17.1 勾股定理-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（人教版）

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 @第1课时 勾股定理 基础在线沙知识套点分美练 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4,2,AB =3AC,求AC的长. 知识点1认识勾股定理 1.已知a,b,c分别为△ABC的三边，下列说法错 误的是 ( A.若∠C=90°，则a2+b=c B.若∠B=90°，则a2+c2=b C.若∠A=90°，则b+c2=a D.总有a十b=c2 2.如图，直角三角形的三边上分别有一个正方 形，其中两个正方形的面积分别是25和169， 则字母B所代表的正方形的面积是( ) 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15,AC A.144 B.194 C.12 D.13 =20,CD是高. 25 (1)求AB的长： (2)求△ABC的面积： 169 (3)求CD的长. 第2题图 第4题图 知识点2利用勾股定理进行计算 3.求出下列直角三角形中未知边的长度. 13 y= 4.如图，E是正方形ABCD内的点，若∠AEB 90°，AE=3,BE=4,则AB的长为 ,阴影 部分的面积为 5.(教材P28习题T7变式)在Rt△ABC,∠A, 易错点斜边不确定时忽略分类讨论而致错 ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90° 8.若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足 (1)如果∠A=30°，a=4.则b= va一6a十9十1b-4|=0,则该直角三角形的 第三边长为 ( (2)如果∠A=45°，c=6,则a= ,6= A.5 B.5或/7 C.4 D.7或4 19探究在线八年级数学（下） ②能力在线》 方法规律综合妹 9.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成， 若正方形A,B的面积分别为8,20，大直角三 角形一边长为6，则斜边长m为 A.8 B.9 C.10 D.27 求(e】 13.如图，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB= 15,过点A作AD⊥BC于点D,求BD的长. 第9题图 第10题图 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 10.(中考·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股 题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答 定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 过程 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角 (1)设BD=x,用含x的代数式表示CD,则 形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的 CD- 直角边长为a,b,斜边长为c,若b一a=4,c (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建 20,则每个直角三角形的面积为 立方程，并求出x的值 11.(中考·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点，若BD 是∠ABC的平分线，则AD= 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D= 90°，AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心， ③拓展在线沙哮化发尖提升臻…。 大于2AC的长为半径作弧，两弧交于点E, 作射线BE交AD于点F,交AC于点O,O 14.(教材P29习题T13变式)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图 是AC的中点. 中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月 (1)求证：AF=BC: 牙”，当AC=6,BC=3时，阴影部分的面积 (2)求CD的长. 为 ( D A号 C.9x D.9 第十七章20 第2课时 勾股定理的应用 基础在线沙知识点分类 5.(教材P28习题T5变式)如图，在电线杆AB 上的点C处，向地面拉有一条10m长的钢缆 知识点1勾股定理与实际问题 CD,地面固定点D到电线杆底部的距离BD 1.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小 =6m,AB⊥BD于点B,电线杆上的固定点C 到电线杆顶端A的距离为2.5m,求电线杆的 路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一 高度AB. 条近路，已知AB=4米，BC=3米，则走这条 近路AC要走 ( A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 知识点2利用勾股定理求两点间的距离 6.