第一章 1 等腰三角形-【探究在线】2024-2025学年新教材八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版）

探究在线高增导·学·演 第一章三角形的证明 第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 新知在线 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E都在边 BC上，∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长 1.判定三角形全等的方法有 为 和 5.如图，△ABC中，AB=BC, 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ∠ABC=90°，F为AB延长线 ,对应角 上一点，点E在BC上，且BE 3.等腰三角形性质：等腰三角形的两个 =BF,若∠BAE=25°，则 相等（简称：等 对等 ).其推论是： ∠ACF= 度 等腰三角形顶角的 、底边上的 知识点目等腰三角形的“三线合一” 及底边上的 互相重合（简称： 6.(中考·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的 三线合一). 顶角平分线，BD=5,则CD等于 ()】 A.10 B.5 C.4 D.3 基础在线 知识点一全等三角形的判定及性质 L.下列判断中错误的是 ( A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 D 第6题图 第7题图 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC上的 角形全等 中点，若∠BAD=35,则∠C的度数为() C.三边对应相等的两个三角形全等 A.35°B.45° C.55 D.60 D.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 全等 中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD. 2.如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B =∠C,求证：AF=DE. 知识点二等腰三角形的边、角性质 3.(中考·临沂)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A 能力在线 =40°，CD∥AB,则∠BCD= () A.40°B.50° C.60 D.70 9.如图，点E在AB上，点D在CB上，BD=BE, 若只添加下列条件中的一个条件使△BEC≌ △BDA,则不能添加的是 A.∠A=∠C B.EA=DC C.∠BEC=∠BDA D.AD-CE 第3题图 第4题图 八年级数学（下）·BS 10.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊 16.如图，在△ABC中，AB=AC=CD,点D在BC 人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能 上，且AD=BD. 三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的 (1)求证：∠ADB=∠BAC: 棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O (2)求∠B的度数. 转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在 槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 D A.60°B.65 C.75° D.80 11.如图，在△ABC中，AB=AC,△ADE的顶点 D,E分别在BC,AC上，且∠DAE=90°，AD =AE,若∠C十∠BAC=145°，则∠EDC的度 数为 () A.17.5°B.12.5° C.12 D.10 拓展在线 第11题图 第12题图 17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线， 上的点，且AB=AE,D为线段BE的中点，过 BE-CF,则下列说法正确的有 () 点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF, ①DA平分∠EDF:②△EBD≌△FCD:③BD EF相交于点F =CD:④AD⊥BC. 求证：(1)∠C=∠BAD: A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (2)AC=EF. 13.(中考·黄冈)如图，在△ABC中，点D在边 BC上，AB=AD=DC,∠C=35°，则∠BAD= 度 第13题图 第15题图 14.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数 的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若 等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的 角平分线，若AB=13,AD=12,则BC的长为 ■2 探究在线高增导·学·演 第一章三角形的证明 第2课时 等边三角形的性质 新知在线 5.