第一章 4 角平分线-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

1251 我过这A作工，凳D前 义品-40+2-高i5 超健在线 7因暗 氧力在铜 延长找于出3， 5-女度+2-方a假， 下中点南直平令州找登有细隆离相等的点在线段的系 5,5.D1以D1非2w 在A中，∠A醒-， 直平分程上E一EB线量的康直平计阀上价点裤低 -2AM. 反两留筒电离相等 14,411通直平分AB,N盒直平分A ￥D有A0上的中置： 良0 AD.CE-AE SAD-CD 能力在姨 兰AE的周长AD十E-A=D十DE十 0m1,,∠pC'=∠川= 常2课时直角三商别堂等的刺风 久1g,G11,11210 =C=青m 在△DCD程△AD中， 新如在线 1生1)活副，国为AP在AB的重直平分线上一 ∠1D'=/. 1,L5A5AAA45 所以PA=.桥g∠P1厅=+ 121:n每有羊分AH.2N垂食平分4 ∠BD-∠MD4 基超在线 所以∠AC=∠PAB+CB=E∠ ,=帝0 (0=AD, 1,A名1，n43,C1 (2)租摆道意，得0一 △CQ△3 MADCAA5 7.(Al-DC HL (2AC-DB HL 所以∠BAQ=∠Q1, 二从n汇4m, AM.AB-SBC. 43)∠Ax-∠组AAs4,∠ACB=∠a'AAs 及非=.国为∠Q-∠B+∠1Q=1 拓根在棱 1,拿直角三角形 赋力在战 隋以∠HMQ=∠0=2x, 13,431是情：连德A已 1保时直角三角形的生猜和利之 5. 在△AQ中.r十2r十2ru14。 ”M是0的中夏，A解⊥CD 要组在线 ,A【第新1品巨△A应△不，.T=A甘=，元川 二AM是线反4D的期直平分线 L角(2)平方平有 1L1》F,AD议， A=AD,又UICD 三(1》直角三角形(2)平若朝半方 【01114o022 ∠-∠A ∠1-∠4 况山结论条件进2不一定》直命题通定用 ”点E为D的中点 同用，∠1=∠1 ∠ND+∠用=∠D∠E=,B∠AH=0. ACE-DE. R△A2△7 在AF与AAED中 ∠2+∠1-T∠4，得∠BAD-E∠N 102.D3.14.54m AE~CD.CE-D. 瓦1》在直角三角那中，∠=， CFB=∠AED 2AML7D,AN⊥E,∠MAN=C, AP=A9+城 :+《p,k+D=AE .∠D=3g-0-0-0=110', ∠且F=∠EA ∠B+-D-∠D-3 “”广4=A ∠HD=2∠AAN=140 2BF+=, △AC和△AC是直角三角和 (2)月-后时，点H在线度AF的停直平分线上.弹由 :A月=AC,AD=AC..AIAD “”1“eA,1t11 △是直角三角形，且∠= -6.AD-2.AB=%,1=十A. ∠AC=∠ADC=0, ：（下=AD,+下=BF,A=nF ∠A'=∠A+∠I= 1,如果，语生为制反数.厚么。十女一明 R△ABR△HL 点B在线假F的套直平分阀上： 1.4角平分线 m22 耗腿在越 第1谋时角平分底的性质度判觉 2)和两个角耳余的以角形是直角已角后，再是真命题 WHE⊥EF干点E,DF1EF干成F, 1丘.(1f明：CmA,∠EEe∠ACDm.E=亡D, 如在 。CT”7= (3对角相等的个三角形全等，真，题 △Cq△A ,相等名相等平分线 城力有线 又BE=DE,READCESRL△FtU. (2)E.△CǜCD,,∠BE=∠MD 基留在切 O B 18.H 展在 X2=∠AEF, ,CA3,C4.D3,D,15 1LC【解有】融数意.以AB为边画 1(1H1 ∠CTE+∠E=CAD+∠AEF=, 7,:PDLO4于点D,PEL于点E, :△A,能点C在棉点上，满足这作 证到：如国，过4C作G⊥AB交B ,∠AFE+∠E=,.BF⊥A 2PDF=∠P=o 作的点C有个如店图 价盘长候T点，过点下作F程⊥pE丝 :位1-D,二△Ap是等厘三身思 在△FD相和△风E中， 12.0 感的延长线干点H. 又F⊥AD. 1,间或D【解1分∠D=减A :E度-∠下，∠A二，∠罗都是纯角： PF=.DF.△PFIR△YEHl. 醚据等耀三角思”三规企一的且植，得球基规以AD ,”.2 15-∠A度-1Se-∠EF,泰Z∠4-∠FEH 的重直平异线 世P是1→点，PDA,PE⊥ 14,正0a 在△和△2中， ():F是线及D的重直平分线 ,是∠的平线， ∠CDG=∠EEH,G=∠H=,C=E 15.I先E∠DAE=∠CDM,库任△DAE2A,从 0-AE 脑力在饭 E-EBL △E的长-E+D+E=+0+E中 .Ak,A0,C1L,61g,D8@④1,1 (2)若A5.则A图 在民△程k及FH中 C4=7I,4=D. 14.0)AID, 14.AEA=1, AC4F,CG=FH,∠.A✉∠FHD=, △DE的得长CD十CB=DAB 品∠&AD十∠D1 第2课转三育形三边企直平分汽的性 :A平分∠A,F平》∠AC 有AA仪自△DEF中， 6 新划套维 ∠MID=2∠MAD 段OD=:写DE=CD=B-: ∠A=∠D.∠C=∠F,=F ∠A2=2∠AM .A1下 1. 在△军中， 2小山馆有等理)线度约座直平分线上的点翼线2 2∠AD+1∠A=18F. 