精品解析：广东省汕头市潮南区峡山统考2024-2025学年九年级上学期期终考试数学试卷

2024~2025学年度第一学期 九年级期终考试数学试卷（J） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意； B、点数和为6，是随机事件，符合题意； C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意； D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 4. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 5. 甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵甲袋中，红球个数是白球个数的2倍 ∴设白球4x个，红球8x个，两种球总共12x个 ∵乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，且两袋装球总数量相同 ∴红球为9x个，白球3x个 混合后摸出红球的概率为 故选C． 6. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2019 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 根据题意可知，，，所求式子化为即可求解． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ． 故选：D． 7. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为， ，，， ， 将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置， 在轴正半轴上，且， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． 8. 在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图像可能是（　　）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图像分别判断各自a值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合题意的选项． 【详解】解：选项A，直线经过二、四象限a＜0，抛物线开口向上，a＞0，矛盾，故不符合题意； 选项B，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向上a＞0，由抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，矛盾，故不符合题意； 选项C，直线经过二、四象限，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，故符合题意； 选项D，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向下a＜0，矛盾，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图像与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图像的关系． 10. 如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答. 【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等； 如图，连接，则，是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积＝扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：C. 【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位所得直线解析式为：； 故答案为：． 12. 如图，是等边三角形的内切圆，分别切、、于点、、，是上一点，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理,等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理． 如图，连接，．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． ∵是的内切圆，E，F是切点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根， 故该一元二次方程的根的判别式，即， 解得， 又∵， ∴， ∴满足条件所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个， ∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题． 14. 如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接和， ∵点D为的中点，， ∴,，是的角平分线，是， ∴， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∵， ∴ ∴, ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键． 15. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解得，（不合题意，舍去），即可得到答案 【详解】若是“和谐点”，则， 则，， ∴， 即，解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 若，求． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先根据得出，，，再将代入变形求值即可． 【详解】解：由得， 由得， 由可知， 故可得，即， ． 17. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线对称性可得抛物线对称轴为直线，从而可得，由抛物线x轴有公共点，可得，将代入可得，，进而求解．本题二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与轴交点与判别式的关系． 【详解】解：抛物线经过不同两点，， 抛物线对称轴为直线， 即，整理得， 该二次函数的图象与x轴有公共点 ∴ ， ∵， ∴， ，， ． 18. 如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，为半径的一段圆弧． 【实践与操作】 （1）请你确定的中点E；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 应用与计算】 （2）若，，求石拱桥桥拱的高度． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，尺规作图—作垂线： （1）作中垂线，与交点即为点； （2）利用垂径定理和勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，点E即为所求的中点； ∵， ∴点在上， 由垂径定理可知，点为的中点； （2）由图可知：，， ∴ ∴在中，，， ∴ ∴， 答：石拱桥桥拱的高度是． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案； （2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种， ∴恰好选中乙的概率为； 故答案为：； （2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生 画树状如下： 4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种， ∴（1女1男）． 答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积． 【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18 【解析】 【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解； （2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）结论：点在直线上； ∵，， ∴， ∴，即． ∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上． （2）作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即以、为邻边的正方形面积． 【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键． 21. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）20% （2）18个 【解析】 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． 【小问2详解】 设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线； （2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立； （3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或，，见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ 【小问3详解】 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期 九年级期终考试数学试卷（J） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 4. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b是方程两个实数根，则的值是（ ） A. 2019 B. 2021 C. 2022 D. 2023 7. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 9. 在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图像可能是（　　）. A. B. C. D. 10. 如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为________． 12. 如图，是等边三角形的内切圆，分别切、、于点、、，是上一点，则的度数为______． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________． 14. 如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________． 15. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 若，求． 17. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 18. 如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，为半径的一段圆弧． 【实践与操作】 （1）请你确定的中点E；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 【应用与计算】 （2）若，，求石拱桥桥拱的高度． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 20. 如图，点是边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边正方形的面积． 21. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． （1）求证：直线是切线； （2）当时，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 23. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $