重庆市拔尖强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联合考试数学试题

重庆市高2025届拔尖强基联盟高三下2月联合考试 数学试题 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 在复平面内,复数 对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 向量 在向量 上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4. 函数 的图象如图所示,其中 , 为了得到 的图象,可以将 的图象 ( ) A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 5. 如图,四边形 中, ,将三角形 沿着对角线 翻折,使得点 至点 ,形成三棱锥 ,已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为( ) → A. B. C. D. 6. 已知角 的终边经过点 ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 7. 数列 对任意的 有 成立,若 ,则 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知奇函数 的定义域为 ,对任意 均有 ,且当 时, . 将 的图象向左平移 个单位,在该过程中, 的图象恰好经过点 共 6 次,则 的取值集合是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 一个袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球, 其中有 4 个黄球, 6 个白球, 分别采用有放回和不放回的方式,从袋子中随机摸出 2 个球作为样本,用 表示样本中黄球的个数,下列说法正确的有( ) A. 如果采用有放回地摸球,则两次都摸到黄球的概率是 B. 如果采用不放回地摸球,第一次摸到黄球的条件下,则第二次也摸到黄球的概率为 C. 如果采用不放回地摸球,则第二次摸到黄球的概率为 D. 无论是采用有放回摸球还是不放回摸球, 的均值都是一样的 10. 函数 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 当 时, 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时, 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ,则 11. 已知 为坐标原点, 是抛物线 的焦点, 是抛物线 上的点,直线 的斜率为 1 且满足 ,则( ) A. B. 若 ,则 C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 数列 的前 项和 ,则数列 的通项公式是_____. 13. 函数 在 处切线的方向向量与向量 共线,则 _____. 14. 为激励高三学子的学习热情, 数学老师开发了一款小游戏程序, 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步, 在图①所示的棋盘内, 学生点击摇奖, 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步, 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终, 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时, 称为连成一条线. 若未连成线, 则获安慰奖；连成一、二、三条线,分别获三、二、一等奖,图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后, 出现了图③的情况, 若他随机地放上白棋,则他获二等奖的概率是_____；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化,则在“点击摇奖后,7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下,她获一等奖的概率是_____. 图① 图② 图③ 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 锐角 中,角 所对应的边分别为 . (1) 若 ,求 ; ( 2 )求 的取值范围. 16. (15 分) 已知双曲线 的中心在原点,焦点在 轴上,离心率为 ,且过点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2) 设过点 的直线 与双曲线 交于 两点,是否存在直线 使得 ( 为原点),若存在,求直线 的方程,若不存在,请说明理由. 17. (15 分) 如图,长方体 中, ,点 分别在 上, . 过 的平面 截该长方体,所得的截面为正方形,平面 与棱 的交点分别为 . ( 1 )求三棱锥 的体积； (2) 点 为 与 的交点,求二面角 的余弦值. 18. (17 分) 已知 . (1) 当 时,求 的单调区间; (2) 若当 时,不等式 恒成立,求 的取值范围. 19. (17 分) 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有 的概率分裂为两个新细胞, 的概率分裂为一个新细胞,随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂,并且每个细胞的分裂情况相互独立, 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过 个生命周期的分裂情况,将第 个生命周期后的活细胞总数记为随机变量 . (1) 若 , (I) 求随机变量 的分布列和期望; (II) 求事件 “ ” 的概率; (2) 已知在 的条件下, 的期望称为条件期望 ,其定义为 ,试求条件期望 和 的期望 . 学科网（北京）股份有限公司 $$