(长沙期未)在平面直角坐标系中，点P(3,4), 第1题图 第2题图 则点P到原点的距离为 2.(长沙期末)如图，有两棵树，一棵高8米，另一 A.3 B.-5 C.5 D.4 棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树 7.(教材P26练习T2变式) A(4.4) 如图，在平面直角坐标系 的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 中，A(4,4),B(1,0),C(0, C0,1 0 B1,0 1),则B,C两点间的距离 A.6米 B.8米 是 :A,C两点间的距离是 ；A,B两 C.10米 D.12米 点间的距离是 3.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝 北面挖，每分钟挖8cm,另一只朝东面挖，每分 2 能力在线》方法规骤综合然 钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( 8.(教材P25例1变式)一个门框的尺寸如图所 A.100 cm B.50 cm 示，下列长×宽型号（单位：m)的长方形薄木 C.140 cm D.80 cm 板能从门框中通过的是 ( 4.(南开区期末)如图，长为8cm的橡皮筋放置 A.2.9×2.2 B.2.8×2.3 C.2.7×2.4 D.2.6×2.5 在x轴上，固定两端A和B,然后把中点C向上 拉升3cm到点D,则橡皮筋被拉长了 cm. +-lm+ 第8题图 第9题图 21探究在线 八年级数学（下） 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜13.如图，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从 靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 正方体底面上的点A处沿正方体表面爬行 0.7m,顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底 到点C,处，求蚂蚁需要爬行的最短路程， 端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离 地面2m,那么小巷的宽度为 A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m 10.(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内 运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长 2.5m,顶端A在AC上滑动，量得滑竿下端 B距C点的距离为1,5m,当端点B向右移 动0.5m时，滑竿顶端A下滑 m. 9 cm ③拓展在线 沙培优拔火提升蝶 B D 第10题图 第11题图 14.如图，A,B两个村在河CD的同侧，且AB= 11.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根 13km,A,B两村到河的距离分别为AC= 长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷 1km,BD=3km.现要在河边CD上建一水 露在杯子外面的部分至少有 cm. 厂分别向A,B两村输送自来水，铺设水管的 12.如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹 工程费每千米需6000元.请你在河岸CD上 过，旗杆从点C处折断，顶部(B)者地，离旗 选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并 杆底部(A)4米.工人在修复的过程中，发现 求出铺设水管的总费用W(单位：元)， 在折断点C的下方1.25米D处，有一明显 裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距 离杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？ 第十七章22 ©第3课时 利用勾股定理作图 ①基础在线沙知以点分类然 4… A.3 B.3-v3C.3+1 2 D.3-号 知识点1利用勾股定理在数轴上表示数 1.(丰台区期末)如图，点A在数轴上，其表示的 数为2，过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O 为圆心，OB为半径作弧，与数轴正半轴交于 第5题图 第6题图 点P,则点P表示的实数为 6.如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1， 则图中用字母表示的四条线段中长度为，0的 线段是 知识点3勾股定理与图形的计算 A.5 B.3.6 C.13 D.4 7.(吕梁期中)如图，在平面直角坐标系中， 2.在数轴上作出表示2√2的点. △OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一 象限.若OA=AB=5,OB=8,则点A的坐标是 ( A.(8,5) B.(4,5) C.(4,3) D.(3,4) 知识点2勾股定理与网格 3.如图，边长为1的正方形网格图中，点A,B都 在格点上，若AC=4区，则BC的长为() 第7题图 第8题图 3 8.