如图，41∥4，等边三角形ABC的顶点A,B分别 在直线41，l2上，则∠1十∠2= () L.等腰三角形两条腰上的中线相等，两底角的平 A.30° B.40° C.50 D.60° 分线 ,两腰上的高 6.(贵州三模)如图，已知△ABC是等边三角形，点 2.等边三角形性质：等边三角形的三个角都 B,C,D,E在同一直线上，且CG=CD,DF= ,并且每个角都等于 DE.则∠E= 度. 基础在线 知识点一等腰三角形中相等的线段 L.在等腰三角形ABC中，AB=AC,那么下列说法 第6题图 第7题图 中不正确的是 () 7.如图，△ABC是等边三角形，沿图中的虚线剪去 A.BC边上的高线和中线互相重合 ∠B,则∠1十∠2的度数等于 B.AB和AC边上的中线相等 8.如图，点P,Q分别在等边三角形ABC的边 C.顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分 AB,AC上，且BP=AQ,BQ交CP于点M,猜 线相等 想∠A与∠CMQ的大小关系，并说明理由. D.AB,BC边上的高线相等 2.如图，在△ABC中，AB=AC,下列条件中，不能 使BD=CE的是 () A.BD,CE分别为AC,AB边上的高 B.BD,CE都为△ABC的角平分线 C∠ABD=S∠ABC,∠ACE=S∠ACB D.∠ABD=∠BCE 能力在线 9.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线， 第2题图 第3题图 △ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC 知识点二等边三角形的性质应用 ②EF=FD:③BE=BD.其中正确结论的个数 3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC交BC于 为 ( 点D,若BD=2,则AC= ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 A.2 B.3 C.25 D.4 4.如图，在正方形ABCD中，△PAD是等边三角 形，则∠PBC的度数为 () A.15 B.20 C.25 D.30 A 第9题图 第10题图 10.如图，在等边三角形ABC中，∠DFE=120°， 那么AD与CE的大小关系是 (） A.AD>CE B.AD<CE 第4题图 第5题图 C.AD-CE D.不能确定 3 八年级数学（下）·BS 11,如图，在等边三角形ABC中，AD=BE=CF, 16.如图，等边三角形BDE在等边三角形ABC D,E,F不是各边的中点，AE,BF,CD分别交 外，AE与CD交于点F,求证：∠AFC=60 于点P,M,V,如果把三个三角形全等叫做一 组全等三角形，那么图中全等三角形有() A.6组 B.5组 C.4组 D.3组 A 第11题图 第12题图 12.如图，直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b 上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是 等边三角形，∠A=20°，则∠1= 13.如图，等边三角形ABC中，点D,E分别是边 拓展在线 AB,AC的中点，CD,BE交于点O,∠BOC的 度数是 度 17.在△ABC中，AB=AC,点D是BC上一点（不与 B,C重合)，以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB= AC=2,点D在线段BC上， ①求证：∠BCE+∠BAC=180°： 第13题图 第14题图 ②当四边形ADCE的周长取最小值时，求 14.如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB BD的长： 上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A (2)若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动 落在BC边上的点F处，则∠BDF十∠CEF= 时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有怎样的 数量关系？并说明理由 15,如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的 一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E, A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥ BC. 图① 图②@ 4 探究在线高堂导·学·震 第一章三角形的证明 第3课时 等腰三角形的判定 新知在线 6.已知△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°，下面 写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1.等腰三角形判定定理：有两个 相等的三角 ①.∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角 形是等腰三角形（简称：等 对等 和为180°矛盾 2.反证法的一般步骤：①假设 ②因此假设不成立，.∠B90 不成立：②由假设推出与定义 定理或 ③假设在△ABC中，∠B≥90 已知条件相 的结论：③所以 镜 ④由AB=AC,得∠B=∠C>≥90°，即∠B+∠C 误，原命题正确。 ≥180 这四个步骤正确的顺序应是 () 基础在线 A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 知识点●等腰三角形的判定 7.用反证法证明：若a,b,c是不全为0的实数，且 1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( ) a十b十c=0,那么a,b,c这三个数中至少有一个 A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A+∠B=∠C 是负数 C.∠A=55°，∠B=70° D.∠A:∠B=1:2 证明：假设a,b,c都不是 2.如图，关于△ABC,给出下列四组条件： a,b,c不全为0， ①△ABC中，AB=AC: ∴.a,b,c中至少有一个为正数. ②△ABC中，∠B=56,∠BAC=68°： ∴.a+b+c 0. ③△ABC中，AD⊥BC.AD平分∠BAC: 这与已知相 ④△ABC中，AD⊥BC,AD平分边BC. ,原命题成立 其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有 即a,b,c这三个数中至少有一个是负数. () A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 能力在线 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD, CE分别是△ABC,△BCD的角平分线，则图中 的等腰三角形有 ()） A.5个 B.4个 第2题图 第3题图 C.3个 D.2个 3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=72°，BD平 9.判断命题“如果n<1,那么n一1<0”是假命题， 分∠ABC,写出图中所有的等腰三角形 只需举出一个反例.反例中的n可以为() A.-2 C.0 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE∥BC,交 B.一2 0.2 AC于点E,若DE=7,AE=5,则AC= 10.(石家庄期未)如图，下列4个三角形中，均有 AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直 线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形 的是 ( 第4题图 第8题图 知识点二反证法 D 5.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一 A.①③ B.①②① 个内角是钝角”时应先假设 () C.①③④ D.①②③④ A.没有一个内角是纯钝角 11.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,AE B.至少有一个内角是钝角 ⊥CD,垂足为D,交BC于点E,∠B=∠BAE, C,至少有两个内角是锐角 若BC=5,AC=3,则AD的长为 () D.至少有两个内角是纯角 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 5 八年级数学（下）·BS 拓展在线 16.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,点 第11题图 第13题图 E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分 12.用反证法证明：同一个三角形中至少有两个锐 线，试判断AB,AD,DC之间的等量关系. 角，证明时应先假设 解决此问题可以用如下方法：延长AE交 DC的延长线于点F,易证△AEB≌ 13.如图，△ABC的点A,C在直线1上，∠B= △FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD, 120°，∠ACB=40°，若点P在直线1上运动，当 DC转化在一个三角形中即可判断。 △ABP为等腰三角形时，则∠ABP的度数是 AB,AD,DC之间的等量关系为 (2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB 14.如图所示，在△ABC中，D,E分别是AC和 ∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E AB上的一点，BD与CE交于点O,给出下列 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线， 四个条件：①∠EBO=∠DCO:②∠BEO= 试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证 ∠CDO:③BE=CD;④OB=OC. 