17.2 勾股定理的逆定理-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（人教版）

17.2 勾股定理的逆定理 ©第1课时 勾股定理的逆定理 ①基础在线 :汉要，点分套练 知识点2逆命题、逆定理 6.下列命题的逆命题成立的是 知识点1勾股定理的逆定理 A.全等三角形的对应角相等 1.在△ABC中，若AC=BC一AB,则 B.如果ab=1,那么a=2十5，b=2-√3 ∠ =90°. C.若a=1,则、a=a 2.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的 D.若a>b,则a2>b 是 ( 7.下列各定理中有逆定理的是 A.1,1,w2 B122 A.两直线平行，同位角相等 C.0.5,1.2,1.3 D.9,40,41 B.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一 C.对顶角相等 根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结 D.如果a=b,那么a2=b 间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 知识点3勾股数 用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直 8.下列各组数据是勾股数的一组是 角，这样做的道理是 ( A.3,4,5 B.0.3,0.4,0.5 A.直角三角形两个锐角互余 0人13影 C.1,1,2 D.13,14,15 B.勾股定理的逆定理 2)12分 9.若a,b,c为一组勾股数，则下列各组数中仍为 C.三角形内角和等于180 (3, 勾股数的是 () D.勾股定理 4) (56)8) A.a,26.3c B.3a,4b,5c 4.已知a,b,c是三角形的三边长，且满足√a一5十 C.2a,2b,2c D.a2,2,c2 (b-3)2+1c一4=0，则三角形的形状是( ②能力在线 、方法规律棕合族 A.等边三角形 B.钝角三角形 10.下列由三条线段a,b,c构成的三角形：①a= C.底与腰不相等的等腰三角形 1,b=3,c=√/10：②a=3k,b=4k,c=5k(k> D.直角三角形 0):③Wa:b:、c=13:2;④a=m2-n2,b= 5.如图，AD=4,CD=3,AB=13,BC=12, m十n,c=2mn(m,n是正整数).其中能构 ∠ADC=90°，求△ABC的面积， 成直角三角形的是 ) A.①④ B.①②④ C.②③④ D.①②③ 11.(中考·泸州)《九章算术》是中国古代重要的 数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的 计算公式：a=(m-m),6=mm,c=2(m 十n),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下 列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式 第十七章26 直接得出的是 A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 12.(郑州期末)如图，在5×5的正方形网格中， 以AB为边画Rt△ABC,使点C在格点上， 满足这样条件的点C的个数是 () A.4 B.6 C.8 D.10 16.(阜阳期末)法国数学家费尔马早在17世纪 就研究过形如x十y2=的方程，显然，这个 第12题图 第14题图 方程有无数组解.我们把满足该方程的正整 13.下列命题中，其逆命题成立的是 .(只 数的解(x,y,g)叫做勾股数.如，(3,4,5)就是 填写序号) 一组勾股数 ①同旁内角互补，两直线平行： (1)请你再写出两组勾股数：( ②如果两个角是直角，那么它们相等： ( ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等： (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的 ④如果三角形的三边长a,b,c满足a2十b2= 哲学家柏拉图曾指出：如果”表示大于1的 c,那么这个三角形是直角三角形 整数，x=2n,y=n一1，z=n2十1，那么，以 14.已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰 x,y,:为三边的三角形为直角三角形（即x, AB上一点，且CD=4,BD=3,则AD的长 y,之为勾股数)，请你加以证明. 为 15.(中考·广东)综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板。 步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等 分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角 上的小正方形： 步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方 体形纸盒。 ③拓展在线沙培代拔尖提升然 猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与 纸盒上∠AB:C的大小关系； 17.在△ABC中，CA=CB, (2)证明(1)中你发现的结论 ∠ACB=a,点P为△ABC 内一点，将CP绕点C顺 时针旋转a得到CD,连接 AD.如图，当a=60°，PA=10,PB=6,PC=8 图① 图②四 时，∠BP℃的度数为 27探究在线八年级数学（下） ©第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 ①基础在线》知识受点分类然… 知识点2勾股定理及其逆定理的综合应用 4.