(中考·重庆B)如图，在△ABC中，AB=AC A.213 AD是BC边的中线，若AB=5,BC=6,则 3 B.13 C.2/13 D.3w13 AD的长度为 易错点三角形的形状不确定而漏解 9.在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12, 则BC的长为 第3题图 第4题图 ②能力在线沙方法起律蝶合然 4.如图，网格图中小正方形的边长都是1，四边 10.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片 形ABCD的四个顶点都在格点上，四条边中 放在数轴上，纸片上的点A表示的数是一2， 长度是无理数的有 AC=BC=BD=1,若以点A为圆心，AD的 A.1条B.2条 C.3条 D.4条 长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于 5.(长阳一模)如图，在3×3的正方形网格中，每 点A右侧)，则点E表示的数为 () 个小正方形边长为1，点A,B,C,D均为格点， 以点A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线 CD于点E,则C,E两点间的距离为() -3-2-10 23探究在线八年级数学（下） A.3 B.-2+√3 14.如图①，在4×8的网格纸中，每个小正方形 C.-1+3 D.-,3 的边长都为1，动点P,Q分别从点D,A同时 11.(济阳区期末)如图，在边长为1的小正方形 出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个 网格中，P为CD上任一点，(PB十PA)(PB 单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当 一PA)的值为 ( 点P运动到点C时，两个点都停止运动，设 A.6 B.8 C.10 D.12 运动时间为t(0<1<8). D (1)请在4×8的网格纸图②中画出t为6秒 时的线段PQ,并求其长度： (2)当t为多少时，△PQB是以BP为底的等 腰三角形. 第11题图 第12题图 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段 BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，AC=2,则 BD的长度为 图①D 图② A.3 B43 C.2 3 D.23 3 13.尺规作图：在数轴上作出表示3的点. 作法： ①如图，在数轴上点A,B,C分别表示一2， 一1,0，分别以点A,B为圆心，AB为半径画 弧，两弧交于点D: ②连接CD,以点C为圆心，CD为半径画弧， 交数轴正半轴于点P,则点P表示的数就是 无理数w3, (1)判断△ACD的形状，并说明理由： ③拓展在线沙琴线接尖提开维 (2)说明点P表示的数就是无理数3的理由. 15.(无为期中)如图，在平面直角坐标系中，将 △ABO沿x轴向右滚动到△AB,C,的位置， 再到△ABCz的位置…依次进行下去，若已 知点A(4,0),B(0,3),AB=5,则点Cm的坐 标为 () A120,号 B.(600,0) D.(1200,0) 第十七章24 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 类型0 利用对称性和方程思想求折叠中 类型②利用折叠探究线段之间的数量关系 线段的长 4.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使 1.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC 点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC =4,BC=3,将斜边AB翻折，使点B落在直 于点F,连接CE. 角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD, (1)求证：AE=AF=CE=CF: 则BD的长为 (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出a,b,c A青 B.1.5 C.5 D.3 三者之间的数量关系式 第1题图 第2题图 2.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°， AC=12,BC=10,D是BC的中点，E是AC 上一动点，将△CDE沿DE折叠到△CDE, 连接AC'.当△AEC是直角三角形时，CE的 长为 堡型③折叠中的最值问题 3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边 5.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3,AD=5, CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE, 折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，折 延长EF交BC于点G,连接AG. 