第02讲 直角三角形（6个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第02讲 直角三角形 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01直角三角形的两个锐角互余....................................................................................................................................4 题型02判断三边能否构成直角三角形...............................................................................................................................6 题型03锐角互余的三角形是直角三角形...........................................................................................................................8 题型04在网格中判断直角三角形.......................................................................................................................................11 题型05图形上与已知两点构成直角三角形的点...........................................................................................................13 题型06用HL证全等（HL）...............................................................................................................................................16 题型07全等的性质和HL综合（HL）.............................................................................................................................19 题型08利用勾股定理的逆定理求解..................................................................................................................................22 题型09勾股定理逆定理的实际应用..................................................................................................................................25 题型10勾股定理逆定理的拓展问题...................................................................................................................................27 分层练习.........................................................................................................................................................................................30 夯实基础.........................................................................................................................................................................................30 能力提升.........................................................................................................................................................................................47 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点3．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点4．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点5．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点6．四种命题及其关系 四种命题及其关系． 1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题． 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题． 题型01直角三角形的两个锐角互余 1．（21八年级下·湖南株洲·期末）在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 题型02判断三边能否构成直角三角形 4．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2025八年级下·全国·专题练习）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是 ． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 题型03锐角互余的三角形是直角三角形 7．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 8．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    9．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 题型04在网格中判断直角三角形 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 12．（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 题型05图形上与已知两点构成直角三角形的点 13．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 14．（八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 15．（八年级上·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    题型06用HL证全等（HL） 16．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 题型07全等的性质和HL综合（HL） 19．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 20．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 21．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在和中，，，，求证：．    题型08利用勾股定理的逆定理求解 22．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 24．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 题型09勾股定理逆定理的实际应用 25．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 26．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 27．（八年级下·福建福州·期中）某校有一空地，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，，，，，，若种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 题型10勾股定理逆定理的拓展问题 28．（八年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 29．（八年级·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 30．（23-24八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 夯实基础 一、单选题 1．如图,已知,,则判定最直接的依据是（    ） A． B． C． D． 2．有下面的判断： ①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形； ②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2； ③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形； ④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2. 其中判断正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知下列四组线段：①5，12，13 ； ②15，8，17 ； ③1.5，2，2.5 ； ④．其中能构成直角三角形的有（ ）组 A．四 B．三 C．二 D．一 4．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．180° 5．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是(  ). A．24° B．34° C．44° D．46° 6．一个锥形零件，图纸规定轴截面的倾斜角的正切值是，则该锥形零件的锥度k是（  ） A．16 B． C． D． 7．已知的三边长分别为，且满足，则（    ） A．不是直角 B．是以为斜边的直角三角形 C．是以为斜边的直角三角形 D．是以为斜边的直角三角形 8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 二、填空题 9．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A= ． 10．直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为 ． 11．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1= °时，电线杆与地面垂直. 12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为 ; 13．如图，，点O在直线l1上，若∠AOB=90°，∠1=35°，则∠2的度数为 ． 14．