第一章 3 线段的垂直平分线-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

探究在线堂导·学·秦 第一-章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质及判定 新知在线 1. 线段垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离 2. 线段垂直平分线定理的逆定理:到一条线段两 r 个 相等的点,在这条线段的 第5题图 第6题图 6. 如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大 基础在线 于-AB长为半径画狐,在线段AB的两侧分别 知识点 线段垂直平分线的性质 交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线 1. 如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂 EF上任取一点P(不与O点重合),连接PA. 足为E,下列结论不一定成立的是 PB,则下列结论不一定成立的是 ) ( A.AB-AD A.PA-PB B.CA平分BCD B.OA-OB C.OP-OF C.AB-BD D. △BEC△DEC D. POAB 7. 如图,已知线段AB外两点C.D,满足CA-CB DA=DB,直线CD交AB于点O,则点O是AB 的 ,CD是AB的 线,理 由是 和两点确定一条直线;若直线CD上还 第1题图 第2题图 有一点E,那么EA与EB的关系是 2. 如图,在Rt△ABC中,B=90{*},ED是AC的 你的依据是 垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知 /BAE-10{,则/C的度数为 ) A.30* B.40” C.50” D.60” 3. 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于 点D,交BC于点E,若BC=6.AC-5,则 △ACE的周长为 () D.17 B.11 C.16 第7题图 A.8 第8题图 #### 8. 如图,D是△ABC内部的一点,AD=CD. BAD=BCD,下列结论中,① DAC DCA;②AB=AC;③BD AC:④BD平分 之ABC.所有正确结论的序号是 第4题图 第3题图 能力在线 4. 如图,在Rt△ABC中, ACB-90{},AB的垂直 平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点 9. 如图,在△ABC中,点D是边AB,AC的垂直平 F.垂足为D.若 F-30{}.BE-4.则DE的长 分线的交点,已知 A-50{*},则 BDC=( A.180” B.100* C.80。 等于 D.50* 知识点 线段垂直平分线的判定 5. 如图,AC-AD,BC-BD,则有 ) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 第9题图 D.CD平分ACB 第10题图 15 八年级数学(下)·BS 10. 如图,点K在AOB的内部,点K关于OA. 14. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD OB的对称点分别为P,R.连接PR交OA,OB 的中点,连接AE并延长AE交BC的延长线 于点C,D,若 POR-70{,则下列结论错误的 于点F. 是 ) (1)求证:CF-AD: A. /AOB-35* B. CKD-110* (2)若AD-2,AB-8,当BC的长为多少时,点 C.PK-RK D.OA垂直平分PK B在线段AF的垂直平分线上?为什么? ## 11.(贵阳中考模拟)如图,在△ABC中,BAC 90{*. ABC-2C,BE平分 ABC交AC于 点E,AD BE于点D. 下列结论:①AC-BE 一AE:②点E在线段BC的垂直平分线上, ③ DAE= C;④BC=3AD.其中正确的个 数有 C -。 B.3个 A.4个 C.2个 D.1个 第11题图 第12题图 12. 如图,在Rt△ABC中.ACB=90^},D,E是边AB 拓展在线 上两点,且CE所在的直线垂直平分线段AD.CD 平分BCE,AC-10,则BD的长为 15. 如图,在△ABC中.ACB=90 ,CA=CB,延长 13. 如图,在△ABC中,AC<AB<BC BC至点D.使BD=BA,连接AD.点E在AC (1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于 上,且CE一CD,连接BE并延长交AD于点F 点P,连接AP,求证:APC-2 B; (1)求证:ACDBCE: (2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画张 (2)求证:BF是AD的垂直平分线; 与BC边交于点Q,连接AQ,若AQC (3)连接DE,若AB-10.