课时测评46 空间图形基本位置关系的认识 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评46　空间图形基本位置关系的认识 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若点A在平面α内，直线l在平面α内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是(　　) A．A∈l⊂α且A⊂α B．A∉l⊂α且A∈α C．A⊄l∈α且A∈α D．A⊄l⊂α且A⊂α 答案：B 解析：点A在平面α内表示为A∈α，点A不在直线l上表示为A∉l，直线l在平面α内可表示为l⊂α.故选B. 2．有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面．正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确．在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误．直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误．所以正确的个数为2个．故选B. 3．下列命题中，正确的是(　　) A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点 B．两个平面相交，可以只有一个公共点 C．三角形是平面图形 D．四边形是平面图形 答案：C 解析：对于A，平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点，故A错误；对于B，两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，故B错误；对于C，三角形是一个平面图形，故C正确；对于D，如图四边形ACSB不是平面图形，故D错误．故选C. 4．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理中正确的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：ABD 解析：对于A，A∈l，A∈α，B∈l，B∈α表示A，B既在直线l上，也在平面α内，故l⊂α，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β表示A，B既在平面α内，也在平面β内，故α∩β＝AB，故B正确；对于C，l⊄α表示l∥α或l，α有一个交点，若该交点为A，则A∈α，故C错误；对于D，A∈α，A∈l表示α，l有一个公共点，而l⊄α表示l∥α或l，α有一个交点，故l∩α＝A，故D正确．故选ABD. 5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D(点D不同于A，B，C)，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 答案：D 解析：对于A，B，假设A∈β，又A∈α，则A∈α∩β，又α∩β＝l，所以A∈l，又A∈AB，所以A∈AB∩l，与AB∩l＝D矛盾，则A∉β，即平面γ，β的交线不过点A，故A错误；同理B错误；对于C，D，因为C∈β，C∈γ，D∈l⊂β，D∈AB⊂γ，所以C∈β∩γ，D∈β∩γ，即点C，D在β与γ的交线上，故C错误，D正确．故选D. 6．若直线l上所有点都在平面α内，则可以用符号表示为________． 答案：l⊂α 解析：由题意知直线l上所有点都在平面α内，所以直线l在平面α内，故用符号表示为l⊂α. 7．“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的________条件． 答案：充要 解析：由直线与平面平行的定义可得：“若直线a与平面M没有公共点，则直线a与平面M平行”和“若直线a与平面M平行，则直线a与平面M没有公共点”都为真命题，所以“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的充要条件． 8．给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有________．(填序号) 答案：① 解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形． 9．(10分)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线． 证明：如图所示，因为AC∥BD， 所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD. 因为l∩α＝O，所以O∈α. 又因为O∈AB，AB⊂β， 所以O∈β， 所以O∈CD， 所以O，C，D三点共线． (10—12每题5分，共15分) 10．(多选)已知α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C．若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α D．若直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与b不共面 答案：ABC 解析：对于A，根据A∈α且A∈β，则A是平面α和平面β的公共点，又α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A正确；对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C∉β，故B正确；对于C，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故C正确；对于D，由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能共面也可能不共面，故D错误．故选ABC. 11．下列命题是真命题的是(　　) A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．在空间中，四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 答案：B 解析：对于A，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，故A错误；对于B，若四点不共面，则其中任意三点不共线，故B正确；对于C，在空间中，四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形或空间四边形．故C错误；对于D，如图所示，三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，故D错误．故选B. 12．(开放题)木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l，则l满足________(选出你认为正确的全部结论). ①l∥AA1；②l∥BB1；③l与直线AA1相交；④l与直线BB1相交． 答案：③④ 解析：延长A1A，B1B交于点M，则C1C，D1D的延长线也过点M，如下图所示： 因为M∈AA1，则M∈平面PAA1，则直线PM即为所求作的直线l，所以直线l与直线AA1、直线BB1都相交． 13．(13分)如图所示，已知平面α，β，且α∩β＝l.若梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l相交于一点． 证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰． 所以AB，CD必相交于一点． 设AB∩CD＝M.因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，M∈β， 又因为α∩β＝l，所以M∈l， 即AB，CD，l相交于一点． 14．(5分)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则(　　) A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M不在直线AC上，也不在直线BD上 答案：A 解析：由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，所以M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上．故选A. 15．(17分)如图所示，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线． 解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在平面SBD和平面SAC的交线上．由于AB>CD， 则分别延长AC和BD交于点E，如图所示， 因为E∈AC，AC⊂平面SAC， 所以E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. 所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上， 连接SE，则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线． 学科网（北京）股份有限公司 $$