明你的结论。 (1)上述四个条件中，哪两个条件可以判定 △ABC是等腰三角形？（用序号写出所有 的条件组合) (2)选择(1)中的一种条件组合，证明△ABC是 等腰三角形 图① 图② 15,(安徽期末)如图，AB=AC,AE=AD,BD,CE 相交于点O,AO交BC于点F, 求证：(1)OB=(OC: (2)AF⊥BC,BF=CF. 6☐ 探究在线高增导·学·演 第一章三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定 新知在线 长为4，求BH的长 1.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 2.三个角都 的三角形是等边三角形. 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的 基础在线 知识点●等边三角形的判定 1.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等 边三角形的是 () A.有一个内角是60° B.有一个外角是120 C.有两个角相等 D.腰与底边相等 2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形： ②有一个角等于60的等腰三角形：③三个外角 (每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形： ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角 形.其中是等边三角形的有 () 能力在线 A.①③④ B.①②④ 8.如图，D,E,F分别是等边三角形ABC三边的 C.①②③ D.②③④ 中点，则图中等边三角形的个数为() 3.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中 A.2 B.3 C,4 D.5 线，P是DA延长线上一点，当∠PBA 时，△PBC是等边三角形. 第8愿图 第9题图 第3题图 第4题图 知识点已含有30“角的直角三角形的性质 9.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点， 4.如图，AC=BC=10cm,∠B=15°，AD⊥BC交 ∠1=∠2，BE=CD,则△ADE是 () BC的延长线于点D,则AD的长为 () A.直角三角形 B.等边三角形 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm C.不等边三角形 D.不能确定形状 5.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠ACB=1:23, 10.(铜仁模拟)如图，△ABC是等边三角形，AE= CD⊥AB于点D,AB=a,则BD= () CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q, C. n PQ=4,PE=1,则AD的长是 () A号 B号 A.9 B.8 C.7 D.6 D 第5题图 第6题图 6.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平 分∠ABC,若AD=6,则CD= 第10题图 第11题图 7.如图，已知等边三角形ABC,点D是AB的中 11.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D, 点，过点D作DF⊥AC.垂足为F,过点F作 使CD=AC,连接AD.若AB=2,则AD的长 FH⊥BC,垂足为H,若等边三角形ABC的边 为 八年级数学（下）·BS 12.如图，△ABC中， ∠BAC=90°，∠B= 拓展在线 30°，AD⊥BC于点 15.如图，点P是等边三角形ABC内一点，将 D,CE是∠ACB的 △BPC绕点C顺时针旋转后能与△AMC重 平分线，且交AD于点P.如果AP=2,则AB 合，若PC=3,那么下列结论不正确的是( 的长为 13.如图，在直角三角形ABC中，CM平分∠ACB A.△BPC≌△AMC 交AB边于点M,过点M作MN∥BC交AC B.PM=3 边于点V,且MN平分∠AMC.若AN=2. C.AC⊥PM (1)求∠B的度数： D.△PMC是等边三角形 B (2)求CN的长. 16.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别 在边BC,AC,AB上，且BD=CE,DC=BF,连 接DE,EF,DF,∠1=60 (1)求证：△BDF≌△CED: (2)判断△ABC的形状，并说明理由： (3)若BC=10,当BD= 时，DF⊥BC 请说明理由. 14.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重 合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三 角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交 于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ, (1)图中，与△ACD全等的三角形是 与△ACP全等的三角形是 (2)求证：△CPQ是等边三角形. ■8 探究在线高摆望导：学·案 第一章三角形的证明 微专题1等腰三角形中的分类讨论思想 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 专题解读 腰长为6，则其底边上的高是 等腰三角形，因其边和角的特殊性，往往在解 9.