如图，在△ABC中，BC=3,AC=4,AB=5,点D 知识点1勾股定理的逆定理的应用 是AC的中点，连接BD,则BD的长为() 1.如图，某中学有一块四边形的空地ABCD,学 A.13 B.25 C.3 D.4 校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°， AB=3 m,BC=12 m,CD=13 m,DA=4 m, D 则这块四边形空地的面积为 m2. 北 第4题图 第5题图 12 km 5.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10, B 6/3 km A AD为△ABC的角平分线，CD= 第1题图 第2题图 6.如图，在△ABC中，AB=2√3，AC=6,D是 2.A,B,C三地两两之间的距离如图所示.若B 地在A地的正西方向，则C地在B地的 BC上一点，AD=√10，CD=2,求∠B的 方向. 度数 3.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C,河边 原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某 种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为 方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D (A,D,B在同一条直线上)，并新修一条路 CD,测得CB=6.5千米，CD=6千米，BD= 2.5千米.求证：CD⊥AB. ②能力在线》方法规律解合练 7.如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连 接BD,若AB=20,BD=15,BC=12,CD=9, 则AD= 第十七章28 8.(教材P33例2变式)如图，有一艘货船和一艘 10.(京山期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC 客船同时从港口A出发，客船每小时比货船 =90°，AB=3,BC=4,CD=5,DA=5√2. 多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船 (1)求△BCD的面积： 沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B (2)求BD的长 处，客船到达C处，若此时两船相距50海里， 求客船航行的方向。 北 9.如图，在四边形ABCD中，AD=2w2,CD=2, ∠B=30°，过点A作AE⊥BC,垂足为E,AE =1,且E是BC的中点.求∠BCD的度数. ③拓展在线沙塔优提尖提升练… 11.如图，在正方形网格内，A,B,C,D四点都在小 方格的格点上，则∠BAC+∠DAC=() B A.30° B.45° C.60° D.75 29探究在线八年级数学（下） 微专题3利用勾股定理解快最短路径问题 类型①平面中的最短路径问题 单位：cm 50万 1.如图，△ABC是等边三角形， AB=6,N是AB的中点，AD 是BC边上的中线，M是AD D 上的一个动点，连接BM,MN,则BM+MN 第3题图 第4题图 的最小值是 4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 2.如图，小明家在一条东西走向的公路MN北 分别是50cm,30cm,l0cm,A和B是这个台阶 侧200米的点A处，小红家位于小明家北侧 的两个相对的端点，A点有一只壁虎，它想到 500米(AC=500米)、东侧1200米(BC= B点去吃可口的食物，请你想想，这只壁虎从 1200米)的点B处， A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需要爬 (1)小明家离小红家的距离AB= 米 cm. (2)现要在公路MN上的点P处建一个快递 5.(中考·广安)如图，圆柱形玻璃 驿站，使PA十PB最小，请确定点P的位置， 杯的杯高为9cm,底面周长为 并求PA十PB的最小值 16cm,在杯内壁离杯底4cm的 点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯 外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的 点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走 的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) 堡型③数形结合求最值 6.如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B, D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知 AB=2,DE=1,BD=8,CD=x. 类型②几何体中的最短路径问题 图① 图② 3.如图，在长方体ABCD一EFGH盒子中，已知 (1)用含x的代数式表示AC+CE的长为 AB=4cm,BC=3cm,CG=5cm,长为10cm 的细直木棒J恰好从小孔G处插入，木棒的 (2)AC+CE的最小值为 一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点I在 (3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在网 长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最 格（图②）中构图并求代数式√x2+1+ 小值为 √/(3-x)+4的最小值为 A.(10-5/2)cm B.3 cm C.