（篇四）第四单元比例·综合应用篇【十八大考点】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元比例·综合应用篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·综合应用篇 专题内容 本专题以比例的综合应用为主，其中包括比例的一般应用题，正比例和反比例的实际应用，比例与不变量问题等多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题部分考点难度较大，建议根据学生实际水平和总体掌握情况，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】物高与影长问题 4 【考点二】比例与分数问题 5 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题 6 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题 7 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题 8 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题 9 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题 10 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题 12 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题 13 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型” 14 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型” 15 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型” 16 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型” 17 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型” 18 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变 19 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变 20 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变 21 【考点十八】复杂的比例问题 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】物高与影长问题。 【方法点拨】 在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一等量关系，建立比例方程解决问题。 【典型例题】 一根3米的电线杆，某一时刻测得它在阳光下的影长是1.8米，同一时刻测得旁边一棵大树的影长是4.2米。这棵大树高多少米？（用比例解答） 【对应练习1】 风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时在该地测得一根竹竿及影子的长度如图。风力发电架高多少米？（用比例解答） 【对应练习2】 登封市观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星台旁边垂直于地面立了一根1.2米高的木棒，量得木棒影长0.5米。聪聪又量出观星台的影长约为5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？ 【对应练习3】 实践活动：同学们仿照数学家泰勒利用“日影近似测量物体高度”的方法测量学校旗杆的高度。 第一步：在阳光下测量竹竿的高度及其影子的长度，测量数据如下表： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 竹竿1 2 0.5 竹竿2 1.6 0.4 竹竿3 1 0.25 计算并填写表格。 第二步：观察表格中竹竿的实际高度与影长的比值，发现____________。 第三步：根据发现，测出旗杆的影长是3.2米，旗杆的实际高度是多少米？（用比例解） 【考点二】比例与分数问题。 【方法点拨】 带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程求解。 【典型例题】 小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的，照这样计算，读完全书还要多少天？ 【对应练习1】 2023年5月，在千山举办了“鞍山千山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名参加。王叔叔在32分钟时就跑完了全程的，照这样的速度，王叔叔跑完全程21千米需要多少分钟？（用比例方法解答） 【对应练习2】 开车从安阳到北京要行驶约500千米。一辆汽车从安阳出发前往北京，5小时行了全程的。照这样的速度，到达北京共需要多少小时？ 【对应练习3】 修一条全长2400米的水渠，前6天完成了，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？（用比例知识解） 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题。 【方法点拨】 正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小亮半小时能打900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇1500字的文章，小亮需要多长时间？（用比例解题） 【对应练习1】 兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【对应练习2】 修一条6400米的公路修了20天后还剩下4800米，照这样计算，剩下的路还要修多少天？ 【对应练习3】 在比例尺为1∶8000的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修0.04千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解决） 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题。 【方法点拨】 正比例与普通行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 从甲城到乙城的距离是245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前3时共行驶210千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 【对应练习1】 赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，每天可绕地球约16圈，“天宫”内的航天员们大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行192千米需要多久？（用比例解） 【对应练习2】 甲、乙两地相距520千米。一辆汽车从甲地出发开往乙地，前3小时行驶了240千米。照这样的速度，到达乙地一共需要多少小时？（用比例解） 【对应练习3】 从甲地开往乙地，客车前3小时行了180千米，照这样的速度，8小时可行完全程，甲乙两地相距多少千米？（用比例解答） 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题通常同时出发，相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。 （1）求相同时间内两车的路程比。 （2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 【对应练习1】 汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A、B两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢? 【对应练习2】 A、B两地距离600千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，那么， （1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地( )千米。 （2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的( )，距A地( )千米。 【对应练习3】 A、B两地距离450干米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？ 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题。 【方法点拨】 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。 【典型例题】 小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远? 【对应练习1】 汽车和公交车的速度比为5:3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？ 【对应练习2】 甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 【对应练习3】 诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为7∶4，诗诗到达乙地后直接掉头直到与健健相遇，如果甲乙两地相距44干米，则相遇地点距甲地多远? 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题。 【方法点拨】 中点相遇问题的关键是快车比慢车多行两个离中点的距离。 【典型例题】 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，3小时后在离A、B中点15干米处相遇，已知甲、乙两车的速度比是7∶6，求： （1）甲车比乙车多行多少千米？ （2）A、B两地相距多少干米? （3）甲、乙两车的速度各是多少? 【对应练习1】 甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是7∶5，两车在离中点36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？ 【对应练习2】 甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中点18千米处相遇两地相距多少千米? 【对应练习3】 一辆出租车和一辆中巴车分别从宁波北站和慈溪东站两地同时出发，在离中点4.5千米处相遇，已知中巴车速度是出租车速度的，求宁波北站与慈溪东站的路程。 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题。 【方法点拨】 追及问题通常时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车多行驶20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 【对应练习1】 汽车与公交车的速度比为5∶3，它们在相距40千米的位置同时出发，同向而行，那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米? 【对应练习2】 甲、乙两人从A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为3∶2，当甲追上乙时，甲比乙多走了500米，此时甲共走了多少米? 【对应练习3】 甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6干米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少干米？ 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题。 【方法点拨】 反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一个房间，用面积为9平方分米的方砖铺地需要240块，如果改用边长为4分米的方砖铺地，需要用多少块？（用比例解） 【对应练习1】 学校要用方砖铺设食堂地面，如果用边长0.4米的方砖铺地需要800块，若改用边长0.6米的方砖来铺，需要多少块？ 【对应练习2】 要给一间教室铺地砖，用边长15厘米的方砖，需要2000块，如果用边长25厘米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【对应练习3】 一个房间铺地砖，如果用面积为16平方分米的方砖铺至少需150块。如果改用边长为5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答） 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一桶菜油，如果用5升的瓶装，可以装满48瓶；如果用8升的瓶装，可以装满多少瓶？（用比例解答） 【对应练习1】 如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 【对应练习2】 一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【对应练习3】 大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络。某工厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务。实际每天生产160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解） 【对应练习1】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【对应练习2】 第19届亚运会在杭州举行，某工厂接到生产亚运会吉祥物“江南忆”的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务。实际每天多生产40箱，多少天完成任务？（用比例知识解答） 【对应练习3】 为了迎接4月23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。每天读48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用1天读完，小华平均每天读多少页？（用比例解答） 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？ 【对应练习1】 小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写20个，则比计划推迟2天完成，如果每天写30个， 则比计划提前3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？ 【对应练习2】 小红从家去学校，如果每分钟走50米，则会迟到5分钟，如果每分钟走60米，则会提前5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？ 【对应练习3】 某修路队修一条公路，如果每天修400米，则比计划提前1天完成，如果每天修500米，则比计划提前2天完成，这条公路长多少米？ 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。 【典型例题】 小东上学的速度与放学回家的速度比为2∶5，从学校回家花的时间比从家到学校花的时间要少15分钟，那么小东上学路上用了多长时间? 【对应练习1】 小东和小明赛跑，他们的速度之比为11∶8，结果小东比小明晚了6秒到达终点.请问：小东花了多长时间跑到终点? 【对应练习2】 琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为5∶6，琪琪从家到学校用了30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？ 【对应练习3】 乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是2∶3，则比原计划早20分钟到达，那么原计划用多少分钟? 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。 【典型例题】 甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是8:9，已知甲每小时行16千米，行完全程比乙多用小时，两地相距多少千米？ 【对应练习1】 甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是5:6，已知甲每小时行20千米，行完全程比乙多用20分钟，甲、乙两地相距多少千米？ 【对应练习2】 从A地到B地，甲、乙两人所需时间的比是8:7，已知甲每分钟比乙少行6米，行完全程要45分钟，A地到B地有多少米？ 【对应练习3】 铺一段长64千米的铁轨，前12天铺了38.4千米，中途因雨停工4天，要在预定时间内完成，每天应多铺多少米？ 