课时测评17 向量的加法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评17　向量的加法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 答案：D 解析：由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D. 2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：D 解析：因为ABCDEF为正六边形，所以＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.故选D. 3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向正北方向航行 km D．向正东方向航行 km 答案：B 解析：如图所示， 易知tan α＝＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又＝2 km.故选B. 4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 答案：ACD 解析：由向量加法的平行四边形法则可得：＋＝，故A正确；由三角形法则可得：＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD. 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同 B．在△ABC中，必有＋＋＝0 C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等 答案：ACD 解析：对于A，当a与b为相反向量时，a＋b＝0，方向任意，故A错误；对于B，在△ABC中，＋＋＝0，故B正确；对于C，当A，B，C三点共线时，满足＋＋＝0，但不能构成三角形，故C错误；对于D，若a，b均为非零向量，则≤＋，当且仅当a与b同向时等号成立，故D错误．故选ACD. 6．化简＋＋的结果是________． 答案： 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝. 7．如图所示，在四边形ABCD中，DA＝DB＝DC，且＋＝，则∠ABC＝______． 答案：120° 解析：因为＋＝，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA＝DB＝DC，所以四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以∠ABC＝120°. 8．(多空题)在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝________，|＋|＝________． 答案：1　 解析：易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 9．(10分)在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向． 解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图所示． 在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2，||＝|v2|＝2，所以||＝|v|＝ ＝＝4.tan θ＝＝＝. 所以θ＝60°. 所以渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°. (10—12每题5分，共15分) 10．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D. 11．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的为(　　) A．a∥b B．a＋b＝b C．a⊥b D．|a－b|<|a|＋|b| 答案：ABC 解析：a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，对于A，0与任一向量共线，故a∥b，所以A正确；对于B，a＝0，故a＋b＝0＋b＝b，所以B正确；对于C，a＝0，0与任一向量垂直，故a⊥b，所以C正确；对于D，a＝0，故|a－b|＝|0－b|＝|b|，|a|＋|b|＝|0|＋|b|＝|b|，所以|a－b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选ABC． 12．当a，b满足条件________时，a＋b所在直线平分a，b所在直线的夹角． 答案：|a|＝|b| 解析：如图所示： 令＝a，＝b，＝a＋b，则四边形ABDC为平行四边形，又因为a＋b所在直线平分a，b所在直线的夹角，即AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，又因为∠BAD＝∠ADC，所以∠DAC＝∠ADC，所以||＝||＝||，即|a|＝|b|. 13．(13分)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC． 求证：＋＝＋. 证明：因为＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋. 又因为BP＝QC且与方向相反， 所以＋＝0，所以＋＝＋. 14．(5分)设P1P2…P2 025是半径为1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的动点． 则|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|的取值范围为_________． 答案： 解析：由已知可得，|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|＝＝.因为P1P2…P2 025是半径r＝1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的动点，所以0≤≤2r＝2，所以|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|∈. 15．(17分)如图所示，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°.(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；(7分) (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？(10分) 解：(1)由题意知，△ABC为直角三角形，由BC＝30 m，∠ABC＝37°， 得AC＝BC·tan 37°＝30×＝22.5 m，又＋＝， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正前方． (2)因为＋＝， 所以中场队员的位移与球的位移相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$