已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的 决问题时需要分类讨论，分类讨论的原因归其根本 夹角为50°，求△ABC的三个内角的度数. 主要体现在两点：(1)三角形的三边需满足三边大 小关系：(2)等腰三角形的顶角既可为锐角，也可为 钝角 专题训练 类型一关于边长不确定的讨论 1.等腰三角形两边的长分别为4cm和8cm,则它 的周长为 () A.16cm B.17 cm C.20 em D.16cm或20cm 2.已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6， 类型四关于中线的位置不确定的讨论 则另外两边的长度分别是 () 10.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形 A.6和8 B.7和7 的周长分成12和15两部分，求这个三角形的 C.6和8或7和7 D.3和11 三边长. 3.在长方形ABCD中，AB=8,AD=4,P是AB中 点，Q是长方形边上的一个点，若△APQ是等腰 三角形，则PQ的长是 类型二关于角度不确定的讨论 4.一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2 倍，则这个三角形底角为 () A.72或45 B.45 C.36°或45 D.72°或90 5.若等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三 角形的三个内角分别为 6.如图，直线m与直线n交于点 类型五关于动点问题的讨论 B,m,n所夹锐角为50°，A是直 11.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的- 线m上的点，在直线n上寻找一 点，OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以 点C,使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC 个 以1cm.s的速度移动.如果点P,Q同时出发， 类型三关于高的位置不确定的讨论 用1(s)表示移动的时间，当1= 7.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这 时，△POQ是等腰三角形. 个等腰三角形底边长为 () A.10 B.310 C.10或3/10 D.4或3、10 9 八年级数学（下）·BS 微专题2特殊三角形中常用辅助线的作法 专题解读 3.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分∠BAC 交BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC.求 等腰三角形中“顶角的平分线、底边上的中线、 证：EB⊥AB. 底边上的高线”三线合一，只要知道其中“一线”，就 可以说明是其他“两线”，因此在等腰三角形中常用 “三线合一”的性质作辅助线。 直角三角形中，因为30°角所对的直角边是斜 边的一半，因此在证明线段的关系时，可构造含30 角的直角三角形简化证明过程 专题训练 类型一利用等腰三角形“三线合一”作辅助线 1.如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC =DE,∠ABC=∠AED,点F是CD的中点.求 证：AF⊥CD. 类型二巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E, DE=2,则BC的长为 D 第4题图 第5题图 5.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A= 30°，∠B=90°，∠ADC=120°，则CD= 6.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD 2.(广东龙岗期中)如图，已知等边三角形ABC ⊥BC于点B,∠ABD=30°，求证：AB=2BC. 中，点D是AC的中点，E是BC延长线上的一 点，且CE=CD,DM LBC,垂足为M. (1)求∠E的度数： (2)求证：点M是BE的中点 10温整提杀：请微完后再看污星！ 在△AE程△D中， A求半#∠以， 矿.∠气-，：△n圣等边三角形，植A,i,日 C■，ZCE∠D.CECD AC,△A是后角用 王确，C论无证 ,△AC2△1X飞A3, 根若等根三角想”三线企一”，传A产上，A产平分 161M明：A当=AC 参考答案及解析 ,∠EMC-∠-∠Ca MF-CE. ∠=C E90 拓展在线 F=D.∠=∠(hD=△BFa△A I6量AB4CTD毫于点0，证∠AE=∠由54s王 16.11AD=AN+ (2△AC是等边三角形.