自取定用，鞋广=+再一)，解得=于，见0一5， 1如图+△A仪程△0EF不全单 两端的更南用等 .∠十∠ADM=转 E4,8,00,5, 1.1战厘的看直平分线 健在性 ∠AMD=9,厚ALD 耗属在越 第课时我段直平分汽的提发定 1.D 2.B 3.PB-PC 2如幅，作N⊥D交A山于点N, 17,一1114(2直角 斯知在线 4,1国略， ()正内第色外每算道的中点上 ∠-,AB(TD.∴.wA, 二∠MB=A一9=A古， L相等2周南离集直平什线 5.A 6.A AM平分∠民4D,DM平什∠A2C, 18 一授究在线·八年级数学（下）· ∴.iM=N,ANV《M 结属在线 A-AP. :A1,1.1-0..p-8,p=a BMM.厚M为C的中点 CE 3.DEAD-AELC4.). 过点P作害工￥以 1风(1)证时，由∠IA=,道得AC .EN-EF. 1如腰8，过点A作AD1物，A民Ly轴，属足分随为山 PF压重是计到为E:下 2A)=A十A .△AE△A下，∠EAH=∠EAF E1)可E△☑△CA5,E-D,AE-UD=(E ∠1+∠2=1相 ∠EAr-号∠r- ，4=4,13.1合，一3.，94.同 ∠2+∠P0-140 形由：作Y:⊥AN于点i.CII上A ∠1-∠P 干AH,证-BH.再用(I)中结论明. 越长AM至点V,悟MNmA连德BW 在△”AF相△"F中： 屋专是3构酒全第三角形的七种鹭两方法 N为C的中点=已 ∠AEa∠FP 在△A和△MI中， ,如图，延长AD交微下点F,(相当于粹AB边肉下随蛋 1=∠, AN-NM- PA-PB. 与以应重合，A点清在F息处，折限为D小 ,E平导∠A ∠Ln=∠BN M=, ∠AE=∠TE -P为∠用的早计线，厚P平分∠ ,D1AD,∴.∠A12=∠IF= 韬根在线 立k=BN=A,∠C=∠N 1,∠C=,∠C=4 I《.()延W过点D作DE LAn于点E,如周①呢编.：AD 在△AHD阳△FHD中， 为∠数1的平线，BLA,EAB,成=，在 ∠AB-∠Fǜ ∠BAC=CEAI队 Ho-ED. 0平t∠u,4∠阅-∠ REA.ACD和R△AED中，VAD=A,CDE 在△AHN和△AD中， .k1点从7Q△A6HtI,)..A=A乙A市 ∠ADB=∠FDH■0， AIEA =.∴∠2=∠， ∠AED=:∠ACB=2∠B,∠LED2∠&又 ∠AHA=∠EAID, 0《Q0+A0-Q十A0-C寸 ∠AD=∠B+∠ED,∠=∠D.-E :∠B-∠1+∠.六∠-∠1+∠ KN-AD. 如■，止点P作D夏妇交《Q于点D,则P口 HB=C,期AB=AE十HE=MC+风， 三如丽：过点B传D⊥交F期延装浅十NG,则 ,△AIN9AEAD川SAs) ∠4,∠CPD=∠=，PD=D,∠ADP A=C+ACE则：在A山上戴AG=AC,接 ∠C0. ∠CPD+∠=4+4.：∠A'=6W.∠A 5(13下=E+【) =∠AD”:AP平分∠，，CH1P=∠A 0:,如国2年云，”AD为∠含AC前平分线，∠a1D= ∠CD在△ADG和AADC中，WAG=,∠GD= ∠2t∠市=a (2EFE+DF外然 在△ABP与△AP中，∠ABP■∠ADP,∠P :军A日.∠A机'=0 程由：短长D判贞G,使DG=E.理接从， ∠M",A=A”。 D∠AGD=∠￥∠CB=∠，∠MD= ∠1十∠.F,∠1=∠2 F∠罪+AX=W,∠A+∠Ap, AAS),ABAD.BP-PD.A+ P=D+D=A)十4D=AC使，南①2可得A十 2∠又￥∠AGD=∠I+∠GD,∴.∠B=∠DB, 在公ACD程ACG中 ar,∠B∠ADG, B=满 ng-2 1 在么E和△AG中 单元撑合复习一】三角悬的证阴 LAB-AD. ∠MD=∠= 数节中表自 △ACL2△AS4) 1.目2.B SC LC B自 AE=G,∠IAF-∠DMG ∠ADC=∠G,CD= ,点D为C的中或，∴TD队，D= :∠EAF-∠AB, 5.1售图①：2)如国心：（多如图③（算案不重一）. 落2课时角平价我的性质庭周 ,∠AC打=9，AC=BC,.∠8F= ∠F=DG+ ∠DAF=∠LAF+∠AF 研如在线 又”∠k=,∠G时∠D-∠DF=m'- ∠BAID-∠EAF-∠EF, 4,∠F∠8F AE-AG. L,一剩等2，m十h十) ABD转△GF中， 在△M家阳△AG中.∠AF=∠GAF 基稳在成 pnG. LFAF. n0,AL.1D品C131儿.7 L.0 2.C PD-PEPF 5aAE≌△F(SAS1,F=F 朝错房翼解图 4,=15元D,D7,4 F 芒-+本=听+球，.5求=+减 1,0.度或 健方在级 △BF≌△F(S45) )图D:建C作CDLr，星为D,断∠CA 3.(I,∠C-∠D-g,△和△4影是直角三角 ∠DF=G.A=∠F ∠=o 在：△AC和△1中， %,CAaC1,D话32a,受，日 人如图，显长算点H,把川一D球，莲接A利 JOC-AD. i,1证FD2H印，，得下E ∠A球-r-∠D-T,∠-∠AHH= ,∠EM=∠B F+A=2 在△A8H和△1DF中， ∠AB=∠CDM ,R△ACa△2A 1长证国，如国.过A)作DC ABAD. 在△Am)和△1D中 ∠M=∠M 于点D压⊥A于点B,4A川 LAD-CA. ∠ABH=∠D 4,2减7W5山 品AA0☑AC4D元AAS). 