痕为PQ,当点A'在BC边上移动时，折痕的 (1)求证：△ABG2△AFG: 端点P,Q也随之移动，若限定P,Q分别在 (2)求BG的长. AB,AD边上移动，则点A'B的最小值和最大 值分别为 A.1和3 B.1和4 C.2和3 D.2和4 Q 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=3, 点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点 C落在点C‘处，连接BC,则BC的最小值为 25探究在线八年级数学（下）ta.1)长直形ACD的周长为2(/+丽)- 11.(1》图式=1H万.()夏式=6夜 12.(1114r 2(9十8z)=34厘(m以 小》里式-名一东.厚式=一 (2)由匀量定报，得AD=A形一拟UA一() 即1心一=1日一《14一，解得=. 容：长方形AD的风长是14m, 1,由题意，得一0,1-30，解得-1 拓展在线 (2)型买地得雪婆花骨切×[9，三×$2一(，正+ 当x一1时，y=名 R+2+百， +7 14,D 11(1目-1)门=0×(144一12)=4400无). 平 器2谋时的提定理的点用 客：的买地砖否要花绣6600元， 16.如图，连接AD,由增意知，A山=AC :为王整盘， 基毽在线 拓震在线 1.D2.C3.A4.1 14,1)53+B 则5w=5w+5n=子BDE 上原式-（叶》m 五在R:△仪D中，由句取2理，周 28-0万+，7+了 +7A,D, 枝心素养度升 C-√F一-0一-(m): -√24-8×5×标+行++2×2×年8 他4写 ,A=C+AC=8+2,6=n,(m. =一+含十刃 -AB(DE+DE). 18:(。1-万+4F,0=9F 电线杆的高度AB为10后. =(w可一7)-(-x) .已7.2五 =5一A十2十5 DE+DF-22. =10目中x=1 能力在截 m7. B×2,-12+8, 出题意知：两一十√0一-7. AAC10.0.多11.5 模专丽】二次根式的濡合运算及化算求值枝巧 酒一了一一夏-1 2.由题意可知，AC+C-8米， 1.(原式-后+车2探式-8+2 AH-3厘+区-8+2 第十七章勾股定建 ∠4=90， 17.1勾服定理 AB十A=C 〔3原式-世，6-春石 17,(1(,0+T+,06m+T-n)1 义：A山=4米， 2.(1原式一7.421原式一L3)原式-一2 (2》米成2-1+3-在+一8+m+商 第1某时与度史足 ,P+AC=8=A', (4原式-2. 一5=￥100一1=10-1=线 葛留在线 解得C=3,端议=i米 1.D2.A3,1024,51g 1,(原式一+2，家.2)复式一 (-√7- 1 +而而-+压 若下改大风将潮任做新，段顶部落地点为官， 5:104%82)3232 〔3原式-6 D点距境面AD=3一1，药=，巧米 6,设AC的长为x,则AB的长为r ,D=-1.节=2当米 ,原式=(7+1万7一1，)+(2十原)2-5)+，万 “m+/示m+/丽 在民△AC中，∠C-0, 一2+ AC+仪-AF 六=，D一AD-6米. 区-7/可-压 3.x ”电肉杆脚同丽好家范围内有敏醒齿的詹良 单元继舍复习（一）二次积式 ■4径 3,如图-蚊督爬行路程量如 原式-2+1-(+了-1 格口考点宾硫 +42)'=8Γ，幅得FH负值含去2 在R△A,中，由匀程定理，得 1.D2日3.A4.a.56.D7.1 AC2. “计.原式-场y-1- &g默-×若×2-店-2度-4g-4区 AC=,1M+X=,8+G+7 工，1由勾段定理，得AB-/—孩-5， 5,8(em3, 7原式-号 4)想式=3-2w6+2一43-2)m3-2g+2-1 (2△ABC的置积为×BC×A-10 答，与蚁需要和行的最想裤程为5后出 当=、1+1，y=,8, 4-25 (31山三角形约面阳公式，得 死展在线 原式-瓦(8+D1+豆 14,过点A作ABID于点E 2 g式-霜+√位×日-2- 字XABXCD-10 ..AC-DP-I km-HE'-2 km 8.H-830.3-10: A11 km'. 90而+8有-，67630+8-24=12 则0-2150-12 x=且，￥-1 AE=-BE■1km 设下密宽为xm:根到超意，群 8.B 一y4 能力在线 社点A作关于D的对称点A,连线A'君交C边于 ,当一时，可+4的量小档为 7十4)×后xo-5em. .A10.961L.a 0点，则位置0为所求水厂位置， 解科上一4点 121话明，AD8, 过点A作A'F⊥BD于点F.渊A'=AF于BF 现，原式-一)-4， ∠FAP∠队 =+=2第. 鉴：横断着常冠的下底宽为4，空m 11.+y0,0,六.0，<0 10(1》当h=8米时. ∠OF=∠C出，N=(K .AB-5 “原式-…反+· -而- △FM2△XASA), 罪W6×日G003的006元 AFB 位销设水靠的总变用为团00元. =-1v5 (2这个玩具产生约为罐会估害到楼下的行人 4)逢接FC,根据题度，周 嘉多课时州烤自贬凳理作困 =-45. 理由，当一4时4一V B柔直平登AC, 基健在线 龄段测浮116.1一16,3) AF-CF. 1.c ,BBn,书5D容-号3， 解得本=7.L 由1)如，AP-C-3. 2如图，点A即为所求 10×0,1×78,4=78,4D6防 CF-AF-3. 厅原%9后 “这个式具产生的动能会伤害到楼下的行人 FD=AD-AF=4-1=1. 在△FIC中，∠=0.D+D=CF 11.8×10ms12.27+16513.2 V+-,D-2 3.A4,1B五，B4,AD7,4,14项 18 -探究在线·八年蚁学（下》 能力在域 17,2勾股定理的逆定理 ,客轴的渔度为0海里个时，则衡针的速度为1n 围PA+PB的量小值为1e米 10,B11D12.B 第1课附每段定理的延定理 为里/小t. 3.AL130.10 器1D△，AD是直角三角形. 