理由自下， △AE≌△CHD,释∠EAB-∠DL 2AB-AF+CF 第一章三角形的证期 △F≌△ED∠FD=∠CE 置∠AC+∠EB+∠成=∠AE+H+ 延明：如用华，是长AE交第的县长线T点同 :∠=∠非D+∠，∠1+∠第=∠阳+ 1,1等三角形 点E是C中EBE. ∠FD.∠1=∠Bo, 幕1课的等鞋三角到的性精 ∠A-∠A= 5An8,∴∠E=∠国 又”=∠，，∠A=∠I=∠=4，△A度'是等迪 斯加在峰 所属在城 △AEB副△无中， =角形， 1,845A84AA558552,相等相零 ∠9E-∠0 A,重角边“角平#控中找雀控 AC,AD=A5.,△AH0U@4CE,∠ADW ∠AEu=∠C, s背BD巴时，DFLC.理a如F 基婚在膜 ∠AE”△A议是等边三角形.品∠AD=∠C= BE-CE DF⊥度，∠B-,4∠FD=, ∠AI=T,∠E+∠MC=∠CA+∠+ 二，△AE8△汇∴Ai=C ∠RAC=∠'A+∠AD+∠，A=18, 二在直自三作形D中，0-学-号D 2,ASAs日么AF△DE,品AF=DE WAE是∠BAF的平什线： 1,04,570B7,C :五4X是等边三角形，且A小=AC=￥，= ∠AG-∠FAG ÷=3以 4,E∠E∠D∠B △AUD△E,D=E,图边用ADE的得长 ∠AG=∠0：∠FAG=∠.FA= +c--m.Jm-1u,0-9 能方在线 =AD+C十E+星=A十DN十D+AE= Y=《市+G,A=CF+AF 3.D19,D.D里p A反年AD量划，月AD⊥时，因边港AE的同 第4混时等政三角形转料文 微专题1等覆三角形中的分黄材论思想 01÷或号玩0 长0小，女△L是等边兰角那，DLHC 额如在线 上02，相等1.一卡 ,0,,线， 格证雨，AB=C,AD= (21∠老十∠4G=1矿厘由国 基在线 %47,0k1我3,1 LC2A15七01.C8,3 5,△AC的三角内角前度量分舞为，，暖1的， W∠A0w=∠1+∠C.∠很C=∠1+∠1. 下，m,W∠BA=∠DAE “直D是A好的中直，÷D-安- 20,2 ∠Aw=∠& .∠A=∠CA L站个三角形的三边起分端为10,10,7成8,4,1 ,AC=CD,∠1=∠ADC 又，AB=AC,AD=AE D求1C,△AD求为直角三角形 义“∠AD-∠H+∠I∠2-2∠且. △ABD△A∠A △A0为等边角B,∠A=,∠AD5=, 社号疾西 AA=∠I,./AF=∠ aF=D-1,℃-C-AP-1 微专题2特城三角形申常用辅的线的作法 ∠B河. ∠MC∠FAE,∠A1∠D 后解在酸 ∠+∠改8， 在△中，F. 花△ACI△，AED中 711?AB■AE,D为线程E的中或， 4∠CE十∠=10. 六△FH为成角三角期∠FH=3 (AB-AK. ADL∠+∠BA'=, 第3柔时羊候三扇形的料定 ∠AAC=r,∠AD∠⊙= 新妇症线 6H-p-1 ∠AB段C=∠AED 品∠=∠BA 1.角角边 △AAAFAS 2AF,∴.∠EAF=∠AE 二①聚命题销比：四基本事实不雪S限设 铜力在线 A4 AB=AE.品∠=∠AE 基秘在线 :点F是D的中点，二AFIT可 1.C2,03.△AC:△ABb.△4.1日立DD 11,I平维∠MB.MN平h∠A 2,41号△A是等边高角那， 又”ABAE,∠HC∠AFT ∠M∠CM,∠AAN∠MN .△1aLAA生A, 能力程线 MN/BC. CD=E,,∠E=∠iE AC-EE. A 0.A 11.A 品∠NP∠AT=∠N=∠Ba-∠AM 又∠R+∠证=CL 氧上球时等边三角移的性猜 12同一个三翰形中量多有一个国 △4C为直角三角 新加在性： 1a,0现减的或T 8∠县00，∠B-. 21量调，生淡D队 上相零用等工相等 1L(18点D不或g 4):∠A3nN=/0=1.∠A=0, :点D是心的中点，△A矿是等边三角卷 基建在盛 )湾①，疑谓如下，w=∠k-∠且 L,02.0三Dt45.D4.1s7.20 X:∠E)=∠K,∠(WC+∠57)=∠( ∴AV-NMN-AN- 品D平分∠C,品∠E∠E AD水盏等罐三角尼， A,∠A=∠C ∠Ol∠AC=∠AH W∠tVm∠MM,'N=AMN=L 又MLC,点是E的中点 正△QD位60得∠AQ=∠B,所以∠MQ= ,△AC是等聘三角形 141△×军△Q 2则图，作F⊥ACT直F, ∠HM十∠H=∠B十∠A60-∠A-∠A EIAB=∠LD=∠CAEAD=AE 》先△DAE,得∠AD=∠E,库 YEA-E. 密力在性 .△AIK△ACE..∠AID=∠ACF △Aa△口.着P=Q,又∠汽Q=, AAF-FC 9,A1L011.B12.群1L1到14,120 六AQ是等边三期形. AC-IAP :△AC加△是等边三®， ∠AC=∠A=∠AC=∠ACE 又MC=2AB,AFAi C=,CD=CE,∠Xl=∠ED=W, ,天=满。 5,C【解析】”△P℃绕点C明时导冀华后能么AC :A平分2HC,∠H1:=∠FA ∠A-A=2p∠CA (An-AC-AU-Adon-oC. 又AE-AE,△ANE@△AFF, 目∠0=∠ACE. △A2△，∠L0∠CM从 ∠AM.,∠P+∠PTAr,∠M+∠CA■ ∠AKE=∠AFE+N,EH过AH 一探究在线·八年级数学下)·5一 17 1251 我过这A作工，凳D前 义品-40+2-高i5 超健在线 7因暗 氧力在铜 延长找于出3， 5-女度+2-方a假， 下中点南直平令州找登有细隆离相等的点在线段的系 5,5.D1以D1非2w 在A中，∠A醒-， 直平分程上E一EB线量的康直平计阀上价点裤低 -2AM. 