重点专题1-1 导数的运算与切线方程综合-【13类题型】 【重难点突破】2024-2025学年高二数学下·人教A版·热点题型专练

专题1-1 导数的运算与切线方程综合 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 模块一 导数的概念与运算 【题型1】导数的定义理解与应用 【题型2】 利用求导公式求导运算 【题型3】复合函数求导 【题型4】导数的赋值运算 【题型5】原函数与导函数的对称性与周期性 模块二 切线方程 【题型6】已知切点求切线 【题型7】已知切线斜率 【题型8】求过某点的切线 【题型9】求曲线上的点到直线距离最小值 【题型10】奇偶函数的切线斜率问题 【题型11】切线条数问题 【题型12】公切线问题 【题型13】切线问题综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 导数的概念与运算 【题型1】导数的定义理解与应用 基础知识 导数的定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③分子分母的数据要对应： 典型例题 【例题1】已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【例题2】对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，当时， . 【巩固练习2】若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 利用求导公式求导运算 基础知识 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地：（1），；（2）， 典型例题 【例题1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【例题2】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【巩固练习2】求下列函数的导数． (1) (2)； 【巩固练习3】设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【题型3】复合函数求导 基础知识 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 典型例题 【例题1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 巩固练习 题型 【巩固练习1】求下列各函数的导数： (1)； (2) 【巩固练习2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型4】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 典型例题 【例题1】已知函数，则__________. 【例题2】已知函数满足满足；求的解析式 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【巩固练习2】已知函数（是的导函数），则________ 【巩固练习3】已知，则 . 【题型5】原函数与导函数的对称性与周期性 二级结论 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 典型例题 【例题1】可导函数的图象关于点中心对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称. 【例题2】（23-24高二下·广东·阶段练习）已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（    ） A．若关于中心对称，则关于对称 B．若关于对称，则有对称中心 C．若为周期函数，则为周期函数 D．若为奇函数，为偶函数，则周期为 【例题3】（22-23高三上·湖南益阳·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】．（23-24高二上·浙江杭州·期末）（多选）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．的图象关于对称 D．函数为周期函数，且周期为4 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【巩固练习4】（22-23高二下·安徽亳州·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，函数的图像关于对称，则（    ） A． B． C． D． 模块二 切线方程 【题型6】已知切点求切线 二级结论 求在曲线上一点的切线 要点诠释：函数在点处的切线方程为， 抓住关键 典型例题 【例题1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________. 【题型7】已知切线斜率 解题技巧 已知切线斜率求参数 要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 典型例题 【例题1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题2】过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【例题3】（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习2】已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型8】求过某点的切线 解题技巧 求过某点的切线 要点诠释：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 典型例题 【例题1】若曲线在点处的切线过原点，则 . 【例题2】过点与曲线相切的直线方程为______________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【巩固练习2】（22-23高二下·江苏苏州·期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 【巩固练习3】（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【题型9】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 二级结论 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合. 典型例题 【例题1】知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 【例题2】已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【例题3】若，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 巩固练习 题型 【巩固练习1】点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习2】已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，，则的最小值为______． 【题型10】奇偶函数的切线斜率问题 二级结论 奇偶函数的切线斜率问题 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 典型例题 【例题1】已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习3】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型11】切线条数问题（不涉及导数单调性） 要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 典型例题 【例题1】已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 【例题2】已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【巩固练习2】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ） A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4 【题型12】公切线问题 要点诠释 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下3类题型 求2个函数的公切线 解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解 （2）2个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 典型例题 【例题1】与曲线和都相切的直线方程为__________. 【例题2】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【巩固练习2】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【巩固练习3】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【题型13】切线问题综合 典型例题 【例题1】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）若直线与曲线相切，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． $$专题1-1 导数的运算与切线方程综合 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 模块一 导数的概念与运算 【题型1】导数的定义理解与应用 【题型2】 利用求导公式求导运算 【题型3】复合函数求导 【题型4】导数的赋值运算 【题型5】原函数与导函数的对称性与周期性 模块二 切线方程 【题型6】已知切点求切线 【题型7】已知切线斜率 【题型8】求过某点的切线 【题型9】求曲线上的点到直线距离最小值 【题型10】奇偶函数的切线斜率问题 【题型11】切线条数问题 【题型12】公切线问题 【题型13】切线问题综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 导数的概念与运算 【题型1】导数的定义理解与应用 基础知识 导数的定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③分子分母的数据要对应： 典型例题 【例题1】已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义将式子变形可得答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以. 【例题2】对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，当时， . 【答案】1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知，， 由，得，所以. 