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变。 【方法点拨】 比例与单量不变的问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。 【典型例题】 小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为2∶3，后来大胖又吃了24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋? 【对应练习1】 小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3:4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4:7，求小胖吃了多少个草莓？ 【对应练习2】 希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为7∶5，又转来15名男生，这时男生与女生的人数比为3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生? 【对应练习3】 未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？ 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变。 【方法点拨】 和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和是定值）。 【典型例题】 大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2:3，后来大宝想要减肥，又夹了10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为3:7，求两人一共有多少个饺子？ 【对应练习1】 大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆? 【对应练习2】 甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5干克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？ 【对应练习3】 甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人? 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变。 【方法点拨】 1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。 2.方程法解决比例问题。 方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为x，从而表示出变比的过程，通过列比例方程，最终解决比例问题。 【典型例题】 小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两人各自吃了多少块肥肉? 【对应练习1】 小牛和大牛吃鸡蛋，原来小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为2∶3，后来小牛又吃了4个，大牛也又吃了3个，此时小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为3∶4，求原来两人各自吃了多少个鸡蛋? 【对应练习2】 甲乙两个仓库，堆放物品的质量比是3∶7，甲仓库运进6吨，乙仓库运出4吨后，甲乙仓库堆放的物品的质量比是3∶5，求甲乙仓库原来各堆放多少吨物品? 【对应练习3】 某校五年级只有两个班，全年级的男生人数与女生人数之比为8∶7，已知一班男生有51人，女生有48人，二班的男生人数与女生人数之比为5∶4，那么二班男生有多少人？女生有多少人？ 【对应练习4】 今年三毛和二毛的年龄比是7∶5，五年后，三毛与二毛的年龄比是13∶10，问两人今年各几岁? 【对应练习5】 A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少? 【考点十八】复杂的比例问题。 【方法点拨】 复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。 【典型例题】 小明和小芳两人压岁钱的比是4∶3，开学时交学费用去钱的比是18∶13，这时小明和小芳各剩下36元、48元，求原来两人各有多少元压岁钱? 【对应练习】 兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元比例·综合应用篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·综合应用篇 专题内容 本专题以比例的综合应用为主，其中包括比例的一般应用题，正比例和反比例的实际应用，比例与不变量问题等多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题部分考点难度较大，建议根据学生实际水平和总体掌握情况，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】物高与影长问题 4 【考点二】比例与分数问题 7 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题 9 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题 12 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题 14 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题 14 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题 16 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题 17 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题 18 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型” 20 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型” 22 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型” 24 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型” 26 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型” 27 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变 28 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变 29 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变 30 【考点十八】复杂的比例问题 32 【第三篇】典型例题篇 【考点一】物高与影长问题。 【方法点拨】 在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一等量关系，建立比例方程解决问题。 【典型例题】 一根3米的电线杆，某一时刻测得它在阳光下的影长是1.8米，同一时刻测得旁边一棵大树的影长是4.2米。这棵大树高多少米？（用比例解答） 【答案】7米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。设这棵大树高x米，根据题意，树的高度∶树的影长＝电线杆的高度∶电线杆的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：设这棵大树高x米。 x∶4.2＝3∶1.8 1.8x＝4.2×3 1.8x＝12.6 1.8x÷1.8＝12.6÷1.8 x＝7 答：这棵大树高7米。 【对应练习1】 风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时在该地测得一根竹竿及影子的长度如图。风力发电架高多少米？（用比例解答） 【答案】80米 【分析】在同一地点同一时间，物体的高度和物体的影长的比值相等，据此可知，风力发电架的高度∶风力发电架的影长＝竹竿的高度∶竹竿的影长，设风力发电架高x米，列比例为：x∶64＝2∶1.6，然后解出比例即可。 【详解】解：设风力发电架高x米。 x∶64＝2∶1.6 1.6x＝2×64 1.6x＝128 x＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架高80米。 【对应练习2】 登封市观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星台旁边垂直于地面立了一根1.2米高的木棒，量得木棒影长0.5米。聪聪又量出观星台的影长约为5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？ 【答案】12.6米 【分析】同一时间和地点，物体的高度和影子的长度成正比例关系。将观星台的高度设为x米，根据“木棒高度∶观星台高度＝木棒影子长度∶观星台影子长度”列出比例，再解比例即可。 【详解】解：设观星台高x米。 1.2∶x＝0.5∶5.25 0.5x＝1.2×5.25 0.5x＝6.3 0.5x÷0.5＝6.3÷0.5 x＝12.6 答：观星台高12.6米。 【对应练习3】 实践活动：同学们仿照数学家泰勒利用“日影近似测量物体高度”的方法测量学校旗杆的高度。 第一步：在阳光下测量竹竿的高度及其影子的长度，测量数据如下表： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 竹竿1 2 0.5 竹竿2 1.6 0.4 竹竿3 1 0.25 计算并填写表格。 第二步：观察表格中竹竿的实际高度与影长的比值，发现____________。 第三步：根据发现，测出旗杆的影长是3.2米，旗杆的实际高度是多少米？（用比例解） 【答案】第一步：见详解； 第二步：竹竿的实际高度与影长的比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例； 第三步：12.8米 【分析】用每根竹竿的实际高度除以影长，即可求出实际高度与影长的比值；如果两个相关联的量对应的比值一定，则这两个量就成正比例；据此可知，实际高度与影长之间成正比例；已知测出旗杆的影长是3.2米，设旗杆的实际高度为x米，据此列比例方程为：x∶3.2＝2∶0.5，然后解出方程即可。 【详解】2÷0.5＝4 1.6÷0.4＝4 1÷0.25＝4 第一步： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 竹竿1 2 0.5 4 竹竿2 1.6 0.4 4 竹竿3 1 0.25 4 第二步：竹竿的实际高度与影长的比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例。 第三步： 解：设旗杆的实际高度是x米。 x∶3.2＝2∶0.5 0.5x＝3.2×2 0.5x＝6.4 x＝6.4÷0.5 x＝12.8 答：旗杆的实际高度是12.8米。 【考点二】比例与分数问题。 【方法点拨】 带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程求解。 【典型例题】 小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的，照这样计算，读完全书还要多少天？ 【答案】4天 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，前2天读了全书的，则还剩下1－＝没有读，根据读的页数与天数成正比例，据此列比例即可。 【详解】解：设读完全书还需要x天 ∶2＝（1－）∶x x＝ x＝4 答：读完全书还需要4天。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确读的页数与天数成正比例是解题的关键。 【对应练习1】 2023年5月，在千山举办了“鞍山千山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名参加。王叔叔在32分钟时就跑完了全程的，照这样的速度，王叔叔跑完全程21千米需要多少分钟？（用比例方法解答） 【答案】72分钟 【分析】把全程看作单位“1”，根据题意可知，王叔叔跑步的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值一定，则路程与时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设王叔叔跑完全程需要分钟。 ∶32＝1∶ ＝1×32 ＝32 ＝32÷ ＝32× ＝72 答：王叔叔跑完全程需要72分钟。 【对应练习2】 开车从安阳到北京要行驶约500千米。一辆汽车从安阳出发前往北京，5小时行了全程的。照这样的速度，到达北京共需要多少小时？ 【答案】6.25小时 【分析】把全长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用500×即可求出5小时行驶的路程，根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程和时间成正比例，设到达北京共需要x小时，列比例为：500∶x＝（500×）∶5，然后解出比例即可。 【详解】解：设到达北京共需要x小时。 500∶x＝（500×）∶5 500∶x＝400∶5 400x＝500×5 400x＝2500 x＝2500÷400 x＝6.25 答：到达北京共需要6.25小时。 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，掌握解比例的方法是解答本题的关键。 【对应练习3】 修一条全长2400米的水渠，前6天完成了，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？（用比例知识解） 【答案】9天 【分析】根据题意可知，把全长看作单位“1”，前6天完成了，还剩下（1－），根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，则工作总量和工作时间成正比例；据此设修完这条水渠还需x天，列方程为：∶6＝（1－）∶x，然后解出方程即可。 【详解】解：设修完这条水渠还需x天。 ∶6＝（1－）∶x ∶6＝∶x x＝6× x＝ x＝÷ x＝× x＝9 答：修完这条水渠还需9天。 【点睛】本题考查了正比例的应用，判断相关联的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题。 【方法点拨】 正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小亮半小时能打900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇1500字的文章，小亮需要多长时间？（用比例解题） 【答案】50分钟 【分析】打字速度＝文章字的数量÷打字时间，打字速度不变，则文章字数与打字时间的比值不变，文章字数与打字时间成正比例，据此列出比例方程进行解答即可。 【详解】解：设小亮需要x分钟。 半小时＝30分钟 900∶30＝1500∶x 900x＝1500×30 900x＝45000 900x÷900＝45000÷900 x＝50 答：小亮需要50分钟。 【对应练习1】 兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【答案】能到。 【分析】耗油量∶汽车行驶的路程＝汽车每行驶1千米的耗油量（一定），因为耗油量和汽车行驶的路程的比值是一个定值，所以耗油量和汽车行驶的路程成正比例关系。设460千米耗油x升，根据这个列比例解答。 【详解】解：设460千米耗油x升。 100x＝8×460 100x＝3680 100x÷100＝3680÷100 x＝36.8 40＞36.8 答：能到达外婆家。 【对应练习2】 修一条6400米的公路修了20天后还剩下4800米，照这样计算，剩下的路还要修多少天？ 【答案】60天 【分析】修路的长度∶修的天数＝每天修路的长度（一定），可知修路的长度和修的天数成正比例关系。据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设剩下的路还要修x天。 （6400－4800）∶20＝4800∶x （6400－4800）x＝20×4800 1600x＝20×4800 1600x＝96000 1600x1600＝960001600 x＝60 答：剩下的路还要修60天。 【对应练习3】 在比例尺为1∶8000的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修0.04千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解决） 【答案】450天 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出彩虹桥的实际距离，再根据工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系，根据剩下未修长度∶实际竣工还需时间＝已修的0.04千米∶修的时间50天，列出比例方程，求出彩虹桥实际竣工还需要多少天即可。 【详解】解：设彩虹桥实际竣工还需要x天。 ＝5×8000＝40000cm＝0.4km ＝450 答：彩虹桥实际竣工还需要450天。 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题。 【方法点拨】 正比例与普通行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 从甲城到乙城的距离是245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前3时共行驶210千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 【答案】3.5时 【分析】设他到达乙城一共需要x时，根据路程∶时间＝速度（一定），比值一定，路程与时间成正比例，据此列出比例解答即可。 【详解】解：设他到达乙城一共需要x时。 245∶x＝210∶3 210x＝245×3 210x÷210＝735÷210 x＝3.5 答：他到达乙城一共需要3.5时。 【对应练习1】 赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，每天可绕地球约16圈，“天宫”内的航天员们大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行192千米需要多久？（用比例解） 【答案】25秒 【分析】设“天宫”飞行192千米需要x秒，根据路程∶时间＝速度（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设“天宫”飞行192千米需要x秒。 192∶x＝76.8∶10 76.8x＝192×10 76.8x÷76.8＝1920÷76.8 x＝25 答：“天宫”飞行192千米需要25秒。 【对应练习2】 甲、乙两地相距520千米。一辆汽车从甲地出发开往乙地，前3小时行驶了240千米。照这样的速度，到达乙地一共需要多少小时？（用比例解） 【答案】6.5小时 【分析】根据速度＝路程÷时间；根据题意，由于汽车的速度不变，前3小时行驶的速度与从甲地到乙地行驶的速度相等，设到达乙地一共需要x小时，列比例：240∶3＝520∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设到达乙地一共需要x小时。 240∶3＝520∶x 240x＝520×3 240x＝1560 x＝1560÷240 x＝6.5 答：到达乙地一共需要6.5小时。 【对应练习3】 从甲地开往乙地，客车前3小时行了180千米，照这样的速度，8小时可行完全程，甲乙两地相距多少千米？（用比例解答） 【答案】480千米 【分析】根据题意可知，客车的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值一定，那么路程与时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设甲乙两地相距千米。 ∶8＝180∶3 3＝8×180 3＝1440 ＝1440÷3 ＝480 答：甲乙两地相距480千米。 【点睛】先确定客车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题通常同时出发，相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。 （1）求相同时间内两车的路程比。 （2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 解析：（1）路程比：6:5；（2）小黄车120千米，小蓝车100千米。 【对应练习1】 汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A、B两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢? 解析：汽车100km，公交车60km 【对应练习2】 A、B两地距离600千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，那么， （1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地( )千米。 （2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的( )，距A地( )千米。 解析：（1）360；（2）；320 【对应练习3】 A、B两地距离450干米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？ 解析：320 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题。 【方法点拨】 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。 【典型例题】 小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远? 解析： 相同时间内，两车的速度比等于路程比，所以路程比为6:5。 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共行驶了两倍的全程。 路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。 小蓝车∶40×5=200（km） 答：相遇地点距离A地200千米。 【对应练习1】 汽车和公交车的速度比为5:3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？ 解析： 路程比为5:3，一份量：160×2÷（5+3)=40(km) 公交车：40×3=120（千米） 距离B地：160-120=40（千米） 答：略。 【对应练习2】 甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 解析： 同时同地出发再返回的相遇，仍然满足时间相同，路程之比等于速度之比，故两人的路程之比为3∶5，两人共走完了两倍的全程，所以甲走了1000×2÷（3＋5）×3=750米，这时相遇点距B地1000-750=250米。 【对应练习3】 诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为7∶4，诗诗到达乙地后直接掉头直到与健健相遇，如果甲乙两地相距44干米，则相遇地点距甲地多远? 解析：32千米。 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题。 【方法点拨】 中点相遇问题的关键是快车比慢车多行两个离中点的距离。 【典型例题】 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，3小时后在离A、B中点15干米处相遇，已知甲、乙两车的速度比是7∶6，求： （1）甲车比乙车多行多少千米？ （2）A、B两地相距多少干米? （3）甲、乙两车的速度各是多少? 解析： （1）中点问题，甲车比乙车多行15×2=30（干米）。 （2）甲、乙两车行驶时间相同，路程比等于速度比，A、B两地相距 30÷（7-6）×（7＋6）=390（千干米）。 （3）甲车行了390×=210（千米），甲车速度为210÷3=70（干米/时） 乙车行了390×=180（千米），乙车速度为180÷3=60（干米/时）。 【对应练习1】 甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是7∶5，两车在离中点36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？ 解析：甲速与乙速的比为7:5.所以甲走了7份，乙走了5份，甲比乙多走2份。两车在离中点36干米处相遇，则甲比乙多走72干米，所以1份为36干米，甲乙两地共12份，则距离为36×12=432（干米）。 【对应练习2】 甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中点18千米处相遇两地相距多少千米? 解析： 因为两车同时出发，相遇时间一定，所以，路程与速度成正比，即相遇时甲、乙两车行驶的路程比为5:7，然后由“距中点18千米处相遇”可以知道，相遇时乙车比甲车多行18×2=36(千米)。所以18×2×=216(千米) 答：两地相距216千米。 【对应练习3】 一辆出租车和一辆中巴车分别从宁波北站和慈溪东站两地同时出发，在离中点4.5千米处相遇，已知中巴车速度是出租车速度的，求宁波北站与慈溪东站的路程． 【答案】81千米 【分析】在相遇问题中，如果两车在距中点的n千米处相遇，则快车比慢车多行驶2n千米 【详解】4.5×2÷（） =9÷（） =9×9 =81（千米） 答：宁波北站与慈溪东站的路程为81千米。 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题。 【方法点拨】 追及问题通常时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车多行驶20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 解析： 两车速度比为6∶5，路程=速度×时间，相同时间内，两车的路程比为6∶5。 一份量∶20÷（6-5）=20（km）。 小蓝车∶20×5=100（km） 小黄车∶20×6=120（km） 答：略。 【对应练习1】 汽车与公交车的速度比为5∶3，它们在相距40千米的位置同时出发，同向而行，那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米? 解析：60km 【对应练习2】 甲、乙两人从A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为3∶2，当甲追上乙时，甲比乙多走了500米，此时甲共走了多少米? 解析： 一份量∶500÷（3-2）=500（米），甲的路程∶500×3=1500（米）。 【对应练习3】 甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6干米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少干米？ 解析：4千米。 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题。 【方法点拨】 反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一个房间，用面积为9平方分米的方砖铺地需要240块，如果改用边长为4分米的方砖铺地，需要用多少块？（用比例解） 【答案】135块 【分析】根据题意可知，房间地面的面积不变，即一块方砖的面积×方砖的块数＝房间地面的面积（一定），乘积一定，则一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要用块。 （4×4）＝9×240 16＝2160 ＝2160÷16 ＝135 答：需要用135块。 【对应练习1】 学校要用方砖铺设食堂地面，如果用边长0.4米的方砖铺地需要800块，若改用边长0.6米的方砖来铺，需要多少块？ 【答案】356块 【分析】根据题意，每块方砖的面积×块数＝学校食堂的面积（一定），那么每块方砖的面积与块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设若改用边长0.6米的方砖来铺，需要x块。 0.6×0.6x＝0.4×0.4×800 0.36x＝0.16×800 0.36x＝128 0.36x÷0.36＝128÷0.36 x≈356 答：若改用边长0.6米的方砖来铺，需要356块。 【对应练习2】 要给一间教室铺地砖，用边长15厘米的方砖，需要2000块，如果用边长25厘米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】720块 【分析】根据题意，一块方砖的面积×方砖的块数＝教室的面积（一定），乘积一定，则方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，其中方砖的面积＝边长×边长，由此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要x块边长为25厘米的方砖。 答：如果用边长25厘米的方砖，需要720块。 【对应练习3】 一个房间铺地砖，如果用面积为16平方分米的方砖铺至少需150块。如果改用边长为5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答） 【答案】96块 【分析】设至少需x块，根据每块方砖的面积×相应块数＝房间面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设至少需x块。 5×5×x＝16×150 25x＝2400 25x÷25＝2400÷25 x＝96 答：至少需96块。 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一桶菜油，如果用5升的瓶装，可以装满48瓶；如果用8升的瓶装，可以装满多少瓶？（用比例解答） 【答案】30瓶 【分析】设可以装满x瓶，根据瓶的容积×装满的瓶数＝菜油总体积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设可以装满x瓶。 8x＝5×48 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：可以装满30瓶。 【对应练习1】 如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 【答案】150转 【分析】因为两个互相咬合的齿轮，在同一时间内转动时，它们转过的齿数是相同的，所以大齿轮的齿数×大齿轮的转速＝小齿轮的齿数×小齿轮的转速，设小齿轮每分钟转x转，然后列比例，解出比例，据此解答。 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量。 【详解】解：设小齿轮每分转x转。 10x＝20×75 10x＝1500 x＝1500÷10 x＝150 答：每分转150转。 【对应练习2】 一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【答案】10小时 【分析】设平均每天要工作x小时；根据题意可知，工作时间和工作天数成反比例；根据计划工作时间×计划工作天数＝实际工作时间×实际工作天数，列比例：8×15＝12x，解比例，即可解答。 【详解】解：设平均每天要工作x小时。 8×15＝12x 12x＝120 x＝120÷12 x＝10 答：平均每天要工作10小时。 【对应练习3】 大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络。某工厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务。实际每天生产160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】6天 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量是一定的，工作效率和工作时间成反比例，即每天生产的箱数与生产的天数成反比例。设实际用x天能完成任务，可列出比例：160x＝120×8，解出比例，即可解答。 【详解】解：设实际用x天能完成任务。 160x＝120×8 160 x＝960 x＝960÷160 x＝6 答：实际用6天能完成任务。 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解） 【答案】30页 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数×读书的天数＝一本书的总页数（一定），所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设平均每天要读x页。 （10－2）x＝24×10 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：平均每天要读30页。 【对应练习1】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】16天 【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”，实际生产台数是原计划（1＋25%），用原计划每天生产的台数×（1＋25%），求出实际每天生产的台数，设需x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数＝实际每天生产的台数×需要的天数，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。 【详解】解：设需x天能完成任务。 （1＋25%）×80×x＝80×20 1.25×80×x＝1600 100x＝1600 x＝1600÷100 x＝16 答：需16天能完成任务。 【对应练习2】 第19届亚运会在杭州举行，某工厂接到生产亚运会吉祥物“江南忆”的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务。实际每天多生产40箱，多少天完成任务？（用比例知识解答） 【答案】6天 【分析】每天生产的数量×完成任务的天数＝任务总量，任务总量是一定的，那么每天生产的数量和完成任务的天数成反比例关系。将多少天完成任务设为x天，根据反比例关系列出比例，解比例即可。 【详解】解：设x天完成任务。 120×8＝（120＋40）x 960＝160x 160x＝960 160x÷160＝960÷160   x＝6 答：6天完成任务。 