求△DCE的周长 3乙B,求B的度数 探究在线高居堂导·学·案 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三边垂直平分线的性质 新知在线 (2)观察各图中的点P与△ABC的位置关系 并总结规律: 1. 三角形三条边的垂直平分线 ①锐角三角形的三边垂直平分线的交点在 相交于 三角形 点,并且这一点 : 到三个顶点的距离 ②钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 2. 如图,已知线段AB一a,分别 三角形 ; 以A,B为圆心,大于AB长 ③直角三角形的三边垂直平分线的交点在 为半径画辄,两孤相交于点 知识点 M.N,连接MN,与AB相交于点D,再以点D 与线段垂直平分线相关的作图 5. 通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点 为圆心,h长为半径画孤,交射线DM于点C,连 接AC,BC.那么: 的是 ,h长为 (1)所得的△ABC是以a长为 ##4##_# 的 三角形; (2)根据作图的方法,判断△ABC是等腰三角形 C 的依据是 6. 如图,已知钝角三角形ABC,依下列步骤用尺规 作图,并保留作图痕迹 基础在线 步骤1:以点C为圆心,CA长为半径画孤①; 步骤2:以点B为圆心,BA长为半径画孤②,交 知识点一 三角形三边垂直平分线的交点 辄①于点D; 1. 在联欢晚会上,三名同学站在一个非等边三角 步骤3:连接AD,交BC延长线于点H. 形的三个顶点A,B.C位置上,他们在玩抢凳子 下列叙述正确的是 ( 游戏,要求在他们中间放一个凳子,谁先抢到凳 A.BH垂直平分线段AD 子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放的最适当的 () B.AC平分BAD 位置是△ABC的 C.S.=BC·AH A.三边上的中线的交点处 D.AB-AD B.三条角平分线的交点处 C.三边上的高线的交点处 7. 已知线段a,求作等腰三角形ABC,使AB D.三边垂直平分线的交点处 AC,且 BC-2a,高AD-a. 2. 如图,已知△ABC中,点O是BC,AC的垂直平 分线的交点,OB-5cm,AB-8cm,则△AOB 的周长是 C A.21cm B.18cm C. 15cm D.13cm 3. 在△ABC中,AB,AC的垂直平分线相交于点 P,则PA,PB,PC的大小关系是 能力在线 4. 在下列三角形中, (1)分别作出点P,使得PA-PB-PC. 8. 在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,且顶 点在格点上,在△ABC内部有E,F,G,H四个格 点,到△ABC三个顶点距离相等的点是 ) A.点E B.点F C.点G D.点H 八年级数学(下)·BS 14. 如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线OM #_## 与边AC的垂直平分线ON交于点O,分别交 BC于点D,E,已知△ADE的周长为5cm. (1)求BC的长: (2)分别连接OA,OB.OC.若△OBC的周长为 第8题图 第9题图 13cm,求OA的长. 9. 如图,在△ABC中,按以下步骤作图;①分别以 B.C为圆心,以大于BC的长为半径作狐,两 狐相交于M,N两点;②作直线MN交AB于点 D,连接CD,若CD-AC. B-25{*,则 ACB 的度数为 A.25* B.50” C.80* D. 105* 10. 如图,△ABC中,AB=AC,BC-5.S-15. AD BC于点D,EF垂直平分AB,交AC于 点F,在EF上确定一点P使PB+PD最小 则这个最小值为 - A.3 B.4 C.5 D.6 ### 拓展在线 15. 如图,在四边形ABCD中,M,N分别是CD. 第11题图 第10题图 BC的中点,且AMICD,ANBC. 11. 如图,分别以线段BC的两个端点为圆心,以大 (1)求证: BAD-2 MAN; 于BC长为半径画狐,两孤分别相交于D,E (2)连接BD,若 MAN-70{.DBC-40^{*$$ 求ADC. 两点,直线DE交BC于点F,点A是直线DE ### 上的一点,连接AB,AC,若AB=12cm,C 60{,则CF-cm. 12.(中考·南京)如图,线段AB,BC的垂直平分 线7,1。相交于点0.若 1-39*},则 AOC ## B(-8.1) ·C(0.-17) 第12题图 第13题图 13. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标 示了A.B.C三地的坐标,数据如图(单位:km). 笔直铁路经过A.B两地. (1)A,B间的距离为 km; (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路/. 并在/上建一个维修站D,使D到A,C的 距离相等,则C,D间的距离为 km. 181251 我过这A作工，凳D前 义品-40+2-高i5 超健在线 7因暗 氧力在铜 延长找于出3， 5-女度+2-方a假， 下中点南直平令州找登有细隆离相等的点在线段的系 5,5.D1以D1非2w 在A中，∠A醒-， 直平分程上E一EB线量的康直平计阀上价点裤低 -2AM. 