在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当， 时，和全等． 三、解答题 15．下列命题的条件是什么？结论是什么? （1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； （3）直角三角形的两锐角互余； （4）两直线平行，同位角相等． 16．已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．求证：． 17．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 18．如图所示，在中，，，过点D作，DE恰好是的角平分线，求证：． 19．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线．请你证明这一结论． 20．如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， (1)若、则__________． (2)若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． (3)将四边形纸片（不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 能力提升 一、单选题 21．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．同位角相等 D．如果，那么 22．下列三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别是、、（k是正整数） 二、填空题 23．一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是 ． 24．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为 的铁丝才能把三角形做好． 三、解答题 25．如图，，，是直角三角形吗?为什么?    26．“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. (1)判断△ACM的形状，并说明理由； (2)求公路AB的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直角三角形 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01直角三角形的两个锐角互余....................................................................................................................................4 题型02判断三边能否构成直角三角形...............................................................................................................................6 题型03锐角互余的三角形是直角三角形...........................................................................................................................8 题型04在网格中判断直角三角形.......................................................................................................................................11 题型05图形上与已知两点构成直角三角形的点...........................................................................................................13 题型06用HL证全等（HL）...............................................................................................................................................16 题型07全等的性质和HL综合（HL）.............................................................................................................................19 题型08利用勾股定理的逆定理求解..................................................................................................................................22 题型09勾股定理逆定理的实际应用..................................................................................................................................25 题型10勾股定理逆定理的拓展问题...................................................................................................................................27 分层练习.........................................................................................................................................................................................30 夯实基础.........................................................................................................................................................................................30 能力提升.........................................................................................................................................................................................47 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点3．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点4．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点5．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点6．四种命题及其关系 四种命题及其关系． 1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题． 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题． 题型01直角三角形的两个锐角互余 1．（21八年级下·湖南株洲·期末）在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ． 【答案】/55度 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明等腰三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，余角的性质，确定角之间的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质和余角的性质可证，根据角平分线的定义和外角性质可证，根据等角对等边可证． 【详解】解：．理由如下： ∵（已知）， ∴（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， （直角三角形的两个锐角互余）， ∴（同角的余角相等）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵，，（三角形的外角性质） ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 题型02判断三边能否构成直角三角形 4．（24-25八年级下·江苏无锡·开学考试）由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：A、， 、、组成的三角形是直角三角形； B、， 、、组成的三角形不是直角三角形； C、， 、、组成的三角形不是直角三角形； D、， 、、组成的三角形不是直角三角形． 故选：A． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率的求法．三粒均匀的正六面体骰子同时掷出共出现216种情况，而边长能构成直角三角形的数字为3、4、5，含这三个数字的情况有6种，故由概率公式计算即可． 【详解】解：因为将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，按出现数字的不同共种情况，其中数字分别为3，4，5，是直角三角形三边长时，有6种情况，所以其概率为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)24 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 题型03锐角互余的三角形是直角三角形 7．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、原等式变形得：，根据勾股定理的逆定理知，是直角三角形，故此选项不符合题意； B、 ，是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； D、因，设， ， ∴，则是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．解题的关键是用较短两边的平方和与较长一边的平方相比较,如果相等就是直角三角形,否则不是直角三角形. 8．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    【答案】/度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 9．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 题型04在网格中判断直角三角形 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，设单位正方形的边长为1，由勾股定理得出，，，，再由勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】解：设单位正方形的边长为1， 则，，，， ∵， ∴能构成一个直角三角形三边的线段是、、，故B符合题意， ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 【答案】4 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 12．