【对应练习3】 为了迎接4月23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。每天读48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用1天读完，小华平均每天读多少页？（用比例解答） 【答案】40页 【分析】每天读的页数×天数＝总页数（一定），每天读的页数与天数成反比例；小华比小明多用1天，小华用了（5＋1）天；设小华平均每天读x页，列比例：（5＋1）x＝48×5，解比例，即可解答。 【详解】解：设小华平均每天读x页。 （5＋1）x＝48×5 6x＝240 x＝240÷6 x＝40 答：小华每天读40页。 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？ 解析： 解：设规定完成任务的时间是x天， 200×（x－3）＝120×（x＋5） 200x－600＝120x＋600 200x－600＋600＝120x＋600＋600 200x＝120x＋1200 200x－120x＝120x＋1200－120x 80x＝1200 80x÷80＝1200÷80 x＝15 答：规定完成任务的时间是15天。 【对应练习1】 小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写20个，则比计划推迟2天完成，如果每天写30个， 则比计划提前3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？ 解析： 解：设计划x天完成。 20（x+2）=30（x-3） x=13 20×（13+2）=300（个） 答：一共要写300个字。 【对应练习2】 小红从家去学校，如果每分钟走50米，则会迟到5分钟，如果每分钟走60米，则会提前5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？ 解析： 解：设不迟到不提前刚好需要x分钟。 50（x+5）=60（x-5） x=55 路程：50×（55+5）=3000（米） 每分钟走50米，需要55+5=60（分钟）；每分钟走60米，需要55-5=50（分钟） 答：略。 【对应练习3】 某修路队修一条公路，如果每天修400米，则比计划提前1天完成，如果每天修500米，则比计划提前2天完成，这条公路长多少米？ 解析： 解：设计划修x天完成。 400（x-1）=500（x-2） x=6 路程：400×（6-1）=2000（米） 答：略。 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。 【典型例题】 小东上学的速度与放学回家的速度比为2∶5，从学校回家花的时间比从家到学校花的时间要少15分钟，那么小东上学路上用了多长时间? 解析： 上学放学速度比为2∶5，路程=速度×时间，路程一定，上学放学的时间比为 5∶2。 一份量∶15÷（5-2）=5（分钟）。 上学∶5×5=25（分钟）。 【对应练习1】 小东和小明赛跑，他们的速度之比为11∶8，结果小东比小明晚了6秒到达终点.请问：小东花了多长时间跑到终点? 解析： 路程一定，速度比为11∶8，则时间之比为8∶11，1份时间就是6÷（11-8）=2秒，小东花了11份时间，也就是2×11=22秒。 【对应练习2】 琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为5∶6，琪琪从家到学校用了30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？ 解析： 路程相同，速度与时间成反比，琪琪和佳佳的时间比为6∶5，佳佳从家到学校的时间为30×=25（分钟） 【对应练习3】 乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是2∶3，则比原计划早20分钟到达，那么原计划用多少分钟? 解析： 根据路程一定，时间比等于速度的反比；乐乐老师的速度提高，则原速和提速后的速度比为1∶1.5=2∶3，路程一定的情况下，则原速和提速后所用的时间比为3∶2，那么原计划用20÷（3-2）×3=60（分钟） 答∶原计划用60分钟。 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。 【典型例题】 甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是8:9，已知甲每小时行16千米，行完全程比乙多用小时，两地相距多少千米？ 解析： 解：设甲行完全程用x小时，则乙行完全程用（x-）小时。 9:8=x:（x-） x= 路程：16×=60（千米） 答：两地相距60千米。 【对应练习1】 甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是5:6，已知甲每小时行20千米，行完全程比乙多用20分钟，甲、乙两地相距多少千米？ 解析：114千米。 【对应练习2】 从A地到B地，甲、乙两人所需时间的比是8:7，已知甲每分钟比乙少行6米，行完全程要45分钟，A地到B地有多少米？ 解析： 解：设甲每分钟行x米，则乙每分行（x+6）米。 7:8=x:（x+6） x=42 路程：42×45=1890（米） 答：略。 【对应练习3】 铺一段长64千米的铁轨，前12天铺了38.4千米，中途因雨停工4天，要在预定时间内完成，每天应多铺多少米？ 解析：3.2千米。 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变。 【方法点拨】 比例与单量不变的问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。 【典型例题】 小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为2∶3，后来大胖又吃了24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋? 解析： 解：设小胖原来吃了2x个，大胖原来吃了3x个。 2x:（3x+24）=10:27 x=10 小胖：2×10=20（个） 答：略。 【对应练习1】 小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3:4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4:7，求小胖吃了多少个草莓？ 解析：24个。 【对应练习2】 希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为7∶5，又转来15名男生，这时男生与女生的人数比为3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生? 解析：375名。 【对应练习3】 未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？ 解析：84；126 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变。 【方法点拨】 和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和是定值）。 【典型例题】 大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2:3，后来大宝想要减肥，又夹了10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为3:7，求两人一共有多少个饺子？ 解析： 解：设原来大宝和小宝碗里各有2x个，3x个。 （2x-10）:（3x+10）=3:7 x=20 一共：20×5=100（个） 答：略。 【对应练习1】 大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆? 解析：60个。 【对应练习2】 甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5干克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？ 解析：75千克。 【对应练习3】 甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人? 解析： 甲车间原有160人，乙车间原有120人。 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变。 【方法点拨】 1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。 2.方程法解决比例问题。 方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为x，从而表示出变比的过程，通过列比例方程，最终解决比例问题。 【典型例题】 小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两人各自吃了多少块肥肉? 解析： 解：设一份量为x。 （2x+5）∶（5x+2）=5∶9 x=5 小牛原来吃的肉块数∶2x=10块 大牛∶5x=25块。 答：略。 【对应练习1】 小牛和大牛吃鸡蛋，原来小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为2∶3，后来小牛又吃了4个，大牛也又吃了3个，此时小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为3∶4，求原来两人各自吃了多少个鸡蛋? 解：设原来小牛吃的鸡蛋个数是2x，大牛是3x。 （2x+4）∶（3×+3）=3∶4 x=7。 小牛原来吃的鸡蛋个数∶2x=14 大牛原来吃的鸡蛋个数∶3x=21。 答：略。 【对应练习2】 甲乙两个仓库，堆放物品的质量比是3∶7，甲仓库运进6吨，乙仓库运出4吨后，甲乙仓库堆放的物品的质量比是3∶5，求甲乙仓库原来各堆放多少吨物品? 解析： 解：设原来甲仓库有物品3x吨，乙仓库就有7x吨。 （3x＋6）∶（7x-4）=3∶5 x=7， 甲：3×7=21（吨） 乙：7×7=49（吨） 答：略。 【对应练习3】 某校五年级只有两个班，全年级的男生人数与女生人数之比为8∶7，已知一班男生有51人，女生有48人，二班的男生人数与女生人数之比为5∶4，那么二班男生有多少人？女生有多少人？ 解析：45人；36人。 【对应练习4】 今年三毛和二毛的年龄比是7∶5，五年后，三毛与二毛的年龄比是13∶10，问两人今年各几岁? 解析：三毛今年21岁，二毛今年15岁。 【对应练习5】 A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少? 解析：A：315元；B：90元。 【考点十八】复杂的比例问题。 【方法点拨】 复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。 【典型例题】 小明和小芳两人压岁钱的比是4∶3，开学时交学费用去钱的比是18∶13，这时小明和小芳各剩下36元、48元，求原来两人各有多少元压岁钱? 解析：792元；594元。 【对应练习】 兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？ 解析： 解：设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元 （4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6 6×（4x－3600）＝11×（3x－3600） 24x－21600＝33x－39600 33x－24x＝39600－21600 9x＝18000 x＝18000÷9 x＝2000 2000×4＝8000（元） 2000×3＝6000（元） 答：兄弟两人每个月的收入分别是8000元、6000元。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 32 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 32 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元比例·综合应用篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·综合应用篇 专题内容 本专题以比例的综合应用为主，其中包括比例的一般应用题， 正比例和反比例的实际应用，比例与不变量问题等多种典型 问题。 总体评价 讲解建议 本专题部分考点难度较大，建议根据学生实际水平和总体掌 握情况，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】物高与影长问题 ...............................................................................................4 【考点二】比例与分数问题 ...............................................................................................7 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题 ................................................................ 9 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题 .......................................................12 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题 .............................................................. 14 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题 .......................................................14 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题 .......................................................16 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题 .............................................................. 17 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题 .............................................................. 18 第 3 页 共 32 页 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型” ........................................... 20 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型” ........................................22 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型” ........................................24 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型” ........................................26 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型” ........................................27 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变 .......................................................28 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变 .............................................................. 29 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变 .............................................................. 30 【考点十八】复杂的比例问题 ......................................................................................... 32 第 4 页 共 32 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】物高与影长问题。 【方法点拨】 在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一 等量关系，建立比例方程解决问题。 【典型例题】 一根 3米的电线杆，某一时刻测得它在阳光下的影长是 1.8米，同一时刻测得旁 边一棵大树的影长是 4.2米。这棵大树高多少米？