(10-4/2)cm D.5 cm 第十七章30能力在域 17,2勾股定理的逆定理 ,客轴的渔度为0海里个时，则衡针的速度为1n 围PA+PB的量小值为1e米 10,B11D12.B 第1课附每段定理的延定理 为里/小t. 3.AL130.10 器1D△，AD是直角三角形. 基德在线 ”货触雅南偏东方向航打，2小时后黄智到达山 东.1》，0+8-7+，T+了出，宿 W值：由题意尾得AD-AB-HD=C-1: 1,B1C2.目L,B4D 处，客间造C处， (3》3在构图如图所不 六△B0是等边三角形，∠心=∠ 工：AD=4.D=1.∠ADC-90. AC=20×2■40特里，A=1×130里 ∠DAB=∠DBA=0 .AC=√A干7-，十-4 ∠ME ,∠DHA=∠'+∠D..∠ZD=0 在△，A仪中，A=G,Ai=13,C=1过， 又：%-50再里.品AC十A形=HC ∠A-1-∠AB-∠D=O ,+2=13。 .∠C=0”, △AD是直角三角飞. AC+BCAB. ∴.∠1F=1-0”-o°m1 421:△ACD是直角三箱形.AD一1，AC=1: 即△AC为直角区角形，且∠ACH-9, ,客轮能行的方肉为北国东0 单元场合复习（二〉勾服定理 B,连移AC.:A含L仪，B最C 丛门考点突酸 ∠ADCm51'. △AC的面积为8X262=3D 1,D2,C3,C,D5,C,0 ∴=，一AF-下-i UT,A8.A天.日 的中点： AB-AC 7.1(2)如眉所示，（答案不难一 CD-CP.CP. 能力症城 ∠CD两∠B=0 :在段朝上，点C表示的数为O aBi.C.eA画1u AC-2Ex2 点P表示的数就量无理数，3， 1.(1∠AC=∠ALCG. 在△CD中，AM,AC+CD4十4w8 14,41)如国所示：由订取定理.阴 (2蓝明，：”A且为正方用时角域，∠A以C= 品AF-A+CD,∠AD=0 S,在△LEB中，AB+■5 9行+-i. 设每个方格的边长为，则AB=,T+了=√而， ∠CD=∠AB+∠ACD=130 1011作Dw⊥C.交？猛装规 长方形A议D的面积为 ()设时间为，则在1秒钟，P AC-C-/TF-后. 于点M,如圈衡示 10×540Nm), 运动了1M,Q运动了空：格，由 A+m=A样， 则∠-e, 答：闭光透过的最大面积是的m ,南匀虞定理的适定率得△，A度是等直角三角形 3.810D11.10 延意得设=Q ∴.∠f+∠CM=e ∠AC元45 ∠AC-90,AB-3,l-6: 1名，1)△A纪是直危三角形 甲一)+-(6-名用-w. ∠AHC=∠A,BC AC=AF+-25.,AC-5. A'-5kt,C-0km.AH一5km,15十的 1m,(15.8,100,12,10 容，当1为6秒时，△PQ阳是以BP为化的等根已 AD-52.CD-5..A+CD-AD 〔2逐明：7十2=42w)+4m-1) △ACD是直角三角思，∠ACD0, .AC+=A厘，÷.∠AB=0 角形， =4w+n-2w+1 .△4C是直角三角形. 拓膜在线 ∠.ACB+∠DCI=0.∠An%∠CDM ma+21+1 15.B 在△AC阳△CD中， =4n+1) 但CDLA,∴m-号ACD-号C·C 发专量？利用勾经定程解洗折叠问园 ∠L-∠M. 1.e之9成5 ∠ACB-∠CDf .CD-AC C1km). “。表示大于」的楚数， 25 AC-CD-5. ,y于为匀酸数 容：修退的公路)的长是1口k% 1.(1)证.在正方形A仪D中，AD=AB=CD, △A2△CMDCAAS). 服心素养规开 拓展在媛 ∠D=∠B=∠C-0 ÷f-AB=3,h--4 37.150 3,x-r一2十一4P14.8=嘎12腹10,4： 有△A5新AE所童至△AFE, 界？谁时脱定理成其进化理的惊合应用 △D的底积为，D-号×1×4-8 第十八章平行因边形 AD=AF,DE=FE.∠D=∠AFE=0 基穗在镀 18,1单行国边形 2)C=3,C=4.品8M=BC+f=7 ,AB=AF,∠B=∠AP=0 1.96名正t 1气1.1平行四边形的性康 又：MG=AG,R△AHG@R1△ARGI HL》 D4-DM,T-一a L由题意知，60-1.，CD=6.C=,· 第1不时平行国动形说，角收注魔 ()'△A△AFG,GeF 拓黑在线 期？+U-42.5=或.一， 悲璃在线 11.B 设G=下G=了，期汇=一， .△D是直角三角形 1.平行四边形三.83.B4.D6.10可.4,2) E为D的中点王=D=F百J十工 微专题3 利用勾轻定理解决量超路径同是 .∠7DB=0. 7.0 .在△（段G中J十(6一=十x,解得r=县 L.3 CDLAB. 乐.(》：网边那ACD是平打再边形 ,=2, 2.1)1300 AD/BC.ADBC. 1.A5.3 .(1正用：由题意如，AP=CF,AE=E,∠AFE [2)如图，作点A美于直线MN的 东在△，ACD中，A+=6+4=0,AD=10, ∴∠DMF=∠BCE 对称点A',连接B交MN于点 ∠E. 在△ADF与△CHE中： A+V票AE. P,则点严即为所求 :有边形AD是起方形， ∠ADF=∠CBE. ∠C= 此时PA'■PA, AD-CB. ADYC,∠AEF=∠CFE 做C■/B-A=2气-66 .PA十PHPA+PH,甲PA+PB的最小值为 ∠DAF=∠BCE ∠AFE-∠AEP.,AE-AF AC∠Ba∠MCm45 AB的长. .△ADF≌△CBFA5A AE-AFEa下 能力在线 山画意知，AD=AD=0米，∠ACB-0', AAF-CE. (21由题意包，AE一羊L 7.7 ,AC=AC+AD+A'D=G00+00+200=00米， .AF-FF-CE-EF 由∠D-知，D+D=E, (设客船的速度为4：表里/小时，期货密的泡度为：舞 在R△A中，∠ACB=0, AE-CF 博+-a. 里/小时，由道意，得 A=A十=00+100g=22500@ (2)△ADF2△CBE 5,A43E-1 AB0,5AB-1506米) .∠AFD=∠E 探究在线·八年级取学（下》 19