（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 【答案】图见解析，直角三角形 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，反过来也成立．根据勾股定理作出边长为，和5的三角形，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】如图所示， ，，， ，， ， ∴为直角三角形． 题型05图形上与已知两点构成直角三角形的点 13．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、在网格中判断直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 14．（八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 15．（八年级上·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【答案】为直角三角形，理由详见解析. 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可. 【详解】解：如图所示. 如图1，在中， ，， 因为， 所以， 即为直角三角形. 如图2，在中， . 在中，. 在中，. 所以， 所以，即为直角三角形. 【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键. 题型06用HL证全等（HL） 16．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中 ， ∴. 故选：C. 17．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明：与分别为，边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 题型07全等的性质和HL综合（HL） 19．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 20．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查角平分线的判定定理和性质定理．全等三角形的判定和性质等知识，如图，作于M，于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得是的平分线，由，，推出，，由，推出，由，推出即可一一判断． 【详解】解：如图，作于M，于N． ∵， ∴， 同理， ∴， ∴平分， ∴，故①正确， ∵在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴，故②正确， 在中，∵， ∴，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 21．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在和中，，，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定和性质．根据“”证明，即可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 题型08利用勾股定理的逆定理求解 22．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 24．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【知识点】含30度角的直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 题型09勾股定理逆定理的实际应用 25．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 26．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教材母题变式）如图，一艘快艇计划从地航行到距离地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到达地接人，再从地航行20海里到达地，此时快艇位于地的 方向上． 【答案】北偏东 【知识点】与方向角有关的计算题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【详解】解：由题意知，，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 27．（八年级下·福建福州·期中）某校有一空地，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，，，，，，若种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 【答案】元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据求出四边形的面积即可求解，掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴共需要投入元． 题型10勾股定理逆定理的拓展问题 28．（八年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 【答案】A 【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状. 【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时， 由勾股定理可知42+52=41>36=62 可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形. 故应选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势. 29．（八年级·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 30．（23-24八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 夯实基础 一、单选题 1．如图,已知,,则判定最直接的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意可知和是直角三角形,根据全等判定定理,有一条斜边和直角边分别对应相等即可判定,继而选出本题答案． 【详解】解:∵,, ∴和均为直角三角形, ∴在和中, , ∴． 故选:D． 2．有下面的判断： ①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形； ②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2； ③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形； ④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2. 其中判断正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答. 【详解】①c不一定是斜边，①错误； ②根据勾股定理可得②正确； ③根据勾股定理的逆定理可得③正确； ④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确． 共2个正确． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 3．已知下列四组线段：①5，12，13 ； ②15，8，17 ； ③1.5，2，2.5 ； ④．其中能构成直角三角形的有（ ）组 A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于较长边的平方，那么就能构成直角三角形来判断． 【详解】解：要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可． ①，②，③，④，均可以， 故选A． 4．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．180° 【答案】C 【分析】由图可知，直角三角形的两个锐角正好是∠1和∠2的对顶角，而直角三角形的两个锐角之和是90°，那么就可得知∠1+∠2的度数． 【详解】解：由图可知，∠1和∠2的对顶角互余，所以∠1+∠2=90°． 故选C． 5．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是(  ). A．24° B．34° C．44° D．46° 【答案】B 【详解】直角三角形两个锐角的和是90°， 设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为90°-x， 得：90°-x-x=22°， 得：x=34°， 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟记直角三角形两个锐角互余． 6．一个锥形零件，图纸规定轴截面的倾斜角的正切值是，则该锥形零件的锥度k是（  ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锥度的定义即可求解. 【详解】根据题意可知，锥形倾斜角的正切值是， ∴锥度k=2×=. 故选D. 【点睛】本题考查正切值与锥度的定义. 锥度是双侧对中心线的夹角，是指圆锥的底面直径与锥体高度之比. 7．已知的三边长分别为，且满足，则（    ） A．不是直角 B．是以为斜边的直角三角形 C．是以为斜边的直角三角形 D．是以为斜边的直角三角形 【答案】D 【分析】根据的三边长分别为，9足，由非负式和为零成立的条件得到，通过各个选项信息，结合勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：的三边长分别为，满足， 当时，成立，解得， ， ，即是以为斜边的直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查非负式和为零成立的条件、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握非负式和为零成立的条件是解决问题的关键． 8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 二、填空题 9．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A= ． 【答案】90° 【分析】根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠A所对边为斜边，则∠A=90°. 【详解】解：∵AB2+AC2=72+242=252=BC2， ∴△ABC为直角三角形，BC为斜边， ∴∠A=90°. 故答案为90°. 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，解此题的关键在于熟练掌握相关知识点. 10．直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为 ． 【答案】65°和25° 【详解】试题解析：设这两个锐角的度数分别为x，y， 根据题意得, 解得 故答案为 11．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1= °时，电线杆与地面垂直. 