（用比例解答） 【答案】7米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的 实际高度和它的影长成正比例。设这棵大树高 x米，根据题意，树的高度∶树的 影长＝电线杆的高度∶电线杆的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：设这棵大树高 x米。 x∶4.2＝3∶1.8 1.8x＝4.2×3 1.8x＝12.6 1.8x÷1.8＝12.6÷1.8 x＝7 答：这棵大树高 7米。 【对应练习 1】 风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得 一座风力发电架在阳光下的影长是 64米，同时在该地测得一根竹竿及影子的长 度如图。风力发电架高多少米？（用比例解答） 【答案】80米 【分析】在同一地点同一时间，物体的高度和物体的影长的比值相等，据此可知， 第 5 页 共 32 页 风力发电架的高度∶风力发电架的影长＝竹竿的高度∶竹竿的影长，设风力发电 架高 x米，列比例为：x∶64＝2∶1.6，然后解出比例即可。 【详解】解：设风力发电架高 x米。 x∶64＝2∶1.6 1.6x＝2×64 1.6x＝128 x＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架高 80米。 【对应练习 2】 登封市观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星 台旁边垂直于地面立了一根 1.2米高的木棒，量得木棒影长 0.5米。聪聪又量出 观星台的影长约为 5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？ 【答案】12.6米 【分析】同一时间和地点，物体的高度和影子的长度成正比例关系。将观星台的 高度设为 x米，根据“木棒高度∶观星台高度＝木棒影子长度∶观星台影子长度” 列出比例，再解比例即可。 【详解】解：设观星台高 x米。 1.2∶x＝0.5∶5.25 0.5x＝1.2×5.25 0.5x＝6.3 0.5x÷0.5＝6.3÷0.5 x＝12.6 答：观星台高 12.6米。 【对应练习 3】 实践活动：同学们仿照数学家泰勒利用“日影近似测量物体高度”的方法测量学校 旗杆的高度。 第一步：在阳光下测量竹竿的高度及其影子的长度，测量数据如下表： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 第 6 页 共 32 页 竹竿 1 2 0.5 竹竿 2 1.6 0.4 竹竿 3 1 0.25 计算并填写表格。 第二步：观察表格中竹竿的实际高度与影长的比值，发现____________。 第三步：根据发现，测出旗杆的影长是 3.2米，旗杆的实际高度是多少米？（用 比例解） 【答案】第一步：见详解； 第二步：竹竿的实际高度与影长的比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例； 第三步：12.8米 【分析】用每根竹竿的实际高度除以影长，即可求出实际高度与影长的比值；如 果两个相关联的量对应的比值一定，则这两个量就成正比例；据此可知，实际高 度与影长之间成正比例；已知测出旗杆的影长是 3.2米，设旗杆的实际高度为 x 米，据此列比例方程为：x∶3.2＝2∶0.5，然后解出方程即可。 【详解】2÷0.5＝4 1.6÷0.4＝4 1÷0.25＝4 第一步： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 竹竿 1 2 0.5 4 竹竿 2 1.6 0.4 4 竹竿 3 1 0.25 4 第二步：竹竿的实际高度与影长的比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例。 第三步： 解：设旗杆的实际高度是 x米。 x∶3.2＝2∶0.5 0.5x＝3.2×2 第 7 页 共 32 页 0.5x＝6.4 x＝6.4÷0.5 x＝12.8 答：旗杆的实际高度是 12.8米。 【考点二】比例与分数问题。 【方法点拨】 带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程 求解。 【典型例题】 小明读一本 300页的故事书，前 2天读了全书的 13，照这样计算，读完全书还要 多少天？ 【答案】4天 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，前 2天读了全书的 13，则还剩下 1 － 1 3＝ 2 3 没有读，根据读的页数与天数成正比例，据此列比例即可。 【详解】解：设读完全书还需要 x天 1 3∶2＝（1－ 1 3）∶x 1 3 x＝ 4 3 x＝4 答：读完全书还需要 4天。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确读的页数与天数成正比例是解题的关键。 【对应练习 1】 2023年 5月，在千山举办了“鞍山千山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名 参加。王叔叔在 32分钟时就跑完了全程的 49 ，照这样的速度，王叔叔跑完全程 21千米需要多少分钟？（用比例方法解答） 【答案】72分钟 【分析】把全程看作单位“1”，根据题意可知，王叔叔跑步的速度不变，即路程∶ 时间＝速度（一定），比值一定，则路程与时间成正比例关系，据此列出正比例 第 8 页 共 32 页 方程，并求解。 【详解】解：设王叔叔跑完全程需要 x分钟。 4 9 ∶32＝1∶ x 4 9 x＝1×32 4 9 x＝32 x＝32÷ 49 x＝32× 94 x＝72 答：王叔叔跑完全程需要 72分钟。 【对应练习 2】 开车从安阳到北京要行驶约 500千米。一辆汽车从安阳出发前往北京，5小时行 了全程的 4 5 。照这样的速度，到达北京共需要多少小时？ 【答案】6.25小时 【分析】把全长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用 500× 45 即可求出 5小时 行驶的路程，根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程和时间成正比例，设到达 北京共需要 x小时，列比例为：500∶x＝（500× 45 ）∶5，然后解出比例即可。 【详解】解：设到达北京共需要 x小时。 500∶x＝（500× 45 ）∶5 500∶x＝400∶5 400x＝500×5 400x＝2500 x＝2500÷400 x＝6.25 答：到达北京共需要 6.25小时。 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，掌握解比例的方法是解答本题的关键。 【对应练习 3】 第 9 页 共 32 页 修一条全长 2400米的水渠，前 6天完成了 25 ，照这样的进度，修完这条水渠还 需多少天？（用比例知识解） 【答案】9天 【分析】根据题意可知，把全长看作单位“1”，前 6天完成了 25 ，还剩下（1－ 2 5）， 根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，则工作总量和工作时间成 正比例；据此设修完这条水渠还需 x天，列方程为： 25 ∶6＝（1－ 2 5 ）∶x，然 后解出方程即可。 【详解】解：设修完这条水渠还需 x天。 2 5 ∶6＝（1－ 2 5 ）∶x 2 5 ∶6＝ 3 5∶x 2 5 x＝6× 3 5 2 5 x＝ 18 5 x＝185 ÷ 2 5 x＝185 × 5 2 x＝9 答：修完这条水渠还需 9天。 【点睛】本题考查了正比例的应用，判断相关联的量是正比例还是反比例是解答 本题的关键。 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题。 【方法点拨】 正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小亮半小时能打 900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇 1500字的文章， 小亮需要多长时间？（用比例解题） 【答案】50分钟 【分析】打字速度＝文章字的数量÷打字时间，打字速度不变，则文章字数与打 第 10 页 共 32 页 字时间的比值不变，文章字数与打字时间成正比例，据此列出比例方程进行解答 即可。 【详解】解：设小亮需要 x分钟。 半小时＝30分钟 900∶30＝1500∶x 900x＝1500×30 900x＝45000 900x÷900＝45000÷900 x＝50 答：小亮需要 50分钟。 【对应练习 1】 兰兰家距离外婆家 460千米，汽车每 100千米耗油 8升，按这个耗油量，出发时 加满 40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【答案】能到。 【分析】耗油量∶汽车行驶的路程＝汽车每行驶 1千米的耗油量（一定），因为 耗油量和汽车行驶的路程的比值是一个定值，所以耗油量和汽车行驶的路程成正 比例关系。设 460千米耗油 x 升，根据这个列比例解答。 【详解】解：设 460千米耗油 x 升。 8 100 460 x  100x＝8×460 100x＝3680 100x÷100＝3680÷100 x＝36.8 40＞36.8 答：能到达外婆家。 【对应练习 2】 修一条 6400米的公路修了 20天后还剩下 4800米，照这样计算，剩下的路还要 修多少天？ 【答案】60天 第 11 页 共 32 页 【分析】修路的长度∶修的天数＝每天修路的长度（一定），可知修路的长度和 修的天数成正比例关系。据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设剩下的路还要修 x天。 （6400－4800）∶20＝4800∶x （6400－4800）x＝20×4800 1600x＝20×4800 1600x＝96000 1600x  1600＝96000  1600 x＝60 答：剩下的路还要修 60天。 【对应练习 3】 在比例尺为 1∶8000的地图上，量得潢川县彩虹桥长为 5厘米，一个修桥队 50 天修 0.04千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解 决） 【答案】450天 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出彩虹桥的实际距离，再根据工 作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系，根据剩下未修长度∶实际竣工 还需时间＝已修的 0.04千米∶修的时间 50天，列出比例方程，求出彩虹桥实际 竣工还需要多少天即可。 【详解】解：设彩虹桥实际竣工还需要 x天。 15 8000  ＝5×8000＝40000cm＝0.4km 0.4 0.04 0.04 50x   0.36 0.04 50x  0.04 0.36 50x   0.04 18x  0.04 0.04 18 0.04x    x＝450 答：彩虹桥实际竣工还需要 450天。 第 12 页 共 32 页 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题。 【方法点拨】 正比例与普通行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 从甲城到乙城的距离是 245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前 3时共行驶 210 千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 【答案】3.5时 【分析】设他到达乙城一共需要 x时，根据路程∶时间＝速度（一定），比值一 定，路程与时间成正比例，据此列出比例解答即可。 【详解】解：设他到达乙城一共需要 x时。 245∶x＝210∶3 210x＝245×3 210x÷210＝735÷210 x＝3.5 答：他到达乙城一共需要 3.5时。 【对应练习 1】 赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行 76.8千米仅需 10秒，每天可绕地球约 16圈，“天宫”内的航天员们大约每 1.5小 时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行 192千米需要多久？（用比例解） 【答案】25秒 【分析】设“天宫”飞行 192千米需要 x秒，根据路程∶时间＝速度（一定），列 出正比例算式解答即可。 【详解】解：设“天宫”飞行 192千米需要 x秒。 192∶x＝76.8∶10 76.8x＝192×10 76.8x÷76.8＝1920÷76.8 x＝25 答：“天宫”飞行 192千米需要 25秒。 【对应练习 2】 第 13 页 共 32 页 甲、乙两地相距 520千米。一辆汽车从甲地出发开往乙地，前 3小时行驶了 240 千米。照这样的速度，到达乙地一共需要多少小时？（用比例解） 【答案】6.5小时 【分析】根据速度＝路程÷时间；根据题意，由于汽车的速度不变，前 3小时行 驶的速度与从甲地到乙地行驶的速度相等，设到达乙地一共需要 x小时，列比例： 240∶3＝520∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设到达乙地一共需要 x小时。 240∶3＝520∶x 240x＝520×3 240x＝1560 x＝1560÷240 x＝6.5 答：到达乙地一共需要 6.5小时。 【对应练习 3】 从甲地开往乙地，客车前 3小时行了 180千米，照这样的速度，8小时可行完全 程，甲乙两地相距多少千米？（用比例解答） 【答案】480千米 【分析】根据题意可知，客车的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值 一定，那么路程与时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设甲乙两地相距 x千米。 x∶8＝180∶3 3 x＝8×180 3 x＝1440 x＝1440÷3 x＝480 答：甲乙两地相距 480千米。 【点睛】先确定客车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路 程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。 第 14 页 共 32 页 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题通常同时出发，相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度 成正比例，即 t甲=t乙时，有 S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为 60km/h，小蓝车速度为 50km/h。 （1）求相同时间内两车的路程比。 （2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了 220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车 呢? 解析：（1）路程比：6:5；（2）小黄车 120千米，小蓝车 100千米。 【对应练习 1】 汽车与公交车的速度比为 5∶3，两车分别从相距 160 千米的 A、B两地同时出 发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢? 解析：汽车 100km，公交车 60km 【对应练习 2】 A、B两地距离 600千米，甲乙两车分别从 A、B两地同时出发相向而行，那么， （1）若甲车的速度是 60 干米/时，乙车的速度是 40 千米/时，相遇时距 A 地 ( )千米。 （2）若甲车与乙车的速度比为 8∶7，相遇时甲车走了全程的( )，距 A 地( )千米。 解析：（1）360；（2） 15 8 ；320 【对应练习 3】 A、B两地距离 450干米，甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行， 若甲、乙的速度比为 3∶7，则相遇时距 B地多少千米？ 解析：320 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题。 【方法点拨】 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。 第 15 页 共 32 页 【典型例题】 小黄车和小蓝车的速度比为 6∶5，两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B 地后掉头返回 A地，两人如此往返。A、B两地相距 220千米，则两车第一次相 遇时，相遇地点距离 A地多远? 解析： 相同时间内，两车的速度比等于路程比，所以路程比为 6:5。 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共行驶了两倍的全程。 路程和是 440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。 小蓝车∶40×5=200（km） 答：相遇地点距离 A地 200千米。 【对应练习 1】 汽车和公交车的速度比为 5:3，两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B地后 掉头返回 A地两人如此往返。A、B两地相距 160千米，则两车第一次相遇时， 相遇地点距离 B地多远？ 解析： 路程比为 5:3，一份量：160×2÷（5+3)=40(km) 公交车：40×3=120（千米） 距离 B地：160-120=40（千米） 答：略。 