干点F,)平分∠AC,OD -OF. ,不正用，以上解法怎税了，（尼分渊摩直于A山，C的等 ,求⊥A,二，D=月界 4a=1,《A只 △AH△A 件，植产生，正的结是？不一定平分∠1山厂 4E,“E=F A100,m0.3-4=1,w=3 AH=AF,∠AH=∠DAF ,A0=3.CD=1,.NDO4+0= 剪二章一元一次不等式与 又ELAC,OFLAB .∠1H+∠&MF=∠AF+∠A1F 44.1 一元一次不第式组 点)在∠A的早0联上 ∠HAP=∠D= 2)架相@，注点4作A口上轴，垂是为，且点C在4若 2.1不等关系 ∠wC-+∠A DF-EF..E-F LAD,为EI)可里AACERAMAD,AE 奔△AEH阳△AEF中 BO.CE-AD. 1.←>2不 一探究在线·八年级数学下)·5一 19探究在线高强望导·学·爽 第一章三角形的证明 1.4 角平分线 第1课时 角平分线的性质及判定 新知在线 ①恰在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点 处.上述结论中，正确的有 () 1.角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 的距离 2.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，且到 这个角的两边距离 的点，在这个角的 上 基础在线 第5题图 第6题图 6.如图，已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C, 知识点白角平分线的性质 且DB=DC,∠BAC=40°，∠ADG=130°，则 L.如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC, ∠DGF= BA的垂线，垂足分别为E,F,则下列结论中错 7.如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D,PE⊥ 误的是 ( OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点，且PF A.∠DBE=∠DBF B.DE=DF =PG,DF=EG. C.2DF=DB D.∠BDE=∠BDF 求证：OC是∠AOB的平分线. 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC, BC=10,BD=6,则点D到AB的距离是() A.4 B.5 C.6 D.7 3.(越秀区实验中学期中)如图，已知△ABC中， CD是AB边上的高，BE平分∠ABC,交CD于 点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于 能力在线 A.10 B.7 C.5 D.4 8.(广东英德市期中)如图所示，在△ABC中，AD 平分∠BAC,DE⊥AB于点E,S△x=15,DE =3,AB=6,则AC长是 () A.4 B.5 C.6 D.7 D 第3题图 第4题图 知识点二角平分线的判定 4.如图，点D在BC上，DE⊥AB,DF⊥AC,且DE 第8题图 第9题图 =DF,∠BAD=25°，则∠CAB () 9.如图，AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C.AD A.20°B.25°C.30 D.50° 与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的 5.如图，已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相 大小关系是 () 等，则点P的位置：①在∠B的平分线上：②在 A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 ∠DAC的平分线上：③在∠ECA的平分线上： C.∠1<∠2 D.无法确定 19 八年级数学（下）·BS 10.如图，在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13, 15.如图.PA=PB,∠1十∠2=180. AD是角平分线，DE⊥AB,垂足为E,则 求证：OP平分∠AOB. △BDE的周长为 ( A.17 B.18 C.20 D.25 D 第10题图 第11题图 1L.如图，AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和 ∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=3cm,则AB 与CD之间的距离为cm. 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB,AC 于点M和N,再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接 拓展在线 AP并延长交BC于点D,则下列说法：①AD 16.