【答案】60° 【分析】将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1． 【详解】因为在直角三角形BEF中,∠B=30°,所以∠BEF=90°-30°=60°,即∠1=60°. 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质. 12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为 ; 【答案】96m2． 【分析】在Rt△ADC中，由勾股定理求得AC=10m，在利用勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，利用S阴影= AC×BC-AD×CD即可求解. 【详解】在Rt△ADC中， ∵CD=6m，AD=8m， ∴AC2 =AD2 +CD2 =82 +62 =100， ∴AC=10m，（取正值）． 在△ABC中， ∵AC2 +BC2 =102 +242 =676，AB2 =262 =676． ∴AC2 +BC2 =AB2 ， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°． ∴S阴影= AC×BC-AD×CD=×10×24- ×8×6=96（m2 ）． 故答案为96m2． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及根据勾股定理判定直角三角形，证得△ABC是直角三角形是解题的关键． 13．如图，，点O在直线l1上，若∠AOB=90°，∠1=35°，则∠2的度数为 ． 【答案】55° 【分析】根据平行线的性质，可得∠OAB=∠1=35°，即可求得∠ABO，再根据对顶角相等即可求得． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，对顶角的性质，熟练掌握和运用平行线的性质是解决本题的关键． 14．在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当， 时，和全等． 【答案】8或15 【分析】分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm． 【详解】解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示： 在Rt△ABC和Rt△QPA中，， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP=BC=8cm； ②当P运动到与C点重合时，如图2所示： 在Rt△ABC和Rt△PQA中，， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）， 即AP=AC=15cm． 综上所述，AP的长度是8cm或15cm． 故答案为：8或15． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 三、解答题 15．下列命题的条件是什么？结论是什么? （1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； （3）直角三角形的两锐角互余； （4）两直线平行，同位角相等． 【答案】（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；（4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【分析】（1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题）即可得； （2）根据命题的定义即可得； （3）根据命题的定义即可得； （4）根据命题的定义即可得． 【详解】解：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等； （2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形； （3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余； （4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟记命题的定义是解题关键． 16．已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明 ，进而解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明． 17．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 18．如图所示，在中，，，过点D作，DE恰好是的角平分线，求证：． 【答案】详见解析 【分析】如图所示，根据题意首先证明△BED与△AED全等，然后结合三角形全等的性质以及直角三角形性质进一步证明∠1=30°，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示， ∵， ∴∠AED=∠BED=90°， 又∵DE是的角平分线， ∴∠3=∠4， 在△BED与△AED中， ∵∠3=∠4，DE=DE，∠BED=∠AED， ∴△BED≌△AED(ASA)， ∴AD=BD，∠2=∠B， ∵=∠2， ∴∠1=∠2=∠B， ∵∠1+∠2+∠B=90°， ∴∠1=∠2=∠B=30°，在Rt△ACD中， ∵∠1=30°， ∴， 即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定及等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 19．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线．请你证明这一结论． 【答案】证明见解析 【分析】证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），可得结论． 【详解】证明：∵∠OMP=∠ONP=90°， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠POM=∠PON， ∴射线OP就是∠AOB的平分线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作图-复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， (1)若、则__________． (2)若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． (3)将四边形纸片（不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，利用三角形外角的性质可得，，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，利用三角形外角的性质可得，，，即可求解； （3）延长交的延长线于，利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得： 由三角形外角的性质可得 ∴ ∴ 故答案为： （2），理由如下： 设交于，如下图： ∵ ∴ ∴ （3）如下图，延长交的延长线于， 由（2）可得 ∴，即 ∵ ∴ 【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 能力提升 一、单选题 21．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判定，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、平行线的性质、等式的性质是银题的关键． 根据对顶角性质判定A；根据直角三角形的性质判定B，根据两直线平行，同位角相等．没有平行这个条件，同位角相等是不成立的，判定C；根据等式性质判定D． 【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余是真命题，故此选项不符合题意； C、因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项符合题意； D、如果，那么是真命题，故此选项不符合题意； 故选：C． 22．下列三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别是、、（k是正整数） 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，，是直角三角形，不符合题意； B、，设（k是正整数），，不是直角三角形，符合题意； C、，，是直角三角形，不符合题意； D、三边的长分别是、、（k是正整数），，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 23．一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积． 【详解】解：， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键． 24．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为 的铁丝才能把三角形做好． 【答案】8cm 【分析】设两直角边分别为x，y，再根据已知利用完全平方公式可求得两边的平方和，从而得到了斜边的平方即可求得斜边的长，即求得了还需的铁线的长度． 【详解】设两直角边分别为x，y ∵x＋y＝10， ∴（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝102 ∴x2＋y2＋2×18＝100 ∴x2＋y2＝64＝82 ∴还需要准备一根8cm的铁丝. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是熟练运用勾股定理的逆定理． 25．如图，，，是直角三角形吗?为什么?    【答案】是，见解析 【分析】由，推出．再由，得出，从而，即可得答案． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查的是直角三角形的判断，解题的关键是掌握直角三角形的定义和三角形的内角和定理． 26．“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. (1)判断△ACM的形状，并说明理由； (2)求公路AB的长. 【答案】(1)△ACM是直角三角形，见解析 (2)原来的路线AB的长为16.9千米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （2）根据勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）△ACM是直角三角形，          理由是：在△ACM中， ∵AM2+CM2=122+52=169， AC2=169，                              ∴AM2+CM2=AC2， ∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°； （2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米， 在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12， 由勾股定理得：AB2=BM2+AM2， ∴x2=（x-5）2+122，                         解这个方程，得x=16.9， 答：原来的路线AB的长为16.9千米． 【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$