课时测评15 三角函数的简单应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评15　三角函数的简单应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin (2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 答案：A 解析：当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.故选A． 2．车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F (单位：辆/分钟)与时间t (单位：分钟)的函数关系式为F＝50＋4sin (0≤t≤20)，则车流量增加的时间段是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 答案：C 解析：令2kπ－≤≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，因为0≤t≤20，所以当k＝0 时，函数 y＝F(t)的单调递增区间为[0，π]；当 k＝1时，函数y＝F(t)的单调递增区间为[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，所以车流量在时间段 [10，15]内是增加的．故选C． 3．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪(如图所示)，已知噪音的声波曲线是y＝3cos 2x，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ＝(　　) A． B． C．π D． 答案：D 解析：由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即A＝3，ω＝2，所以y＝3sin (2x＋φ)，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y＝－3cos 2x，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以令k＝0，即φ＝.故选D． 4．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，则函数y＝f(t)的解析式是(　　) A．f(t)＝2sin B．f(t)＝2sin C．f(t)＝－2sin D．f(t)＝－2sin 答案：B 解析：由题意知，R＝＝2，T＝60，所以ω＝＝，当水斗位于点A(，－)，即t＝0时，代入f可得－＝2sin ，解得sin φ＝－，又<，所以φ＝－，故函数解析式为f(t)＝2sin (t－).故选B． 5．(多选)如图是某质点做简谐运动的部分图象，位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是y＝A sin (A>0，ω>0，φ∈)，则下列结论正确的是(　　) A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为－2 cm D．当t∈时，位移y随着时间t的增大而减小 答案：BD 解析：由图可知，t＝1时，y＝－4，t＝0时，y＝2，所以A＝4，sin φ＝.因为φ∈，所以φ＝或φ＝.因为t＝1时，y＝－4，所以ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z.所以ω＝2kπ＋或ω＝2kπ＋，k∈Z.由图可知周期T满足2<T<4，即2<<4，解得<ω<π，所以ω＝，此时φ＝，解析式为y＝4sin (t＋)，该简谐运动的初相为，周期为T＝＝3，故A不正确，B正确；当t＝4时，y＝4sin (×4＋)＝－4，位移是－4 cm，故C不正确；令x＝t＋，当t∈时，x＝t＋∈，结合y＝sin x的简图可得，y在区间为减函数，故D正确．故选BD． 6．如图为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y与时间t满足函数关系y＝A sin ＋2，则ω＝________． 答案： 解析：由题意可得，水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15 s，所以T＝15＝，所以ω＝. 7．已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝A sin ，初始时将弹簧振子下压至－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在第45 s时，弹簧振子的位移是________cm. 答案：4 解析：由题意知，A＝4且最小正周期T＝＝2，即＝2，故ω＝π，所以y＝4sin (πt＋φ)，且4sin φ＝－4，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，不妨令φ＝－，故y＝4sin (πt－)＝－4cos πt，当t＝45，则y＝－4cos 45π＝4. 8．(开放题)如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是____________________． 答案：y＝4sin (答案不唯一) 解析：不妨设y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0).由题知A＝4，周期T＝π，所以ω＝＝2，所以y＝4sin(2x＋φ).当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin . 9．(10分)如图所示，某公园摩天轮的半径为50 m，圆心距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每6 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． (1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f＝A sin ＋h(其中A>0，ω>0，<π)，求函数f的解析式及8 min时点P距离地面的高度；(4分) (2)当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18 min，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？(6分) 解：(1)由题意可知A＝50，h＝60，T＝6， 所以＝6，又ω>0，得到ω＝， 即f＝50sin ＋60， 又摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，即f(0)＝10，所以50sin φ＋60＝10， 即sin φ＝－1，又<π，所以φ＝－， 故f＝50sin ＋60＝－50cos t＋60， 当t＝8时，f(8)＝50sin (－)＋60＝85， 所以8 min时点P距离地面的高度为85 m． (2)因为从最低点处开始到达高度为 m刚好能看到公园的全貌，经过最高点再下降至(60＋25) m时又能看到公园的全貌，每个游客可游玩三个周期， f＝－50cos t＋60≥60＋25，得到－cos t≥，即cos t≤－， 得到＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z， 所以在每个周期内，＋6k≤t≤＋6k，k∈Z， 又＋6k－(＋6k)＝1， 所以游客在游玩过程中共有3 min可以看到公园的全貌． (10—12每题5分，共15分) 10．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20 ℃，气温上升到约30 ℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y(℃)随时间x(时)的变化趋势近似满足函数y＝10sin ＋25，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为(　　) A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 答案：B 解析：当x∈时，x－∈，由y＝10sin ＋25＝20，得sin ＝－，所以x－＝－，x＝≈8.7(时)；由y＝10sin ＋25＝30，得sin ＝，所以x－＝，x＝≈11.3(时).故在6时～16时中，观花的最佳时段约为8.7时～11.3时．