反两留筒电离相等 14,411通直平分AB,N盒直平分A ￥D有A0上的中置： 良0 AD.CE-AE SAD-CD 能力在姨 兰AE的周长AD十E-A=D十DE十 0m1,,∠pC'=∠川= 常2课时直角三商别堂等的刺风 久1g,G11,11210 =C=青m 在△DCD程△AD中， 新如在线 1生1)活副，国为AP在AB的重直平分线上一 ∠1D'=/. 1,L5A5AAA45 所以PA=.桥g∠P1厅=+ 121:n每有羊分AH.2N垂食平分4 ∠BD-∠MD4 基超在线 所以∠AC=∠PAB+CB=E∠ ,=帝0 (0=AD, 1,A名1，n43,C1 (2)租摆道意，得0一 △CQ△3 MADCAA5 7.(Al-DC HL (2AC-DB HL 所以∠BAQ=∠Q1, 二从n汇4m, AM.AB-SBC. 43)∠Ax-∠组AAs4,∠ACB=∠a'AAs 及非=.国为∠Q-∠B+∠1Q=1 拓根在棱 1,拿直角三角形 赋力在战 隋以∠HMQ=∠0=2x, 13,431是情：连德A已 1保时直角三角形的生猜和利之 5. 在△AQ中.r十2r十2ru14。 ”M是0的中夏，A解⊥CD 要组在线 ,A【第新1品巨△A应△不，.T=A甘=，元川 二AM是线反4D的期直平分线 L角(2)平方平有 1L1》F,AD议， A=AD,又UICD 三(1》直角三角形(2)平若朝半方 【01114o022 ∠-∠A ∠1-∠4 况山结论条件进2不一定》直命题通定用 ”点E为D的中点 同用，∠1=∠1 ∠ND+∠用=∠D∠E=,B∠AH=0. ACE-DE. R△A2△7 在AF与AAED中 ∠2+∠1-T∠4，得∠BAD-E∠N 102.D3.14.54m AE~CD.CE-D. 瓦1》在直角三角那中，∠=， CFB=∠AED 2AML7D,AN⊥E,∠MAN=C, AP=A9+城 :+《p,k+D=AE .∠D=3g-0-0-0=110', ∠且F=∠EA ∠B+-D-∠D-3 “”广4=A ∠HD=2∠AAN=140 2BF+=, △AC和△AC是直角三角和 (2)月-后时，点H在线度AF的停直平分线上.弹由 :A月=AC,AD=AC..AIAD “”1“eA,1t11 △是直角三角形，且∠= -6.AD-2.AB=%,1=十A. ∠AC=∠ADC=0, ：（下=AD,+下=BF,A=nF ∠A'=∠A+∠I= 1,如果，语生为制反数.厚么。十女一明 R△ABR△HL 点B在线假F的套直平分阀上： 1.4角平分线 m22 耗腿在越 第1谋时角平分底的性质度判觉 2)和两个角耳余的以角形是直角已角后，再是真命题 WHE⊥EF干点E,DF1EF干成F, 1丘.(1f明：CmA,∠EEe∠ACDm.E=亡D, 如在 。CT”7= (3对角相等的个三角形全等，真，题 △Cq△A ,相等名相等平分线 城力有线 又BE=DE,READCESRL△FtU. (2)E.△CǜCD,,∠BE=∠MD 基留在切 O B 18.H 展在 X2=∠AEF, ,CA3,C4.D3,D,15 1LC【解有】融数意.以AB为边画 1(1H1 ∠CTE+∠E=CAD+∠AEF=, 7,:PDLO4于点D,PEL于点E, :△A,能点C在棉点上，满足这作 证到：如国，过4C作G⊥AB交B ,∠AFE+∠E=,.BF⊥A 2PDF=∠P=o 作的点C有个如店图 价盘长候T点，过点下作F程⊥pE丝 :位1-D,二△Ap是等厘三身思 在△FD相和△风E中， 12.0 感的延长线干点H. 又F⊥AD. 1,间或D【解1分∠D=减A :E度-∠下，∠A二，∠罗都是纯角： PF=.DF.△PFIR△YEHl. 醚据等耀三角思”三规企一的且植，得球基规以AD ,”.2 15-∠A度-1Se-∠EF,泰Z∠4-∠FEH 的重直平异线 世P是1→点，PDA,PE⊥ 14,正0a 在△和△2中， ():F是线及D的重直平分线 ,是∠的平线， ∠CDG=∠EEH,G=∠H=,C=E 15.I先E∠DAE=∠CDM,库任△DAE2A,从 0-AE 脑力在饭 E-EBL △E的长-E+D+E=+0+E中 .Ak,A0,C1L,61g,D8@④1,1 (2)若A5.则A图 在民△程k及FH中 C4=7I,4=D. 14.0)AID, 14.AEA=1, AC4F,CG=FH,∠.A✉∠FHD=, △DE的得长CD十CB=DAB 品∠&AD十∠D1 第2课转三育形三边企直平分汽的性 :A平分∠A,F平》∠AC 有AA仪自△DEF中， 6 新划套维 ∠MID=2∠MAD 段OD=:写DE=CD=B-: ∠A=∠D.∠C=∠F,=F ∠A2=2∠AM .A1下 1. 在△军中， 2小山馆有等理)线度约座直平分线上的点翼线2 2∠AD+1∠A=18F. 自取定用，鞋广=+再一)，解得=于，见0一5， 1如图+△A仪程△0EF不全单 两端的更南用等 .∠十∠ADM=转 E4,8,00,5, 1.1战厘的看直平分线 健在性 ∠AMD=9,厚ALD 耗属在越 第课时我段直平分汽的提发定 1.D 2.B 3.PB-PC 2如幅，作N⊥D交A山于点N, 17,一1114(2直角 斯知在线 4,1国略， ()正内第色外每算道的中点上 ∠-,AB(TD.∴.wA, 二∠MB=A一9=A古， L相等2周南离集直平什线 5.A 6.A AM平分∠民4D,DM平什∠A2C, 18 一授究在线·八年级数学（下）·