【对应练习 2】 甲、乙两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B地后掉头返回 A地，两人如 此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为 3∶5，AB两地相距 1000米，则甲乙 两车第 1次相遇时，距离 B地多少米？ 解析： 同时同地出发再返回的相遇，仍然满足时间相同，路程之比等于速度之比，故两 人的路程之比为 3∶5，两人共走完了两倍的全程，所以甲走了 1000×2÷（3＋5） ×3=750米，这时相遇点距 B地 1000-750=250米。 【对应练习 3】 诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为 7∶4，诗诗到达乙 第 16 页 共 32 页 地后直接掉头直到与健健相遇，如果甲乙两地相距 44干米，则相遇地点距甲地 多远? 解析：32千米。 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题。 【方法点拨】 中点相遇问题的关键是快车比慢车多行两个离中点的距离。 【典型例题】 甲、乙两车同时从 A、B两地相对开出，3小时后在离 A、B中点 15干米处相遇， 已知甲、乙两车的速度比是 7∶6，求： （1）甲车比乙车多行多少千米？ （2）A、B两地相距多少干米? （3）甲、乙两车的速度各是多少? 解析： （1）中点问题，甲车比乙车多行 15×2=30（干米）。 （2）甲、乙两车行驶时间相同，路程比等于速度比，A、B两地相距 30÷（7-6）×（7＋6）=390（千干米）。 （3）甲车行了 390× 67 7  =210（千米），甲车速度为 210÷3=70（干米/时） 乙车行了 390× 67 7  =180（千米），乙车速度为 180÷3=60（干米/时）。 【对应练习 1】 甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是 7∶5，两车在离中点 36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？ 解析：甲速与乙速的比为 7:5.所以甲走了 7份，乙走了 5份，甲比乙多走 2份。 两车在离中点 36干米处相遇，则甲比乙多走 72干米，所以 1份为 36干米，甲 乙两地共 12份，则距离为 36×12=432（干米）。 【对应练习 2】 甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是 5:7，在距中点 18千米处 相遇两地相距多少千米? 解析： 第 17 页 共 32 页 因为两车同时出发，相遇时间一定，所以，路程与速度成正比，即相遇时甲、乙 两车行驶的路程比为 5:7，然后由“距中点 18千米处相遇”可以知道，相遇时乙车 比甲车多行 18×2=36(千米)。所以 18×2×7+5 7-5 =216(千米) 答：两地相距 216千米。 【对应练习 3】 一辆出租车和一辆中巴车分别从宁波北站和慈溪东站两地同时出发，在离中点 4.5千米处相遇，已知中巴车速度是出租车速度的 45 ，求宁波北站与慈溪东站的 路程． 【答案】81千米 【分析】在相遇问题中，如果两车在距中点的 n千米处相遇，则快车比慢车多行 驶 2n千米 【详解】4.5×2÷（ 5 4- 4+5 4+5 ） =9÷（ 5 4-9 9） =9×9 =81（千米） 答：宁波北站与慈溪东站的路程为 81千米。 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题。 【方法点拨】 追及问题通常时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即 t甲=t乙时， 有 S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为 60km/h，小蓝车速度为 50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车 多行驶 20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 解析： 两车速度比为 6∶5，路程=速度×时间，相同时间内，两车的路程比为 6∶5。 一份量∶20÷（6-5）=20（km）。 小蓝车∶20×5=100（km） 第 18 页 共 32 页 小黄车∶20×6=120（km） 答：略。 【对应练习 1】 汽车与公交车的速度比为 5∶3，它们在相距 40千米的位置同时出发，同向而行， 那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米? 解析：60km 【对应练习 2】 甲、乙两人从 A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为 3∶2，当甲 追上乙时，甲比乙多走了 500米，此时甲共走了多少米? 解析： 一份量∶500÷（3-2）=500（米），甲的路程∶500×3=1500（米）。 【对应练习 3】 甲、乙的速度之比为 5∶2，它们在相距 6干米的位置同时出发，同向而行，甲 追上乙的时候，乙走了多少干米？ 解析：4千米。 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题。 【方法点拨】 反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一个房间，用面积为 9平方分米的方砖铺地需要 240块，如果改用边长为 4分米 的方砖铺地，需要用多少块？（用比例解） 【答案】135块 【分析】根据题意可知，房间地面的面积不变，即一块方砖的面积×方砖的块数 ＝房间地面的面积（一定），乘积一定，则一块方砖的面积与方砖的块数成反比 例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要用 x块。 （4×4） x＝9×240 16 x＝2160 x＝2160÷16 第 19 页 共 32 页 x＝135 答：需要用 135块。 【对应练习 1】 学校要用方砖铺设食堂地面，如果用边长 0.4米的方砖铺地需要 800块，若改用 边长 0.6米的方砖来铺，需要多少块？ 【答案】356块 【分析】根据题意，每块方砖的面积×块数＝学校食堂的面积（一定），那么每 块方砖的面积与块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设若改用边长 0.6米的方砖来铺，需要 x块。 0.6×0.6x＝0.4×0.4×800 0.36x＝0.16×800 0.36x＝128 0.36x÷0.36＝128÷0.36 x≈356 答：若改用边长 0.6米的方砖来铺，需要 356块。 【对应练习 2】 要给一间教室铺地砖，用边长 15厘米的方砖，需要 2000块，如果用边长 25厘 米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】720块 【分析】根据题意，一块方砖的面积×方砖的块数＝教室的面积（一定），乘积 一定，则方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，其中方砖的面积＝边长×边长， 由此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要 x块边长为 25厘米的方砖。    25 25 x 15 15 2000    625x 225 2000  625x 450000 x 450000 625  x 720 答：如果用边长 25厘米的方砖，需要 720块。 第 20 页 共 32 页 【对应练习 3】 一个房间铺地砖，如果用面积为 16平方分米的方砖铺至少需 150块。如果改用 边长为 5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答） 【答案】96块 【分析】设至少需 x块，根据每块方砖的面积×相应块数＝房间面积（一定）， 列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设至少需 x块。 5×5×x＝16×150 25x＝2400 25x÷25＝2400÷25 x＝96 答：至少需 96块。 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一桶菜油，如果用 5升的瓶装，可以装满 48瓶；如果用 8升的瓶装，可以装满 多少瓶？（用比例解答） 【答案】30瓶 【分析】设可以装满 x瓶，根据瓶的容积×装满的瓶数＝菜油总体积（一定）， 列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设可以装满 x瓶。 8x＝5×48 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：可以装满 30瓶。 【对应练习 1】 如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有 20个齿，每分转 75转；小齿轮 第 21 页 共 32 页 有 10个，每分转多少转？（用比例解） 【答案】150转 【分析】因为两个互相咬合的齿轮，在同一时间内转动时，它们转过的齿数是相 同的，所以大齿轮的齿数×大齿轮的转速＝小齿轮的齿数×小齿轮的转速，设小 齿轮每分钟转 x转，然后列比例，解出比例，据此解答。 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的 两个数的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量。 【详解】解：设小齿轮每分转 x转。 10x＝20×75 10x＝1500 x＝1500÷10 x＝150 答：每分转 150转。 【对应练习 2】 一项工程，若每天工作 8小时，则 15天可以完成任务。要想 12天完成任务，平 均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【答案】10小时 【分析】设平均每天要工作 x小时；根据题意可知，工作时间和工作天数成反比 例；根据计划工作时间×计划工作天数＝实际工作时间×实际工作天数，列比例： 8×15＝12x，解比例，即可解答。 【详解】解：设平均每天要工作 x小时。 8×15＝12x 12x＝120 x＝120÷12 x＝10 第 22 页 共 32 页 答：平均每天要工作 10小时。 【对应练习 3】 大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络。某工 厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产 120箱，8天完成任务。实 际每天生产 160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】6天 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量是一定的，工作效率和 工作时间成反比例，即每天生产的箱数与生产的天数成反比例。设实际用 x天能 完成任务，可列出比例：160x＝120×8，解出比例，即可解答。 【详解】解：设实际用 x天能完成任务。 160x＝120×8 160 x＝960 x＝960÷160 x＝6 答：实际用 6天能完成任务。 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小聪读一本童话书，如果每天读 24页，10天可以读完。小聪想提前 2天读完， 那么平均每天要读多少页？（用比例解） 【答案】30页 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数×读书的天数＝一本 书的总页数（一定），所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数， 列出比例解答即可。 【详解】解：设平均每天要读 x页。 （10－2）x＝24×10 8x＝240 8x÷8＝240÷8 第 23 页 共 32 页 x＝30 答：平均每天要读 30页。 【对应练习 1】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产 80台，20天可完成任务。如果每天比原 计划多生产 25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】16天 【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天 数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”，实际生产台数是原计划（1 ＋25%），用原计划每天生产的台数×（1＋25%），求出实际每天生产的台数， 设需 x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数＝实际每天生产的台数×需要 的天数，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。 【详解】解：设需 x天能完成任务。 （1＋25%）×80×x＝80×20 1.25×80×x＝1600 100x＝1600 x＝1600÷100 x＝16 答：需 16天能完成任务。 【对应练习 2】 第 19届亚运会在杭州举行，某工厂接到生产亚运会吉祥物“江南忆”的任务，原 计划每天生产 120箱，8天完成任务。实际每天多生产 40箱，多少天完成任务？ （用比例知识解答） 【答案】6天 【分析】每天生产的数量×完成任务的天数＝任务总量，任务总量是一定的，那 么每天生产的数量和完成任务的天数成反比例关系。将多少天完成任务设为 x 天，根据反比例关系列出比例，解比例即可。 【详解】解：设 x天完成任务。 120×8＝（120＋40）x 960＝160x 第 24 页 共 32 页 160x＝960 160x÷160＝960÷160 x＝6 答：6天完成任务。 【对应练习 3】 为了迎接 4月 23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。 每天读 48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用 1天读完， 小华平均每天读多少页？（用比例解答） 【答案】40页 【分析】每天读的页数×天数＝总页数（一定），每天读的页数与天数成反比例； 小华比小明多用 1天，小华用了（5＋1）天；设小华平均每天读 x页，列比例： （5＋1）x＝48×5，解比例，即可解答。 【详解】解：设小华平均每天读 x页。 （5＋1）x＝48×5 6x＝240 x＝240÷6 x＝40 答：小华每天读 40页。 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工 200个，比规定时间提前 3天完 成任务，如果每天加工 120个，比规定时间多用 5天完成任务，规定完成任务的 时间是多少天？ 解析： 解：设规定完成任务的时间是 x天， 200×（x－3）＝120×（x＋5） 200x－600＝120x＋600 第 25 页 共 32 页 200x－600＋600＝120x＋600＋600 200x＝120x＋1200 200x－120x＝120x＋1200－120x 80x＝1200 80x÷80＝1200÷80 x＝15 答：规定完成任务的时间是 15天。 【对应练习 1】 小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写 20个，则比计划推迟 2天完成，如果 每天写 30个， 则比计划提前 3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？ 解析： 解：设计划 x天完成。 20（x+2）=30（x-3） x=13 20×（13+2）=300（个） 答：一共要写 300个字。 【对应练习 2】 小红从家去学校，如果每分钟走 50米，则会迟到 5分钟，如果每分钟走 60米， 则会提前 5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？ 解析： 解：设不迟到不提前刚好需要 x分钟。 50（x+5）=60（x-5） x=55 路程：50×（55+5）=3000（米） 每分钟走 50米，需要 55+5=60（分钟）；每分钟走 60米，需要 55-5=50（分钟） 答：略。 【对应练习 3】 某修路队修一条公路，如果每天修 400米，则比计划提前 1天完成，如果每天修 500米，则比计划提前 2天完成，这条公路长多少米？ 第 26 页 共 32 页 解析： 解：设计划修 x天完成。 400（x-1）=500（x-2） x=6 路程：400×（6-1）=2000（米） 答：略。 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速 度的反比。 【典型例题】 小东上学的速度与放学回家的速度比为 2∶5，从学校回家花的时间比从家到学 校花的时间要少 15分钟，那么小东上学路上用了多长时间? 解析： 上学放学速度比为 2∶5，路程=速度×时间，路程一定，上学放学的时间比为 5∶2。 一份量∶15÷（5-2）=5（分钟）。 上学∶5×5=25（分钟）。 【对应练习 1】 小东和小明赛跑，他们的速度之比为 11∶8，结果小东比小明晚了 6秒到达终点. 请问：小东花了多长时间跑到终点? 解析： 路程一定，速度比为 11∶8，则时间之比为 8∶11，1份时间就是 6÷（11-8）=2 秒，小东花了 11份时间，也就是 2×11=22秒。 