观察、猜想、探究： 是∠BAC的平分线：②∠ADC=60°：③点D在 在△ABC中，∠ACB=2∠B. AB的中垂线上：④Sac:S△M=1:3.其中正确 (1)如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分 的是 线时，求证：AB=AC+DC: M (2)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线 时，线段AB,AC,DC又有怎样的数量关系？ D 第12题图 第13题图 13.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂 足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分 别为48和26，则△EDF的面积为 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥ CD,M为BC边上的一点，且AM平分 ∠BAD,DM平分∠ADC.求证： (1)AM⊥DM: (2)M为BC的中点. 20☐ 探究在线高堂导·半· 第一章三角形的证明 第2课时 角平分线的性质应用 新知在线 知识点●角平分线性质的应用 5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD 1.三角形的三条角平分线交于 点，并且这 平分∠BAC,若BC=15,则点D到线段AB的 一点到三条边的距离 距离等于 () 2.如图，△ABC中，∠ABC和 A.6 B.5 C.8 D.10 ∠ACB的平分线BM和CN交 6.如图，在平面直角坐标系中，AD平分∠OAB, 于点P,若点P到边BC的距离 DB⊥AB,BC∥OA,若点B的横坐标为1，点D 为m,△ABC的三条边长分别 的坐标为(0,3)，则点C的坐标是 () 为a,b,c,则△ABC的面积为 A.(0,2) B.(0,5) C.(0,v5) D.(0,w3+√2) 4 基础在线 知识点一三角形的三条角平分线的性质 0 1.三角形中到三边的距离相等的点是 第6题图 第7题图 A.三条边的垂直平分线的交点 7.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D B.三条高所在直线的交点 为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA,垂足为 C,三条中线的交点 E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE D.三条角平分线的交点 =2,则DF= 2.如图，△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20， 能力在线 30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角 形，则S△：SAm:S△n等于 8.如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别 A.1:11 B.1:2:3 平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交 C.2:3:4 D.3:4:5 BC于点D,且MD=4,则△ABC的面积是 () A.64 B.48 C.32 D.42 第2题图 第3随图 3.如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PDI AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD,PE,PF的大小 第8题图 第9题图 关系是 9.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平 +.如图，△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交 分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 () 于点O,则有∠BAO ∠CAO:若∠BCA DE=1,则BC的长为 =50°，则∠BOA= A.2十2 B.2+3 C.2+3 D.3 10.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的 中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且 DE=DF=,则线段BE的长为 () 第4题图 第5题图 A.5 B.2 C.3 D.25 21 八年级数学（下）·BS 16.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 线交于点O. (1)求证：点O在∠A的平分线上： (2)求∠BOC与∠A的关系式. 第10题图 第11题图 11,如图，直线山，2，l表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地址有 () A.一处B.二处 C.