,0h厚2是 在△GAB胸△FAǖ中， .AB=AD,∠B=∠B 四边形DEF是菱形 18.1)国边思B)为平行同边形 ∠GAB=∠PAD. 又”AE⊥C平点E,AF⊥D手点F, 12,(1》证明：下AB, 理由，”昌边形ACD平行四边无 ARAD. ∠AE=∠AFD=到4 ∠ADF-∠FD.∠DC-∠FA ∠A=∠D=3: 在△ABE与△ADF中： ”点E是AC的中点 ∴-M-字C.0-aD-D △GA2△FADCASA.=DF.AG-AF ∠AEB=∠AFD AE-CE h作图知，（溶=CP,BP= ∠4E+∠AF=0,∠GAB=∠FAD, ∠B=∠D, .△ADES△CFEAA5 边思出气)为平行四边把 ∠GAR+∠FAH=阳∴.∠GAF=0 AB-AD. (》当⊥时，相边形AD下是委形，证明如下： ()当AC1D,4-0时，图边形》为正方思 ∠BAF=5'.∠GA-∠FAE=5 探究在线·八年蚁学（下》