反两留筒电离相等 14,411通直平分AB,N盒直平分A ￥D有A0上的中置： 良0 AD.CE-AE SAD-CD 能力在姨 兰AE的周长AD十E-A=D十DE十 0m1,,∠pC'=∠川= 常2课时直角三商别堂等的刺风 久1g,G11,11210 =C=青m 在△DCD程△AD中， 新如在线 1生1)活副，国为AP在AB的重直平分线上一 ∠1D'=/. 1,L5A5AAA45 所以PA=.桥g∠P1厅=+ 121:n每有羊分AH.2N垂食平分4 ∠BD-∠MD4 基超在线 所以∠AC=∠PAB+CB=E∠ ,=帝0 (0=AD, 1,A名1，n43,C1 (2)租摆道意，得0一 △CQ△3 MADCAA5 7.(Al-DC HL (2AC-DB HL 所以∠BAQ=∠Q1, 二从n汇4m, AM.AB-SBC. 43)∠Ax-∠组AAs4,∠ACB=∠a'AAs 及非=.国为∠Q-∠B+∠1Q=1 拓根在棱 1,拿直角三角形 赋力在战 隋以∠HMQ=∠0=2x, 13,431是情：连德A已 1保时直角三角形的生猜和利之 5. 在△AQ中.r十2r十2ru14。 ”M是0的中夏，A解⊥CD 要组在线 ,A【第新1品巨△A应△不，.T=A甘=，元川 二AM是线反4D的期直平分线 L角(2)平方平有 1L1》F,AD议， A=AD,又UICD 三(1》直角三角形(2)平若朝半方 【01114o022 ∠-∠A ∠1-∠4 况山结论条件进2不一定》直命题通定用 ”点E为D的中点 同用，∠1=∠1 ∠ND+∠用=∠D∠E=,B∠AH=0. ACE-DE. R△A2△7 在AF与AAED中 ∠2+∠1-T∠4，得∠BAD-E∠N 102.D3.14.54m AE~CD.CE-D. 瓦1》在直角三角那中，∠=， CFB=∠AED 2AML7D,AN⊥E,∠MAN=C, AP=A9+城 :+《p,k+D=AE .∠D=3g-0-0-0=110', ∠且F=∠EA ∠B+-D-∠D-3 “”广4=A ∠HD=2∠AAN=140 2BF+=, △AC和△AC是直角三角和 (2)月-后时，点H在线度AF的停直平分线上.弹由 :A月=AC,AD=AC..AIAD “”1“eA,1t11 △是直角三角形，且∠= -6.AD-2.AB=%,1=十A. ∠AC=∠ADC=0, ：（下=AD,+下=BF,A=nF ∠A'=∠A+∠I= 1,如果，语生为制反数.厚么。十女一明 R△ABR△HL 点B在线假F的套直平分阀上： 1.4角平分线 m22 耗腿在越 第1谋时角平分底的性质度判觉 2)和两个角耳余的以角形是直角已角后，再是真命题 WHE⊥EF干点E,DF1EF干成F, 1丘.(1f明：CmA,∠EEe∠ACDm.E=亡D, 如在 。CT”7= (3对角相等的个三角形全等，真，题 △Cq△A ,相等名相等平分线 城力有线 又BE=DE,READCESRL△FtU. (2)E.△CǜCD,,∠BE=∠MD 基留在切 O B 18.H 展在 X2=∠AEF, ,CA3,C4.D3,D,15 1LC【解有】融数意.以AB为边画 1(1H1 ∠CTE+∠E=CAD+∠AEF=, 7,:PDLO4于点D,PEL于点E, :△A,能点C在棉点上，满足这作 证到：如国，过4C作G⊥AB交B ,∠AFE+∠E=,.BF⊥A 2PDF=∠P=o 作的点C有个如店图 价盘长候T点，过点下作F程⊥pE丝 :位1-D,二△Ap是等厘三身思 在△FD相和△风E中， 12.0 感的延长线干点H. 又F⊥AD. 1,间或D【解1分∠D=减A :E度-∠下，∠A二，∠罗都是纯角： PF=.DF.△PFIR△YEHl. 醚据等耀三角思”三规企一的且植，得球基规以AD ,”.2 15-∠A度-1Se-∠EF,泰Z∠4-∠FEH 的重直平异线 世P是1→点，PDA,PE⊥ 14,正0a 在△和△2中， ():F是线及D的重直平分线 ,是∠的平线， ∠CDG=∠EEH,G=∠H=,C=E 15.I先E∠DAE=∠CDM,库任△DAE2A,从 0-AE 脑力在饭 E-EBL △E的长-E+D+E=+0+E中 .Ak,A0,C1L,61g,D8@④1,1 (2)若A5.则A图 在民△程k及FH中 C4=7I,4=D. 14.0)AID, 14.AEA=1, AC4F,CG=FH,∠.A✉∠FHD=, △DE的得长CD十CB=DAB 品∠&AD十∠D1 第2课转三育形三边企直平分汽的性 :A平分∠A,F平》∠AC 有AA仪自△DEF中， 6 新划套维 ∠MID=2∠MAD 段OD=:写DE=CD=B-: ∠A=∠D.∠C=∠F,=F ∠A2=2∠AM .A1下 1. 在△军中， 2小山馆有等理)线度约座直平分线上的点翼线2 2∠AD+1∠A=18F. 自取定用，鞋广=+再一)，解得=于，见0一5， 1如图+△A仪程△0EF不全单 两端的更南用等 .∠十∠ADM=转 E4,8,00,5, 1.1战厘的看直平分线 健在性 ∠AMD=9,厚ALD 耗属在越 第课时我段直平分汽的提发定 1.D 2.B 3.PB-PC 2如幅，作N⊥D交A山于点N, 17,一1114(2直角 斯知在线 4,1国略， ()正内第色外每算道的中点上 ∠-,AB(TD.∴.wA, 二∠MB=A一9=A古， L相等2周南离集直平什线 5.A 6.A AM平分∠民4D,DM平什∠A2C, 18 一授究在线·八年级数学（下）·