故选B． 11．(多选)单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝A sin ，A>0，ω>0，<π，其中x表示时间(s)，y表示位移(cm)，A表示振幅，表示频率，φ表示初相．如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置．图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况．根据秒表记录有：当x＝时，小球第一次到平衡位置；当x＝时，小球的位移第一次到反向最大值．根据以上图文信息，下列选项中正确的是(　　) A．频率为 B．初相φ＝或 C．振幅A＝10 D．当x＝时，小球第三次回到平衡位置 答案：ACD 解析：对于A，设最小正周期为T，据题意＝－＝⇒T＝2⇒ω＝π，频率为＝，故A正确；对于B，当x＝时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且|φ|<π，所以sin ＝0⇒φ＝，故B错误；对于C，根据图中的信息知(3，－5)在图象上，所以A sin (3π＋)＝－5⇒A＝10，故C正确；对于D，当x＝时，小球第一次到达平衡位置，当x＝＋2＝时，小球第三次到达平衡位置，故D正确．故选ACD． 12．静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮．摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野．游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，h＝－28cos ＋78.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 答案：B 解析：由h＝－28cos ＋78可知，当t＝0时，hmin＝－28cos ＋78＝50，当＝π⇒t＝6时，hmax＝－28cos ＋78＝106，若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，t1，t2关于t＝6对称，此时t1＋t2的最小值为t1＋t2＝2×6＝12.故选B． 13．(13分)我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家．核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋．某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y(单位：mm)关于滚道径向方位角x(单位：rad)的函数y＝f近似地满足f＝A sin ＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)，其图象的一部分如图所示． (1)求函数f的解析式；(6分) (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例．(7分) 解：(1)由图可知， 解得A＝B＝0.01， 由＝4－1＝3得T＝6， 所以ω＝＝＝， 又函数图象过点， 所以0.01sin ＋0.01＝0.02， 即sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ， 得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝， 所以f＝0.01sin ＋0.01. (2)由题意0.015≤f≤0.02， 则0.015≤0.01sin (x＋)＋0.01≤0.02， 即≤sin ≤1， 所以＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得6k≤x≤6k＋2，k∈Z， 所以当k＝0时，0≤x≤2， 所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为＝. 14．(5分)(多选)如图①是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图②，h(单位：m)表示在时间t(单位：s)时过山车(看作质点)离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面50 m，最低点Q距离地平面10 m，入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.设h＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，<)，则下列结论正确的是(　　) A．函数h的最小正周期为12 B．φ＝ C．t＝14 s时，过山车距离地平面40 m D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s 答案：ACD 解析：由题意可知，周期T满足＝10－4＝6，得T＝12，所以＝12，得ω＝，又解得A＝20，B＝30.所以h＝20sin ＋30，又h＝20，即20sin φ＋30＝20，得sin φ＝－，因为<，所以φ＝－，所以h＝20sin (t－)＋30.对于A，T＝12，故A正确；对于B，φ＝－，故B错误；对于C，h＝20sin (×14－)＋30＝20sin ＋30＝40，故C正确；对于D，由h<20，得20sin ＋30<20，即sin (t－)<－，＋2kπ<t－<＋2kπ，k∈Z，解得8＋12k<t<12＋12k，k∈Z，所以一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是(12＋12k)－＝4 s，故D正确．故选ACD． 15．(17分)某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格(元/斤)每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本(元/斤)逐季递增．下表是该地区今年四个季度的统计情况： 季度 第1季度 第2季度 第3季度 第4季度 收购价格 8 10 8 6 养殖成本 3 3.6 4 4.3 现打算从以下两个函数模型：①y＝A cos (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，－π≤φ≤0)；②y＝log2＋b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第x季度之间的函数关系、养殖成本与第x季度之间的函数关系(从今年第1季度为第1个季度开始计算). (数据参考：取log2＝0.8，log2＝1.15.) (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式；(7分) (2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损．按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？(10分) 解：(1)由表中数据可知，收购价格随季度变化上下波动，应选择模型①； 由表中数据可知，养殖成本随季度缓慢上升，应选择模型②. 对于模型①，由点及可得该函数周期为T＝2×＝4， 则由＝4，可得ω＝. 又该函数最大值为10以及最小值为6可得，解得 所以y＝2cos ＋8.将代入得2cos(＋φ)＋8＝8，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－π＋2kπ，k∈Z，又－π≤φ≤0，所以φ＝－π， 所以模型①为y＝2cos ＋8＝－2cos x＋8. 对于模型②，y＝log2＋b的图象过点，. 所以解得 所以模型②为y＝log2＋2. (2)由(1)设y1＝－2cos x＋8，y2＝log2(x＋1)＋2. 若y1>y2，则盈利，若y1<y2，则亏损． 当x＝5时，y1＝8，y2＝log26＋2<5<8， 则y1>y2； 当x＝6时，y1＝10，y2＝log27＋2<5<10， 则y1>y2； 当x＝7时，y1＝8，y2＝log28＋2＝5<8，则y1>y2； 当x＝8时，y1＝6，y2＝log29＋2<6，则y1>y2. 这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本， 所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利． 学生用书第46页 学科网（北京）股份有限公司 $$