三处 D.四处 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平 分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若 △BDE的周长为6，则AC= M 拓展在线》 第12题图 第13题图 17.如图，AD是△ABC的角 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为 平分线，若AB=6,AC= 圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB,BC于 4,BC=8,则线段CD的 点M,N,再分别以点M.N为圆心大于号MN 长等于 () B 的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交 C.4 D.3 AC于点n.若∠A=0则品 A号 号 18.如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN, 14.在Rt△ABC中，∠C=90°， 点B.D分别在AM和AN上 AB=10,BC=8,AC=6.点 I为△ABC三条角平分线的 交点，则点I到边AB的距 离为 图① 图② 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的 (1)如图①，当∠CDA=∠CBA=90时，求证： 平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD AB+AD-AC: =DF. (2)如图②，当∠DCB+∠MAN=180时，(1) (1)求证：CF=BE; 中的结论仍成立吗？请说明理由. (2)直接写出AF,AB,AC之间的等量关系. 22■ 探究在线高活望导：学·案 第一章三角形的证明 微专题3构造全等三角形的七种常用方法 专题解读 类型三旋转法 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F 在进行儿何题的证明或计算时，需要在图形中 为CD边上一点，BE十DF=EF,求∠EAF的 添加一些辅助线使题目中的条件集中，能比较容易 找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解 度数. 决.常见的辅助线作法有：翻折法、补形法、旋转法、 倍长中线法、截长（补短）法、作垂线法和作平行线 法，目的都是构造全等三角形. 专题训练 类型一翻折法 L.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD ⊥BE,垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C. D为 类型二补形法 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC 点D为BC的中点，CE⊥AD于点E,其延长线 交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC= ∠BDF. 类型四倍长中线法 4.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,ADLAC, 点M为BC的中点，求证：DE=2AM. 23 八年级数学（下）·BS 类型五截长（补短）法 (1)如图①，若A(1,0),B(0,3),求C点坐标： 5.问题背景： (2)如图②，若A(1,3),B(一1,0)，求C点坐标： 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD (3)如图③，若B(一4,0)，C(0,一1)，求A点坐标. =120°.∠B=∠ADC=90°.点E,F分别是BC, CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE, EF,FD之间的数量关系. 图① 图② (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到 点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE 2△ADG,再证明△AEF2△AGF,可得出 结论，他的结论应是 (2)如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的 点，且∠EAF=?∠BAD,上述结论是否仍 然成立？并说明理由。 类型七作平行线法 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平 分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC 于点Q.求证：AB+BP=BQ十AQ. 类型六作垂线法 6.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,将 △ABC放在平面直角坐标系中，如图所示. 图D 图② 图 24☐