课时测评16 位移、速度、力与向量的概念 向量的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评16　位移、速度、力与向量的概念　向量的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列命题正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意非零向量共线 答案：D 解析：对于A，单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确．故选D. 2．如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．> D．< 答案：B 解析：由四边形ABCD是等腰梯形得∥，与不平行，且||≠||，||＝||，所以A错误，B正确，又向量不能比较大小，所以C，D错误．故选B. 3．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：如图所示，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°.故选C． 4．下列说法正确的是(　　) A．若＝，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B．若＝，且a与b的方向相同，则a＝b C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若a∥b，则a与b方向相同或相反 答案：B 解析：对于A，由＝只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；对于B，因为＝，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b，故B正确；对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；对于D，依据规定：0与任意向量平行，故当a＝0时，a与b的方向不一定相同或相反，故D错误．故选B. 5. (多选)如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C．的模恰为的模的倍 D．与的夹角为120° 答案：ABC 解析：由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确；在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，故C正确；由于＝，所以与的夹角为∠CDA＝60°，故D不正确．故选ABC． 6．(多空题)若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是________km，方向是________． 答案：5　西北 解析：由图可得：AB＝AC＝5 km，∠BAC＝90°，所以∠CBA＝45°，BC＝5 km，则C地相对B地的位移的大小是5 km，方向是西北． 7．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 答案：菱形 解析：因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形． 8．(多空题)已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________，向量与的夹角为________． 答案：　120° 解析：如图所示，由勾股定理可知BC＝＝，所以||＝，又cos A＝＝，所以A＝60°，所以与的夹角为60°，所以与的夹角为120°. 9．(10分)(一题多问)在如图的方格纸中(每个小方格的边长均为1)，画出下列向量． (1)＝3，点A在点O的正西方向；(3分) (2)||＝3，点B在点O的北偏西45°方向；(3分) (3)求出的值．(4分) 解：(1)因为＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示： (2)因为＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示： (3)如图： ＝ ＝3. (10—12每题5分，共15分) 10．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是(　　) A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量 答案：B 解析：如图所示，因为O是正三角形ABC的中心，所以||＝||＝||＝R(R为△ABC外接圆的半径)，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同，起点不同．故选B. 11．(多选)以下关于向量的说法正确的有(　　) A．若a＝b，则＝ B．若＝，则a＝b或a＝－b C．若a＝－b且b＝－c，则a＝c D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 答案：AC 解析：对于A，a＝b，即a，b为相等向量，则＝，故A正确；对于B，若＝，即向量a与b的模相等，但方向不确定，故B错误；对于C，由a＝－b且b＝－c，可得a＝c，故C正确；对于D，若b为零向量，a，c为非零向量，则a与c不一定共线，故D错误．故选AC． 12．(多选)给出下列命题，其中真命题的是(　　) A．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 B．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b C．对任一向量a，0与a既平行又垂直 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 答案：ACD 解析：对于A，向量与共线，且向量与有公共点B，因此A，B，C三点在一条直线上，故A正确；对于B，向量不能比较大小，故B错误；对于C，规定0与任一向量a既平行又垂直，故C正确；对于D，因为＝，所以＝且∥；又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AB＝CD且与方向相同，因此＝，故D正确．故选ACD. 13．(13分)(开放题)已知四边形ABCD中，＝. (1)判断四边形ABCD是否为梯形？请说明理由；(6分) (2)试着添加一个条件，使得四边形ABCD为菱形？矩形？(7分) 解：(1)四边形ABCD不是梯形．因为＝，所以AB，CD平行且相等，所以四边形是平行四边形． (2)可加条件⊥，或＝使得四边形ABCD为菱形．可加条件⊥使得四边形ABCD为矩形(答案不唯一). 14．(5分)(新情境)窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为____________，的相反向量为____________． 答案：，，　 ，，， 解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝FG＝GH＝HE，且EF∥HG，又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF＝FG＝GC＝HD＝AE，所以与相等的向量有，，，的相反向量有，，，. 15．(17分)(一题多问)如图所示，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与，，相等的向量；(4分) (2)分别写出与，，共线的向量；(4分) (3)分别写出与，与的夹角；(4分) (4)分别写出与，与的夹角．(5分) 解：(1)由正六边形的性质可知，与相等的向量有：，，， 与相等的向量有：，，， 与相等的向量有：，，. (2)与共线的向量有：，，，，，，，，， 与共线的向量有：，，，，，，，，， 与共线的向量有：，，，，，，，，. (3)与的夹角为120°，与的夹角为60°. (4)与的夹角为60°，与的夹角为120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$