【巩固练习2】若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由题意知， 【巩固练习3】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对 【题型2】 利用求导公式求导运算 基础知识 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地：（1），；（2）， 典型例题 【例题1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【详解】（1）由可得 （2）由可得 由得 由得 【例题2】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且， 所以，， 所以，， 所以，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2）； 【巩固练习2】求下列函数的导数． (1) (2)； 【解析】（1）； （2） 【巩固练习3】设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 设，则， 所以 所以. 【题型3】复合函数求导 基础知识 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 典型例题 【例题1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】求下列各函数的导数： (1)；(2) 【答案】(1)，(2) (1)，. (2)因为所以. 【巩固练习2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【巩固练习3】 【题型4】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 典型例题 【例题1】已知函数，则__________. 【答案】-2 【解析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答. 【详解】由函数求导得：，当时，，解得，因此，，所以. 【例题2】已知函数满足满足；求的解析式 【解析】 令得： 得： 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【答案】 【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】解：因为， 所以，把代入， 得，解得：， 所以，所以. 【巩固练习2】已知函数（是的导函数），则________ 【答案】 【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案； 【详解】，，， 【巩固练习3】已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以，故 【题型5】原函数与导函数的对称性与周期性 二级结论 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 典型例题 【例题1】可导函数的图象关于点中心对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称. 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据函数的图象关于点中心对称得，两边求导化简得；再证充分性，由及函数求导法则可得，令，得，即可证明. 【详解】必要性： 由函数的图象关于点中心对称，得， 于是， 又， 因此，即． 所以导函数的图象关于直线对称． 充分性：导函数的图象关于直线对称，则， 即， 于是（为常数）． 令，则有．所以． 因此可导函数的图象关于点中心对称. 【例题2】（23-24高二下·广东·阶段练习）已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（    ） A．若关于中心对称，则关于对称 B．若关于对称，则有对称中心 C．若为周期函数，则为周期函数 D．若为奇函数，为偶函数，则周期为 【答案】D 【分析】由对称性可得，两边求导，即可判断A，由，令，求导可得，从而得到，即可判断B，根据周期性得到，求导即可判断C，根据奇偶性与周期性判断D. 【详解】对于A，若关于中心对称，则， 两边求导可得0，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B，若关于对称，则， 令，则， 所以（为常数），即，所以有对称中心，故B正确； 对于C，若为周期函数，则， 两边求导可得，即，故C正确； 对于D，因为为奇函数，所以，， 即①， 又为偶函数，故，可得， 即②， 由①②得到，，故周期为4，故D错误. 【例题3】（22-23高三上·湖南益阳·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】关于直线对称得，求出导数令得可判断A；由得到，求导可得，令2024，又为奇函数，可得，可得函数的周期可判断C正确；由，得函数的图象关于点对称，可判断BD. 【详解】因为关于直线对称，所以， 所以，令，得，所以A正确； 由得到，所以， 所以，令2024，则， 又因为为奇函数，所以，即， 即，所以，即， 所以函数的周期为，所以，所以C正确； 由，得函数的图象关于点对称，所以，所以D错误，B正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误 【巩固练习2】．（23-24高二上·浙江杭州·期末）（多选）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．的图象关于对称 D．函数为周期函数，且周期为4 【答案】AC 【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出. 【详解】A：因为为偶函数，所以，所以， 令，则，所以，故A正确； D：因为，所以， 用代替原来的得，① 又为偶函数，所以， 用代替原来的得：，② 由①②得，③ 又，用代替原来的得：，④ 由③④联立得：，⑤ 用代替原来的得：，⑥ ⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为， 用代替原来的得：，⑦ 因为，用代替原来的得：，⑧ 因为，用代替原来的得：，⑨ 由⑦⑧⑨得：， 用代替原来的得：， 所以为周期函数，且周期为，故D错误； B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误； C：由，则，即， 又，则，即，故C正确 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，为奇函数，进而计算可求得，的周期，对称中心，进而可判断每个选项的正确性. 【详解】对于A：因为为奇函数，则， 令，则可得，所以，故A正确； 对于B：因为为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，可得， 所以， 由，两边求导数可得， 即，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D：因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，可得， 所以，所以， 所以，故D正确. 【巩固练习4】（22-23高二下·安徽亳州·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，函数的图像关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件得出关于直线对称，关于对称，再利用原函数与导函数间的奇偶关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称， 又函数的图像关于对称，所以关于对称， 又，所以，得到，所以为偶函数，同理可得为奇函数， 选项A，因为，又与关于直线对称，所以，故选项A正确； 选项B，因为由题得不出，故没有，所以选项B错误； 选项C，因为为偶函数，所以，又与关于直线对称，所以，故选项C正确； 选项D，因为为奇函数，所以， 又为偶函数，所以，故选项D正确. 模块二 切线方程 【题型6】已知切点求切线 二级结论 求在曲线上一点的切线 要点诠释：函数在点处的切线方程为， 抓住关键 典型例题 【例题1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即 【例题2】已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】． 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点，因为 ， 令，得， 由导数几何意义知：， 又，所以， 故曲线在处的切线方程为：， 整理得： . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 【巩固练习2】已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】将点的坐标代入曲线方程，可求得的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程. 【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，， 对函数求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 【题型7】已知切线斜率 解题技巧 已知切线斜率求参数 要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 典型例题 【例题1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为. 【例题2】过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意 【例题3】（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 【巩固练习2】已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【详解】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以 【巩固练习3】若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案. 【详解】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以. 【题型8】求过某点的切线 解题技巧 求过某点的切线 要点诠释：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 典型例题 【例题1】若曲线在点处的切线过原点，则 . 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解. 【详解】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以. 【例题2】过点与曲线相切的直线方程为______________. 【答案】. 【详解】设切点坐标为，由得，切线方程为， 切线过点，，即，， 即所求切线方程为.