11.1.2不等式的性质 导学案 -2024--2025学年人教版七年级数学下册

11.1.2不等式的性质 学习目标 1．通过类比、猜想、验证，探索不等式的性质，能够区分不等式与等式的异同； 2．掌握不等式的三个性质，并能熟练地应用不等式的性质解简单的不等式；. 3．会准确运用不等式表示数量关系，以此渗透数形结合的思想． 学习重点：探索并掌握不等式的性质． 学习难点：运用不等式的性质解决数学问题． 自主学习 一、温故知新 1．什么叫不等式？什么叫不等式的解集？ 2．如何把不等式的解集在数轴上表示出来？ 3. 解方程的依据是什么？等式的性质有哪些？ 二、自主探究1 对于简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集.但对于比较复杂的不等式就需要探讨解不等式的方法了. 与解方程需要依据 一样，解不等式需要依据 .为此我们先来看看不等式有什么性质. 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实. （1）交换不等式两边，不等号的方向改变: 如果a＞b，那么 （2）不等关系可以传递： 如果a＞b，b＞c，那么 . 例如，y＞x，x＞－3，则 . 三、自主探究2 等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢？ 先考虑不等式两边加（或减）同一个数的情况. 用“＜”或“＞”完成下列两组填空. (1) 5＞3，5+2_____3+2，5+0_____3+0，5+(-2)_____3+(-2)； (2) -1＜3，-1+4____3+4，-1+0____3+0，-1+(-7)____3+(-7). 我们发现，不等式两边加同一个数，不等号的方向 . 由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形也成立. 一般地，不等式有下列性质： 不等式性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果a>b，那么a±c b±c. 针对练习 已知a>b,用“>”或“<”填空: (1)a-4　 　b-4;  (2)a+7　 　b+7;  (3)a-m　 　b-m; (4)b+2　 　 a+2. 四、自主探究3 我们知道，等式的两边乘或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等. 那么，不等式两边乘或除以同一个不为0的数，情况会怎样呢？ 用“＜”或“＞”完成填空，总结其中的规律. (1) 6＞2，6×5___2×5， 6×(-5)___2×(-5)； (2) -2＜3，-2×4___3×4， -2×(-0.5)___3×(-0.5). 如果不等式两边乘0，结果如何呢？ 我们发现，不等式两边乘同一个正数,不等号的方向 ；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 . 由于除以一个不为0的数等于乘以这个数的 ，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立. 一般地，不等式还有如下两个性质： 不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 . 如果a>b,c>0，那么ac bc(或). 不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 . 如果a>b,c<0，那么ac bc(或). 想一想 不等式的性质2和性质3，有什么区别？不等式的性质和等式的性质呢？ 例2 已知a>b,比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a+3与b+3; (2)-2a与2b; (3)3a-1与3b-1； (4)2-5a与2-5b. 针对练习 1.已知a>b,用“>”或“<”填空: (1)10a 10b; (2)-6a　　-6b. 五、自主探究4 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式.、 例3 利用不等式的性质解下列不等式，并用数轴表示不等式的解集： （1）x－7＞26； （2）3x＜2x+1； （3）x＞50； （4）－4x＞3. 六、自主探究5 除了不等号>，<和≠，不等号还有≥，≤. 符号“≥”读作“ ”，也可以说是“ ”. 符号“≤”读作“ ”，也可以说是“ ”. 例如，x≥3表示 或 ，即x可以取 或 的所有值. a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式类似的性质.例如，如果a≥b，那么－2x －2b. 说一说 符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与＜呢？ 例4 某长方体形状的容器长5cm,宽3cm,高10cm,容器内原有水的高度为3cm,现准备向它继续注水．用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示． 用不等式的性质解不等式的注意事项 1．在运用性质3时,要特别注意：不等式两边都乘或除以同一个负数时，要改变不等号的方向． 2．要注意区分“大于” “不大于”“小于”“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确地表达出来． 3．在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心圆圈或实心圆点． 针对练习 1．根据不等式的性质， 下列各组不等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： （1）x与2的和是非负数； （2）y的3倍不大于-9． 5.已知三个正整数a，b，c满足a＜b＜c，且++=1,求a，b，c. 6．若，，，则的最小值为多少？ 4 学科网（北京）股份有限公司 $$