第八章 实数 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第八章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第八章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，，四个数中，最大的数是（    ） A．2025 B． C． D．0 2．的值等于（    ） A． B． C．3 D． 3．下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．一个数的平方根一定有两个 B．任何非负数都有两个平方根 C．没有平方根的数一定是负数 D．一个数的平方根一定小于这个数本身 7．若一个正方形的面积扩大3倍，则它的边长要扩大的倍数是（    ） A．3 B． C． D．9 8．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 9．一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 10．在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．4的平方根是 ． 12．比较大小： 3．（填“”、“”或“”）． 13．化简： ． 14．若实数a、b满足，则 ． 15．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（）是雷雨区域的直径．若某次雷雨区域的直径为，则这场雷雨大约能持续 h． 16．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为 ． 17．已知，则 ． 18．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： 20．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 21．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有 ．（填序号） (2)属于负分数的有 ．（填序号） (3)属于无理数的有 ．（填序号） 22．已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 23．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图中的四边形是一个正方形，则该正方形的边长为_____． 24．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 25．大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 26．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第八章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，，四个数中，最大的数是（    ） A．2025 B． C． D．0 【答案】A 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 最大的数是； 故选：A． 2．的值等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C 3．下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，先求出的立方根，然后再一一判断即可． 【详解】解：， 则这些数中，无理数的有，，是无理数，共3个， 故选：B． 4．已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数比较大小．根据夹逼法进行无理数的估算后，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：C． 5．估算的整数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 根据无理数大小的估算方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴的整数部分是， 故选： A． 6．下列说法正确的是（   ） A．一个数的平方根一定有两个 B．任何非负数都有两个平方根 C．没有平方根的数一定是负数 D．一个数的平方根一定小于这个数本身 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，注意平方根与算术平方根的关系：一个非负数的正平方根是它的算术平方根．根据平方根、算术平方根的概念进行解答即可． 【详解】解：A、一个正数有两个平方根，零的平方根是零，负数没有平方根，故A错误； B、一个正数有两个平方根，零的平方根是零，所以任何非负数有一个或两个平方根，故B错误； C、负数没有平方根，故C正确； D、如0.2是0.04的一个平方根，0.2大于0.04，所以一个数的平方根不一定小于这个数本身，故D错误； 故选：C． 7．若一个正方形的面积扩大3倍，则它的边长要扩大的倍数是（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系，运用算术平方根知识列式求解．设该正方形的边长为a，求出变化后正方形的边长，根据算术平方根的概念进行求解． 【详解】解：设该正方形的边长为a，则其面积是，其面积的2倍是， ∴变化后正方形的边长为， ∴ ∴它的边长扩大为原来的倍． 故选：B． 8．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，即，则不符合题意； 故选：B． 9．一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 10．在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．4的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．根据平方根的概念即可得到答案． 【详解】解：4的平方根是， 故答案为：． 12．比较大小： 3．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．根据两个负数比较大小， 可通过比较其平方的大小， 即可解答出． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为： 13．化简： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求出算术平分根和立方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．若实数a、b满足，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查非负数性质，涉及算术平方根，绝对值定义．根据非负数性质列出方程求出的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解∶∵， ∴根据题意得∶，解得， ∴． 故答案为∶． 15．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（）是雷雨区域的直径．若某次雷雨区域的直径为，则这场雷雨大约能持续 h． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据，其中将值代入化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 这场雷雨大约能持续， 故答案为：． 16．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数；然后根据立方根的定义可得答案． 【详解】解：由题意，有， 解得． 这个正数的立方根是． 故答案为： 17．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键； 根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 18．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算以及实数的新定义的运用，根据新运算法则，先进行分类讨论，即，或当，分别算出x的范围，再进行化简计算，即可作答． 【详解】解：依题意，∵当时，； ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，故此种情况不符合题意； ∵当时，． ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根，再进行加减计算即可．熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 20．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：整理，得， 所以， 所以． （2）两边开立方，得， 所以， 所以． 21．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有 ．（填序号） (2)属于负分数的有 ．（填序号） (3)属于无理数的有 ．（填序号） 【答案】(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦ 【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键． （1）根据有理数定义直接写即可； （2）根据负分数的定义直接写即可； （3）根据无理数的定义直接写即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴整数的有④⑥． （2）解：∵，， ∴负分数的有②⑤． （3）解：∵，， ∴无理数的有③⑦． 22．已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根定义，算术平方根定义，倒数定义，代数式求值，先根据相反数定义，倒数定义，算术平方根定义得出，，，，然后再代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数且， ，， ，互为倒数， ， ， ， 原式． 23．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图中的四边形是一个正方形，则该正方形的边长为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根，勾股定理等等： （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长即可； 【详解】（1）解：， ∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：由勾股定理得， ∴正方形的边长为， 故答案为：。 24．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 25．大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，利用算术平方根正确的估算无理数在哪两个连续整数之间，进而确定整数部分和小数部分是解题的关键． （1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，最后求出结果即可； （2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∴整数部分是3，即， 同理的整数部分是6，， ， 的立方根为． （2）解：∵整数部分是3， ，是整数，且， ，， ∴． 26．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$