故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得，可得结果. 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 【巩固练习2】（22-23高二下·江苏苏州·期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 【答案】3 【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果． 【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为． 又∵，所以 ∴在处的切线方程为， ∵切线过点， ∴，解得， ∴切线斜率为. 【巩固练习3】（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【题型9】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 二级结论 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合. 典型例题 【例题1】知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可． 【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切， 设切点为，因为是单调递增函数， 直线的斜率为1，所以，解得， 即切点为， 所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离， 即为． 【例题2】已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据函数与函数互为反函数，将问题转化为求函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍， 因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离， 所以的最小值为. 【例题3】若，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】 由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方， 点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称， 所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方， 此时， ∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为. 故原式的最小值为2. 巩固练习 题型 【巩固练习1】点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】 设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得的值，进而可得结果. 【详解】 设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切， 则两平行线间的距离即为的最小值． 设直线y＝x＋b与曲线的切点为， 则由切点还在直线y＝x＋b上可得， 由切线斜率等于切点的导数值可得， 联立解得m＝1，b＝－1，由平行线间的距离公式可得的最小值为 【巩固练习2】已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】求导，设的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由，可得， 又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3， 令，则， ，点与直线的最小距离为． 【巩固练习3】已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】 利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答. 【详解】 可看成点到点的距离， 而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线， 则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方， 平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求， 设切点，，由得，切点为 则到直线距离. 【题型10】奇偶函数的切线斜率问题 二级结论 奇偶函数的切线斜率问题 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 典型例题 【例题1】已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 【例题2】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程. 【详解】当时，，，是奇函数, ，， ，,切点为，切线方程为． 切线方程为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 【巩固练习2】（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的的性质求. 【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得. 又在处的切线方程为：， 所以. 所以. 【巩固练习3】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的导数为偶函数可知为偶函数，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为在点处的切线方程为，. 又两边求导得：，即为偶函数， 【题型11】切线条数问题（不涉及导数单调性） 要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 典型例题 【例题1】已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 【答案】2 【分析】先判断不在曲线上，求函数的导数，设切点为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，将点代入切线方程求出进而可以求出切线方程，得出结论． 【详解】曲线方程为，点不在曲线上， 设切点为，则点的坐标满足， 由，得， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故切线的方程为， 因为点在切线上，所以 联立得，解得或， 故所求切线方程为或， 则过点与曲线相切的直线有2条. 【例题2】已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围． 【详解】设切点为，∴切线的斜率， ∴切线方程是， ∵切线过点A（a，0）， ∴，即， ∵过点A（a，0）可以作两条切线， ∴方程有两个不同的根， ∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3． 巩固练习 题型 【巩固练习1】过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解. 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 【巩固练习2】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是 【巩固练习3】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ） A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】 设切点为，且函数的导数， 所以，则切线方程为， 切线过点，代入得， 所以，即方程有两个相等的解， 则有，解得或 【题型12】公切线问题 要点诠释 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下3类题型 求2个函数的公切线 解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解 （2）2个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 典型例题 【例题1】与曲线和都相切的直线方程为__________. 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 所以，解得，所以该直线的方程为 【例题2】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为，所以，且， 所以，所以或， 所以公切线的斜率为或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【详解】和分别求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 【巩固练习2】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【答案】2 【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果. 【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：， 解之得：，故：， 与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：. 【巩固练习3】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 【题型13】切线问题综合 典型例题 【例题1】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 【例题2】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）若直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求导，设出切点，根据几何意义得到方程，求出，又，，联立求出，则，求出最小值. 【详解】由，得， 设切点为，则，故， 又，， 故，， 可得，即， 则， 当时，的最小值为. 【巩固练习2】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 【巩固练习3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的横坐标为，由导数几何意义得，进而求得，接着由切点为两曲线公共点得，从而构造函数求出函数的最大值即为解. 【详解】由可得，由得， 设点的横坐标为，则点处切线斜率，解得或（舍）， 由点为曲线与曲线的交点， 所以与为同一点， 所以，即， 令，则， 令可得，由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故实数的最大值为. $$