第十六章 二次根式 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十六章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算判定即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：，所以A选项不是最简二次根式； 是最简二次根式，所以B选项是最简二次根式； ，所以C选项不是最简二次根式； 中是小数，所以D选项不是最简二次根式． 故选：B． 4．若是最简二次根式且能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，即可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 故选：B． 5．三角形的一边长是，这边上的高是，则这个三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟记二次根式乘法法则是解此题的关键， 根据三角形的面积一边的长这边上的高，计算面积． 【详解】解：∵三角形的一边长是，这边上的高是， ∴这个三角形的面积为 ． 故选：B． 6．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 7．估计的值应在（　　） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质，先根据二次根式的运算法则化简，再估算，然后利用不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 故选D． 8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的特点，绝对值化简二次根式的性质，理解并掌握数轴的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得出，进一步得出，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴ ， 故选：D． 9．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法、算术平方根与立方根，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．先根据二次根式的除法法则可得，根据算术平方根可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．设，则不超过的最大整数为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024. 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．二次根式有意义的条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义则被开方数必须大于等于零． 根据题意得出，得到． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 14．已知a，b都是实数，，则的值为 . 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，熟练掌握相关性质和运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ， ， 把代入，得， ， 故答案为：8． 15．若，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．先变形为，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 17．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，以及二次根式的化简公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 将所求式子左右两边平方，利用二次根式的化简公式及完全平方公式变形后，将已知的的值代入，开方即可求出值． 【详解】解：， ， ， ，即， 则． 故答案为：． 18．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． （1）将化成再进行化简； （2）将化成再进行化简； （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式，完全平分公式的知识，解题的关键是根据，然后把，的值，代入，即可． 【详解】∵， ∴当，时，． 22．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，三角形面积公式，利用三角形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则此三角形面积为． 23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数和数轴，二次根式的加减法法则，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键． （1）根据题意可知点B所表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值； （2）把m的值代入代数式，化简即可． 【详解】（1）由题意可得； （2） ． 24．阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 根据材料提示可得，由此得到，运用二次根式的运算得到，由此即可求解． 【详解】解： ， ①， ②， 由①+②可得，， ， ， ，． 25．综合与实践． 【问题情境】在数大小不变的条件下，把无理数分母化为有理数分母，这种变化叫做分母有理化．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 【思考尝试】 （1）直接写出计算结果： ． 【实践探究】 （2）观察上面的解题过程，请直接写出： ． 【拓展延伸】 （3）利用这一规律计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）根据前面的规律先算括号，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）利用（2）中规律可得： 原式 ． 26．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十六章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若是最简二次根式且能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．三角形的一边长是，这边上的高是，则这个三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 6．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 7．估计的值应在（　　） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 9．若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．10 10．设，则不超过的最大整数为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．二次根式有意义的条件是 ． 12． ． 13．比较大小： （填“”、“”或“”）． 14．已知a，b都是实数，，则的值为 . 15．若，则a的取值范围是 ． 16．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 17．若，且，则的值为 ． 18．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1) (2) 21．若，，求的值． 22．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积． 23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 24．阅读材料，解答问题： 材料：已知，求的值． 小迪同学是这样解答的： ， ， 问题：已知．求的值． 25．综合与实践． 【问题情境】在数大小不变的条件下，把无理数分母化为有理数分母，这种变化叫做分母有理化．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 【思考尝试】 （1）直接写出计算结果： ． 【实践探究】 （2）观察上面的解题过程，请直接写出： ． 【拓展延伸】 （3）利用这一规律计算的值． 26．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$