2.3.1 向量的数乘运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦向量的数乘运算核心知识点，系统梳理从概念（实数与向量乘积的方向、模及几何意义）到运算律（结合律、分配律等）再到线性表示（用已知向量表示未知向量）的递进脉络，通过概念解析、微点提示、练习巩固构建学习支架。 资料以“逐点清”结构分点突破，结合“微点助解”深化理解、“微点练明”即时巩固，典例与思维建模培养逻辑推理（数学思维），几何意义分析发展直观想象（数学眼光），规范的线性表示训练提升数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾复习、查漏补缺。

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 逐点清(一)　向量的数乘的概念 [多维理解] 1.向量的数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件: (1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,0a=0. (2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘. 2.λa的几何意义 当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍. 当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.单位向量的表示 与非零向量a同方向的单位向量是,与非零向量a反方向的单位向量是-. |微|点|助|解| (1)实数与向量数乘λa中,实数λ称为向量a的系数. (2)实数与向量的乘积仍是一个向量,它可以看成实数与实数的乘积的推广.但实数与向量不能进行加减运算,如λ+a,λ-a均无意义. (3)当λ=0或a=0时,均有λa=0.反之,若λa=0,则λ=0或a=0. [微点练明] 1.[多选]已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 (　　) A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的倍 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量　 解析:选ABC　2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的倍,故B正确.∵-2a+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误. 2.[多选]已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 (　　) A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反 B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同 C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同 D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同 解析:选ABC　由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选ABC. 3.要得到向量-2a,可将 (　　) A.向量a向左平移2个单位长度 B.向量a向右平移2个单位长度 C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍 D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍 解析:选D　根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D. 4.设a为任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式正确的是 (　　) A.e= B.a=|a|e C.a=-|a|e D.a=±|a|e 答案:D 逐点清(二)　向量的线性运算 [多维理解] 1.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,a,b为向量,那么 (1)λ(μ a)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb; (4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合). [微点练明] 1.[多选]已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb 　B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b 　D.若ma=na,则m=n 解析:选AB　m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误. 2.-= (　　) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 解析:选A　-=(3a-2a)++(c+c)=a-b+2c.故选A. 3.已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y. 解:联立方程组解得 4.化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R). 解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b. 逐点清(三)　向量的线性表示 [典例]　(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n (2)如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示=__________. 解析:(1)因为BD=2DA,所以=3所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. (2)=++=a+b+ =a+b+=a+b+(b-a) =a+b. 答案:(1)B　(2)a+b 　　|思|维|建|模| 向量线性表示的求解思路 (1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 　　[针对训练] 1.在平行四边形ABCD中,=,=,G为EF的中点,则= (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:选B　=+=(+)+·=+=-. 2.如图,在△ABC中,向量=3,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=__________.  解析:由题意知,=+,所以=3=3+3=-3+3.所以=+=-3+3=-2+3,则λ=-2,μ=3,故λ+μ=1. 答案:1 学科网（北京）股份有限公司 $