【对应练习 2】 琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为 5∶6，琪琪从家 到学校用了 30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？ 解析： 路程相同，速度与时间成反比，琪琪和佳佳的时间比为 6∶5，佳佳从家到学校 第 27 页 共 32 页 的时间为 30× 6 5 =25（分钟） 【对应练习 3】 乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是 2∶3，则比 原计划早 20分钟到达，那么原计划用多少分钟? 解析： 根据路程一定，时间比等于速度的反比；乐乐老师的速度提高，则原速和提速后 的速度比为 1∶1.5=2∶3，路程一定的情况下，则原速和提速后所用的时间比为 3∶2，那么原计划用 20÷（3-2）×3=60（分钟） 答∶原计划用 60分钟。 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速 度的反比。 【典型例题】 甲、乙两人同时从 A地到 B地，骑车的速度比是 8:9，已知甲每小时行 16千米， 行完全程比乙多用 12 5 小时，两地相距多少千米？ 解析： 解：设甲行完全程用 x小时，则乙行完全程用（x- 12 5 ）小时。 9:8=x:（x- 12 5 ） x= 4 15 路程：16× 4 15 =60（千米） 答：两地相距 60千米。 【对应练习 1】 甲、乙两人同时从 A地到 B地，骑车的速度比是 5:6，已知甲每小时行 20千米， 行完全程比乙多用 20分钟，甲、乙两地相距多少千米？ 解析：114千米。 【对应练习 2】 第 28 页 共 32 页 从 A地到 B地，甲、乙两人所需时间的比是 8:7，已知甲每分钟比乙少行 6米， 行完全程要 45分钟，A地到 B地有多少米？ 解析： 解：设甲每分钟行 x米，则乙每分行（x+6）米。 7:8=x:（x+6） x=42 路程：42×45=1890（米） 答：略。 【对应练习 3】 铺一段长 64千米的铁轨，前 12天铺了 38.4千米，中途因雨停工 4天，要在预 定时间内完成，每天应多铺多少米？ 解析：3.2千米。 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变。 【方法点拨】 比例与单量不变的问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题 型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。 【典型例题】 小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为 2∶3，后来大胖又吃 了 24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为 10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋? 解析： 解：设小胖原来吃了 2x个，大胖原来吃了 3x个。 2x:（3x+24）=10:27 x=10 小胖：2×10=20（个） 答：略。 【对应练习 1】 小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为 3:4，后来大胖又吃了 10 个，现在小胖和大胖吃的个数之比为 4:7，求小胖吃了多少个草莓？ 解析：24个。 第 29 页 共 32 页 【对应练习 2】 希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为 7∶5，又转来 15名男生，这时 男生与女生的人数比为 3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生? 解析：375名。 【对应练习 3】 未未和莱拉原有图书数量的比是 2∶3，未未又买来 24本书后，未未和莱拉现在 图书数量的比是 6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？ 解析：84；126 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变。 【方法点拨】 和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和 是定值）。 【典型例题】 大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2:3，后来大 宝想要减肥，又夹了 10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为 3:7，求 两人一共有多少个饺子？ 解析： 解：设原来大宝和小宝碗里各有 2x个，3x个。 （2x-10）:（3x+10）=3:7 x=20 一共：20×5=100（个） 答：略。 【对应练习 1】 大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2∶3，后来 大宝想要减肥，又夹了 4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为 1∶2， 求两人一共有多少个汤圆? 解析：60个。 【对应练习 2】 甲乙两桶汽油，汽油重量之比为 3∶2，甲桶汽油向乙桶倒 5干克，则甲乙汽油 第 30 页 共 32 页 重量之比变为 8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？ 解析：75千克。 【对应练习 3】 甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48人到乙车间，甲、乙两个车间 现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人? 解析： 甲车间原有 160人，乙车间原有 120人。 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变。 【方法点拨】 1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差 不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。 2.方程法解决比例问题。 方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为 x，从而表示出变比的过程，通 过列比例方程，最终解决比例问题。 【典型例题】 小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为 2∶5，后来小牛又吃了 5 块，大牛也又吃了 2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为 5∶9，求原来两人 各自吃了多少块肥肉? 解析： 解：设一份量为 x。 （2x+5）∶（5x+2）=5∶9 x=5 小牛原来吃的肉块数∶2x=10块 大牛∶5x=25块。 答：略。 【对应练习 1】 小牛和大牛吃鸡蛋，原来小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为 2∶3，后来小牛又吃 了 4个，大牛也又吃了 3个，此时小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为 3∶4，求原 来两人各自吃了多少个鸡蛋? 第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元比例·综合应用篇【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元比例·综合应用篇 专题内容 本专题以比例的综合应用为主，其中包括比例的一般应用题， 正比例和反比例的实际应用，比例与不变量问题等多种典型 问题。 总体评价 讲解建议 本专题部分考点难度较大，建议根据学生实际水平和总体掌 握情况，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】物高与影长问题 ...............................................................................................4 【考点二】比例与分数问题 ...............................................................................................5 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题 ................................................................ 6 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题 .........................................................7 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题 ................................................................ 8 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题 .........................................................9 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题 .......................................................10 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题 .............................................................. 12 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题 .............................................................. 13 第 3 页 共 23 页 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型” ........................................... 14 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型” ........................................15 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型” ........................................16 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型” ........................................17 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型” ........................................18 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变 .......................................................19 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变 .............................................................. 20 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变 .............................................................. 21 【考点十八】复杂的比例问题 ......................................................................................... 22 第 4 页 共 23 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】物高与影长问题。 【方法点拨】 在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一 等量关系，建立比例方程解决问题。 【典型例题】 一根 3米的电线杆，某一时刻测得它在阳光下的影长是 1.8米，同一时刻测得旁 边一棵大树的影长是 4.2米。这棵大树高多少米？（用比例解答） 【对应练习 1】 风能作为一种清洁的可再生能源越来越受到世界各国的重视。数学实践小组测得 一座风力发电架在阳光下的影长是 64米，同时在该地测得一根竹竿及影子的长 度如图。风力发电架高多少米？（用比例解答） 【对应练习 2】 登封市观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星 台旁边垂直于地面立了一根 1.2米高的木棒，量得木棒影长 0.5米。聪聪又量出 观星台的影长约为 5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？ 第 5 页 共 23 页 【对应练习 3】 实践活动：同学们仿照数学家泰勒利用“日影近似测量物体高度”的方法测量学校 旗杆的高度。 第一步：在阳光下测量竹竿的高度及其影子的长度，测量数据如下表： 实际高度（米） 影长（米） 实际高度与影长的比值 竹竿 1 2 0.5 竹竿 2 1.6 0.4 竹竿 3 1 0.25 计算并填写表格。 第二步：观察表格中竹竿的实际高度与影长的比值，发现____________。 第三步：根据发现，测出旗杆的影长是 3.2米，旗杆的实际高度是多少米？（用 比例解） 【考点二】比例与分数问题。 【方法点拨】 带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程 求解。 【典型例题】 小明读一本 300页的故事书，前 2天读了全书的 13，照这样计算，读完全书还要 多少天？ 第 6 页 共 23 页 【对应练习 1】 2023年 5月，在千山举办了“鞍山千山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名 参加。王叔叔在 32分钟时就跑完了全程的 49 ，照这样的速度，王叔叔跑完全程 21千米需要多少分钟？（用比例方法解答） 【对应练习 2】 开车从安阳到北京要行驶约 500千米。一辆汽车从安阳出发前往北京，5小时行 了全程的 4 5 。照这样的速度，到达北京共需要多少小时？ 【对应练习 3】 修一条全长 2400米的水渠，前 6天完成了 25 ，照这样的进度，修完这条水渠还 需多少天？（用比例知识解） 【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题。 【方法点拨】 正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小亮半小时能打 900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇 1500字的文章， 小亮需要多长时间？（用比例解题） 第 7 页 共 23 页 【对应练习 1】 兰兰家距离外婆家 460千米，汽车每 100千米耗油 8升，按这个耗油量，出发时 加满 40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答） 【对应练习 2】 修一条 6400米的公路修了 20天后还剩下 4800米，照这样计算，剩下的路还要 修多少天？ 【对应练习 3】 在比例尺为 1∶8000的地图上，量得潢川县彩虹桥长为 5厘米，一个修桥队 50 天修 0.04千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解 决） 【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题。 【方法点拨】 正比例与普通行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 从甲城到乙城的距离是 245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前 3时共行驶 210 千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 第 8 页 共 23 页 【对应练习 1】 赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。我国载人空间站“天宫”飞行 76.8千米仅需 10秒，每天可绕地球约 16圈，“天宫”内的航天员们大约每 1.5小 时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行 192千米需要多久？（用比例解） 【对应练习 2】 甲、乙两地相距 520千米。一辆汽车从甲地出发开往乙地，前 3小时行驶了 240 千米。照这样的速度，到达乙地一共需要多少小时？（用比例解） 【对应练习 3】 从甲地开往乙地，客车前 3小时行了 180千米，照这样的速度，8小时可行完全 程，甲乙两地相距多少千米？