基德在线 ”货触雅南偏东方向航打，2小时后黄智到达山 东.1》，0+8-7+，T+了出，宿 W值：由题意尾得AD-AB-HD=C-1: 1,B1C2.目L,B4D 处，客间造C处， (3》3在构图如图所不 六△B0是等边三角形，∠心=∠ 工：AD=4.D=1.∠ADC-90. AC=20×2■40特里，A=1×130里 ∠DAB=∠DBA=0 .AC=√A干7-，十-4 ∠ME ,∠DHA=∠'+∠D..∠ZD=0 在△，A仪中，A=G,Ai=13,C=1过， 又：%-50再里.品AC十A形=HC ∠A-1-∠AB-∠D=O ,+2=13。 .∠C=0”, △AD是直角三角飞. AC+BCAB. ∴.∠1F=1-0”-o°m1 421:△ACD是直角三箱形.AD一1，AC=1: 即△AC为直角区角形，且∠ACH-9, ,客轮能行的方肉为北国东0 单元场合复习（二〉勾服定理 B,连移AC.:A含L仪，B最C 丛门考点突酸 ∠ADCm51'. △AC的面积为8X262=3D 1,D2,C3,C,D5,C,0 ∴=，一AF-下-i UT,A8.A天.日 的中点： AB-AC 7.1(2)如眉所示，（答案不难一 CD-CP.CP. 能力症城 ∠CD两∠B=0 :在段朝上，点C表示的数为O aBi.C.eA画1u AC-2Ex2 点P表示的数就量无理数，3， 1.(1∠AC=∠ALCG. 在△CD中，AM,AC+CD4十4w8 14,41)如国所示：由订取定理.阴 (2蓝明，：”A且为正方用时角域，∠A以C= 品AF-A+CD,∠AD=0 S,在△LEB中，AB+■5 9行+-i. 设每个方格的边长为，则AB=,T+了=√而， ∠CD=∠AB+∠ACD=130 1011作Dw⊥C.交？猛装规 长方形A议D的面积为 ()设时间为，则在1秒钟，P AC-C-/TF-后. 于点M,如圈衡示 10×540Nm), 运动了1M,Q运动了空：格，由 A+m=A样， 则∠-e, 答：闭光透过的最大面积是的m ,南匀虞定理的适定率得△，A度是等直角三角形 3.810D11.10 延意得设=Q ∴.∠f+∠CM=e ∠AC元45 ∠AC-90,AB-3,l-6: 1名，1)△A纪是直危三角形 甲一)+-(6-名用-w. ∠AHC=∠A,BC AC=AF+-25.,AC-5. A'-5kt,C-0km.AH一5km,15十的 1m,(15.8,100,12,10 容，当1为6秒时，△PQ阳是以BP为化的等根已 AD-52.CD-5..A+CD-AD 〔2逐明：7十2=42w)+4m-1) △ACD是直角三角思，∠ACD0, .AC+=A厘，÷.∠AB=0 角形， =4w+n-2w+1 .△4C是直角三角形. 拓膜在线 ∠.ACB+∠DCI=0.∠An%∠CDM ma+21+1 15.B 在△AC阳△CD中， =4n+1) 但CDLA,∴m-号ACD-号C·C 发专量？利用勾经定程解洗折叠问园 ∠L-∠M. 1.e之9成5 ∠ACB-∠CDf .CD-AC C1km). “。表示大于」的楚数， 25 AC-CD-5. ,y于为匀酸数 容：修退的公路)的长是1口k% 1.(1)证.在正方形A仪D中，AD=AB=CD, △A2△CMDCAAS). 服心素养规开 拓展在媛 ∠D=∠B=∠C-0 ÷f-AB=3,h--4 37.150 3,x-r一2十一4P14.8=嘎12腹10,4： 有△A5新AE所童至△AFE, 界？谁时脱定理成其进化理的惊合应用 △D的底积为，D-号×1×4-8 第十八章平行因边形 AD=AF,DE=FE.∠D=∠AFE=0 基穗在镀 18,1单行国边形 2)C=3,C=4.品8M=BC+f=7 ,AB=AF,∠B=∠AP=0 1.96名正t 1气1.1平行四边形的性康 又：MG=AG,R△AHG@R1△ARGI HL》 D4-DM,T-一a L由题意知，60-1.，CD=6.C=,· 第1不时平行国动形说，角收注魔 ()'△A△AFG,GeF 拓黑在线 期？+U-42.5=或.一， 悲璃在线 11.B 设G=下G=了，期汇=一， .△D是直角三角形 1.平行四边形三.83.B4.D6.10可.4,2) E为D的中点王=D=F百J十工 微专题3 利用勾轻定理解决量超路径同是 .∠7DB=0. 7.0 .在△（段G中J十(6一=十x,解得r=县 L.3 CDLAB. 乐.(》：网边那ACD是平打再边形 ,=2, 2.1)1300 AD/BC.ADBC. 1.A5.3 .(1正用：由题意如，AP=CF,AE=E,∠AFE [2)如图，作点A美于直线MN的 东在△，ACD中，A+=6+4=0,AD=10, ∴∠DMF=∠BCE 对称点A',连接B交MN于点 ∠E. 在△ADF与△CHE中： A+V票AE. P,则点严即为所求 :有边形AD是起方形， ∠ADF=∠CBE. ∠C= 此时PA'■PA, AD-CB. ADYC,∠AEF=∠CFE 做C■/B-A=2气-66 .PA十PHPA+PH,甲PA+PB的最小值为 ∠DAF=∠BCE ∠AFE-∠AEP.,AE-AF AC∠Ba∠MCm45 AB的长. .△ADF≌△CBFA5A AE-AFEa下 能力在线 山画意知，AD=AD=0米，∠ACB-0', AAF-CE. (21由题意包，AE一羊L 7.7 ,AC=AC+AD+A'D=G00+00+200=00米， .AF-FF-CE-EF 由∠D-知，D+D=E, (设客船的速度为4：表里/小时，期货密的泡度为：舞 在R△A中，∠ACB=0, AE-CF 博+-a. 里/小时，由道意，得 A=A十=00+100g=22500@ (2)△ADF2△CBE 5,A43E-1 AB0,5AB-1506米) .∠AFD=∠E 探究在线·八年级取学（下》 19