课时测评19 向量的数乘运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评19　向量的数乘运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列各式计算正确的个数是(　　) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差运算的结果仍为一个向量，而不是实数．故选C． 2．若平面四边形ABCD满足＝2，则该四边形一定是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 答案：D 解析：因为平面四边形ABCD满足＝2，则AB∥DC且＝2，故四边形ABCD一定是梯形．故选D. 3．已知点C在线段AB上，且AC＝2CB，若向量＝λ，则λ＝(　　) A．2 B． C． D． 答案：D 解析：如图所示，由AC＝2CB，可得AC＝AB，所以＝，即λ＝.故选D. 4．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则2＋3＋3＋2＝(　　) A． B． C． D．5 答案：A 解析：如图所示，2＋3＋3＋2＝2(＋＋＋)＋＋＝＋＝＋＝.故选A． 5．(多选)已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是(　　) A．λa∥a B．λa与a方向相同 C．是单位向量 D．若|λa|>|a|，则λ>1 答案：AC 解析：已知a≠0，λ∈R，由向量数乘的概念知，A正确；当λ<0时，λa与a方向相反，故B错误；因为＝＝1，故C正确；由|λa|>|a|，得|λ|·|a|>|a|，又|a|≠0，所以|λ|>1，解得λ>1或λ<－1，故D错误．故选AC． 6．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－(a－b)＋(2b－a)＝________(用i，j表示). 答案：－i－5j 解析：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j. 7．已知向量a，b，x满足关系式3a＋4＝0，那么可用向量a，b表示向量x＝________． 答案：a＋b 解析：因为3a＋4＝0，所以x－b＝a，则x＝a＋b. 8．在△ABC中，D是BC的中点，AD＝4，点P为AD的中点，则＝________． 答案：4 解析：因为D是BC的中点，所以＋＝2，又因为点P为AD的中点，所以＝2，所以＋＝，则＝＝4. 9．(10分)已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＝(＋). 证明：如图所示，因为E为AD的中点， 所以＝. 因为F是BC的中点， 所以＝(＋). 又因为＝＋， 所以＝(＋＋)＝(＋)＋， 所以＝－＝(＋)＋－＝(＋)， 即＝(＋). (10—12每题5分，共15分) 10．如图，在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝(　　) A． B．2 C．3 D．3 答案：D 解析：因为M，G分别是BC，CD的中点，由三角形中位线的性质可得：＝2，又因为－＝，所以－＋＝2＋＝3.故选D. 11．已知平行四边形ABCD中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若＝a，＝b，则＋等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．a D．b 答案：C 解析：因为在平行四边形ABCD中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，且＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，所以＋＝a＋a＝a．故选C． 12．(多选)下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是(　　) A．若＝，则四边形ABCD为平行四边形 B．若＝，则四边形ABCD为梯形 C．若＝，且||＝||，则四边形ABCD为菱形 D．若＝，且⊥，则四边形ABCD为正方形 答案：ABC 解析：若＝，则AD＝BC且AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形，故A正确；若＝，则AD∥BC且AD≠BC，四边形ABCD是梯形，故B正确；若＝，则四边形ABCD是平行四边形，又||＝||，即AB＝AD，则四边形ABCD为菱形，故C正确；若＝，则四边形ABCD是平行四边形，又⊥，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故D错误．故选ABC． 13．(13分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且AF＝3FC，记＝a，＝b. (1)用向量a，b表示﹔(6分) (2)用向量a，b表示.(7分) 解：(1)由题可知：＝，＝，＝， 所以＝＋＝＋＝b＋a． (2)＝－＝－ ＝－a＝－a＋b. 14．(5分) O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：因为－＝，所以＝λ(＋).令＋＝，则是以A为起点，以向量，对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上．因为＝λ，所以，共线．故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B. 15．(17分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足＝2＋3，BM的延长线与AC的交点为N. (1)设＝a，＝b，请用a，b表示；(7分) (2)设＝λ，求λ的值．(10分) 解：(1)因为＝2＋3，则＝2(－)＋3， 解得＝＋，即＝a＋b. (2)过M作MP∥AC交AB于P，过M作MQ∥AB交AC于Q，则＝＋， 因为＝＋，则＝，又因为△BPM∽△BAN， 所以＝＝，所以＝，即λ＝. 学生用书第65页 学科网（北京）股份有限公司 $$