（用比例解答） 【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题。 【方法点拨】 相遇问题通常同时出发，相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度 成正比例，即 t甲=t乙时，有 S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为 60km/h，小蓝车速度为 50km/h。 （1）求相同时间内两车的路程比。 （2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了 220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车 呢? 第 9 页 共 23 页 【对应练习 1】 汽车与公交车的速度比为 5∶3，两车分别从相距 160 千米的 A、B两地同时出 发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢? 【对应练习 2】 A、B两地距离 600千米，甲乙两车分别从 A、B两地同时出发相向而行，那么， （1）若甲车的速度是 60 干米/时，乙车的速度是 40 千米/时，相遇时距 A 地 ( )千米。 （2）若甲车与乙车的速度比为 8∶7，相遇时甲车走了全程的( )，距 A 地( )千米。 【对应练习 3】 A、B两地距离 450干米，甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行， 若甲、乙的速度比为 3∶7，则相遇时距 B地多少千米？ 【考点六】正比例的实际应用其四：往返相遇问题。 【方法点拨】 同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。 【典型例题】 小黄车和小蓝车的速度比为 6∶5，两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B 地后掉头返回 A地，两人如此往返。A、B两地相距 220千米，则两车第一次相 遇时，相遇地点距离 A地多远? 第 10 页 共 23 页 【对应练习 1】 汽车和公交车的速度比为 5:3，两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B地后 掉头返回 A地两人如此往返。A、B两地相距 160千米，则两车第一次相遇时， 相遇地点距离 B地多远？ 【对应练习 2】 甲、乙两车同时从 A地同向出发前往 B地，到达 B地后掉头返回 A地，两人如 此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为 3∶5，AB两地相距 1000米，则甲乙 两车第 1次相遇时，距离 B地多少米？ 【对应练习 3】 诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为 7∶4，诗诗到达乙 地后直接掉头直到与健健相遇，如果甲乙两地相距 44干米，则相遇地点距甲地 多远? 【考点七】正比例的实际应用其五：中点相遇问题。 【方法点拨】 中点相遇问题的关键是快车比慢车多行两个离中点的距离。 【典型例题】 甲、乙两车同时从 A、B两地相对开出，3小时后在离 A、B中点 15干米处相遇， 已知甲、乙两车的速度比是 7∶6，求： （1）甲车比乙车多行多少千米？ （2）A、B两地相距多少干米? 第 11 页 共 23 页 （3）甲、乙两车的速度各是多少? 【对应练习 1】 甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是 7∶5，两车在离中点 36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？ 【对应练习 2】 甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是 5:7，在距中点 18千米处 相遇两地相距多少千米? 【对应练习 3】 一辆出租车和一辆中巴车分别从宁波北站和慈溪东站两地同时出发，在离中点 4.5千米处相遇，已知中巴车速度是出租车速度的 45 ，求宁波北站与慈溪东站的 路程。 第 12 页 共 23 页 【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题。 【方法点拨】 追及问题通常时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即 t甲=t乙时， 有 S甲∶S乙=V甲∶V乙。 【典型例题】 小黄车速度为 60km/h，小蓝车速度为 50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车 多行驶 20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢? 【对应练习 1】 汽车与公交车的速度比为 5∶3，它们在相距 40千米的位置同时出发，同向而行， 那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米? 【对应练习 2】 甲、乙两人从 A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为 3∶2，当甲 追上乙时，甲比乙多走了 500米，此时甲共走了多少米? 【对应练习 3】 甲、乙的速度之比为 5∶2，它们在相距 6干米的位置同时出发，同向而行，甲 追上乙的时候，乙走了多少干米？ 第 13 页 共 23 页 【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题。 【方法点拨】 反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一个房间，用面积为 9平方分米的方砖铺地需要 240块，如果改用边长为 4分米 的方砖铺地，需要用多少块？（用比例解） 【对应练习 1】 学校要用方砖铺设食堂地面，如果用边长 0.4米的方砖铺地需要 800块，若改用 边长 0.6米的方砖来铺，需要多少块？ 【对应练习 2】 要给一间教室铺地砖，用边长 15厘米的方砖，需要 2000块，如果用边长 25厘 米的方砖，需要多少块？（用比例解） 【对应练习 3】 一个房间铺地砖，如果用面积为 16平方分米的方砖铺至少需 150块。如果改用 边长为 5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答） 第 14 页 共 23 页 【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 一桶菜油，如果用 5升的瓶装，可以装满 48瓶；如果用 8升的瓶装，可以装满 多少瓶？（用比例解答） 【对应练习 1】 如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有 20个齿，每分转 75转；小齿轮 有 10个，每分转多少转？（用比例解） 【对应练习 2】 一项工程，若每天工作 8小时，则 15天可以完成任务。要想 12天完成任务，平 均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【对应练习 3】 大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络。某工 厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产 120箱，8天完成任务。实 际每天生产 160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 第 15 页 共 23 页 【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 小聪读一本童话书，如果每天读 24页，10天可以读完。小聪想提前 2天读完， 那么平均每天要读多少页？（用比例解） 【对应练习 1】 农具厂生产一批农具，原计划每天生产 80台，20天可完成任务。如果每天比原 计划多生产 25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【对应练习 2】 第 19届亚运会在杭州举行，某工厂接到生产亚运会吉祥物“江南忆”的任务，原 计划每天生产 120箱，8天完成任务。实际每天多生产 40箱，多少天完成任务？ （用比例知识解答） 【对应练习 3】 为了迎接 4月 23日世界读书日，希望小学把四月份定为读书月。小明读一本书。 每天读 48页，5天读完。小华和小明读的是同一本书，比小明多用 1天读完， 小华平均每天读多少页？（用比例解答） 第 16 页 共 23 页 【考点十二】反比例的实际应用其四：归总问题“拓展型”。 【方法点拨】 反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。 【典型例题】 黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工 200个，比规定时间提前 3天完 成任务，如果每天加工 120个，比规定时间多用 5天完成任务，规定完成任务的 时间是多少天？ 【对应练习 1】 小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写 20个，则比计划推迟 2天完成，如果 每天写 30个， 则比计划提前 3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？ 【对应练习 2】 小红从家去学校，如果每分钟走 50米，则会迟到 5分钟，如果每分钟走 60米， 则会提前 5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？ 【对应练习 3】 某修路队修一条公路，如果每天修 400米，则比计划提前 1天完成，如果每天修 500米，则比计划提前 2天完成，这条公路长多少米？ 第 17 页 共 23 页 【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“基础型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速 度的反比。 【典型例题】 小东上学的速度与放学回家的速度比为 2∶5，从学校回家花的时间比从家到学 校花的时间要少 15分钟，那么小东上学路上用了多长时间? 【对应练习 1】 小东和小明赛跑，他们的速度之比为 11∶8，结果小东比小明晚了 6秒到达终点. 请问：小东花了多长时间跑到终点? 【对应练习 2】 琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为 5∶6，琪琪从家 到学校用了 30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？ 【对应练习 3】 乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是 2∶3，则比 原计划早 20分钟到达，那么原计划用多少分钟? 第 18 页 共 23 页 【考点十四】反比例的实际应用其六：行程问题“提高型”。 【方法点拨】 反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速 度的反比。 【典型例题】 甲、乙两人同时从 A地到 B地，骑车的速度比是 8:9，已知甲每小时行 16千米， 行完全程比乙多用 12 5 小时，两地相距多少千米？ 【对应练习 1】 甲、乙两人同时从 A地到 B地，骑车的速度比是 5:6，已知甲每小时行 20千米， 行完全程比乙多用 20分钟，甲、乙两地相距多少千米？ 【对应练习 2】 从 A地到 B地，甲、乙两人所需时间的比是 8:7，已知甲每分钟比乙少行 6米， 行完全程要 45分钟，A地到 B地有多少米？ 【对应练习 3】 铺一段长 64千米的铁轨，前 12天铺了 38.4千米，中途因雨停工 4天，要在预 定时间内完成，每天应多铺多少米？ 第 19 页 共 23 页 【考点十五】比例与不变量问题其一：单一量不变。 【方法点拨】 比例与单量不变的问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题 型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。 【典型例题】 小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为 2∶3，后来大胖又吃 了 24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为 10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋? 【对应练习 1】 小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为 3:4，后来大胖又吃了 10 个，现在小胖和大胖吃的个数之比为 4:7，求小胖吃了多少个草莓？ 【对应练习 2】 希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为 7∶5，又转来 15名男生，这时 男生与女生的人数比为 3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生? 【对应练习 3】 未未和莱拉原有图书数量的比是 2∶3，未未又买来 24本书后，未未和莱拉现在 图书数量的比是 6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？ 第 20 页 共 23 页 【考点十六】比例与不变量问题其二：和不变。 【方法点拨】 和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和 是定值）。 【典型例题】 大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2:3，后来大 宝想要减肥，又夹了 10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为 3:7，求 两人一共有多少个饺子？ 【对应练习 1】 大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2∶3，后来 大宝想要减肥，又夹了 4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为 1∶2， 求两人一共有多少个汤圆? 【对应练习 2】 甲乙两桶汽油，汽油重量之比为 3∶2，甲桶汽油向乙桶倒 5干克，则甲乙汽油 重量之比变为 8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？ 【对应练习 3】 甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48人到乙车间，甲、乙两个车间 现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人? 第 21 页 共 23 页 【考点十七】比例与不变量问题其三：差不变。 【方法点拨】 1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差 不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。 2.方程法解决比例问题。 方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为 x，从而表示出变比的过程，通 过列比例方程，最终解决比例问题。 【典型例题】 小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为 2∶5，后来小牛又吃了 5 块，大牛也又吃了 2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为 5∶9，求原来两人 各自吃了多少块肥肉? 【对应练习 1】 小牛和大牛吃鸡蛋，原来小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为 2∶3，后来小牛又吃 了 4个，大牛也又吃了 3个，此时小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为 3∶4，求原 来两人各自吃了多少个鸡蛋? 【对应练习 2】 甲乙两个仓库，堆放物品的质量比是 3∶7，甲仓库运进 6吨，乙仓库运出 4吨 后，甲乙仓库堆放的物品的质量比是 3∶5，求甲乙仓库原来各堆放多少吨物品? 第 22 页 共 23 页 【对应练习 3】 某校五年级只有两个班，全年级的男生人数与女生人数之比为 8∶7，已知一班 男生有 51人，女生有 48人，二班的男生人数与女生人数之比为 5∶4，那么二 班男生有多少人？女生有多少人？ 【对应练习 4】 今年三毛和二毛的年龄比是 7∶5，五年后，三毛与二毛的年龄比是 13∶10，问 两人今年各几岁? 【对应练习 5】 A、B两种商品的价格之比为 7∶2，如果它们的价格分别上涨 60元后，价格之 比为 5∶2，这两种商品原来的价格各是多少? 【考点十八】复杂的比例问题。 【方法点拨】 复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。 【典型例题】 小明和小芳两人压岁钱的比是 4∶3，开学时交学费用去钱的比是 18∶13，这时 小明和小芳各剩下 36元、48元，求原来两人各有多少元压岁钱? 第 23 页 共 23 页 【对应练习】 兄弟两人月收入的比为 4∶3，月支出比为 11∶6，月结余均为 3600元，问每人 每月收入多少元？