课时测评14 正切函数的图象与性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评14　正切函数的图象与性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A． B． C． D．π 答案：B 解析：函数y＝2tan 的最小正周期是.故选B． 2．与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案：B 解析：由2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，所以与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是x＝.故选B． 3．函数y＝tan 的单调区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案：D 解析：因为y＝tan ＝－tan ，令kπ－<3x－<kπ＋，k∈Z，解得－<x<＋，k∈Z，所以函数y＝tan 的单调递减区间为(k∈Z).故选D． 4．在区间内，函数y＝sin x与y＝tan x的图象交点的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：当x＝0时，sin x＝tan x＝0，故x＝0是函数y＝sin x与y＝tan x的一个交点；当x∈时，则tan x－sin x＝sin x，因为sin x>0，0<cos x<1，所以>1，则－1>0，即tan x－sin x>0，所以tan x>sin x，此时函数y＝sin x与y＝tan x无交点；当x∈时，tan x<0，sin x>0，所以tan x<sin x，此时函数y＝sin x与y＝tan x无交点；当x＝π时sin x＝tan x＝0；故x＝π是函数y＝sin x与y＝tan x的一个交点．综上可得函数y＝sin x与y＝tan x的图象在内有且仅有2个交点．故选C． 5．(多选)已知函数f＝tan ，则下列结论不正确的有(　　) A．f＝1 B．f的最小正周期为π C．不是f的对称中心 D．f在上单调递增 答案：CD 解析：因为f＝tan ，所以f＝tan ＝1，故A正确；因为f＝tan ，所以f的最小正周期为＝π，故B正确；当x＝时，x＋＝，因为是正切函数y＝tan x的对称中心，故C不正确；当x∈时，x＋∈(，)，y＝tan x在不是单调递增的，故D不正确．故选CD． 6．(开放题)函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，则实数a的一个取值可以为________． 答案：(答案不唯一) 解析：因为正切函数y＝tan x的单调递增区间为，k∈Z，又函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，所以0<a≤. 7．若x∈∪，则不等式tan x≥－1的解集为________________． 答案：∪ 解析：当x∈时，tan x≥0>－1；当x∈(，π)时，因为tan ＝－1且y＝tan x在上单调递增，所以x∈；综上所述，tan x≥－1的解集为∪. 8．函数y＝2tan x＋a在x∈[，]上的最大值为4，则实数a的值为________． 答案：4－2 解析：函数y＝2tan x＋a在上单调递增，则当x＝时，ymax＝2tan ＋a＝a＋2，因此a＋2＝4，解得a＝4－2，所以实数a的值为4－2. 9．(10分)(一题多问)已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域；(3分) (2)用定义判断函数f(x)的奇偶性；(3分) (3)在[－π，π]上作出函数f(x)的图象．(4分) 解：(1)由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域是{x，k∈Z}． (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)因为f(x)＝ 所以f(x)在[－π，π]上的图象如图所示． (10—12每题5分，共15分) 10．已知函数f＝A tan ，y＝f的部分图象如图所示，则 f＝(　　) A．2＋ B． C．－ D．－ 答案：C 解析：由图象可知，－＝＝，所以T＝.由T＝＝，可得ω＝2，所以f＝A tan (2x＋φ).又f＝0，所以A tan ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z.因为<，所以φ＝，f＝A tan .又f(0)＝1，所以A tan ＝A＝1，所以A＝1，所以f＝tan ，所以f＝tan (2×＋)＝tan ＝tan (π－)＝－.故选C． 11．(多选)已知函数f(x)＝tan ＋6(ω>0)的最小正周期为，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝6 B．f(x)的图象经过点 C．f(x)的定义域为 D．不等式f(x)>9的解集为，k∈Z 答案：BCD 解析：由正切函数的周期T＝＝，解得ω＝3，故A错误；因为f＝tan ＋6＝5，所以f(x)的图象经过点，故B正确；令3x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，即f(x)的定义域为，故C正确；令tan ＋6>9，则tan >，所以＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，得<x<＋，k∈Z，即不等式f(x)>9的解集为，k∈Z，故D正确．故选BCD． 12．(多选)下列关于函数y＝的说法正确的是(　　) A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期是 D．图象关于直线x＝对称 答案：ACD 解析：函数y＝，定义域满足2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数定义域为{x＋，k∈Z}，故A正确；当x∈(－，)，则2x＋∈，所以函数y＝tan 在区间上单调递增，则函数y＝在区间上先减后增，故B不正确；函数y＝tan 的最小正周期T＝，所以函数y＝的最小正周期是，故C正确；函数y＝的对称轴满足2x＋＝，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，则函数y＝图象关于直线x＝对称，故D正确．故选ACD． 13．(13分)已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3). (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求满足f(x)≥的x的取值范围．(7分) 解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝， 因为ω>0，所以ω＝，得f(x)＝A tan ，它的图象过点， 所以A tan ＝0，即tan ＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝A tan ， 又函数f(x)的图象过点(0，－3)， 所以A tan ＝－3，得A＝3. 所以f(x)＝3tan . (2)因为3tan ≥，所以tan (x－)≥，得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是[＋，＋)，k∈Z. 14．(5分)(多选)已知函数f＝tan (3x＋φ)(0<φ<)，则下列结论正确的是(　　) A．若φ＝1，则f<f B．把f的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝tan 的图象 C．若f＝f，则x1－x2是的整数倍 D．若f在上单调递增，则φ∈ 答案：BCD 解析：当φ＝1时，f＝tan 4＝tan ，f(2)＝tan 7，因为2π<7<4＋π<，y＝tan x在上单调递增，所以tan 7<tan ＝tan 4，所以f<f，故A错误；f的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝tan 的图象，故B正确；若f＝f，则x1－x2是最小正周期的整数倍，又f＝tan 的最小正周期T＝，故C正确；当0<x<时，φ<3x＋φ<＋φ，所以当＋φ≤，即0<φ≤时，f在上单调递增，故D正确．故选BCD． 15．(17分)(一题多问)已知函数f(x)＝tan ，ω>0. (1)若ω＝2，求f的最小正周期与函数图象的对称中心；(4分) (2)若f在上是增函数，求ω的取值范围；(5分) (3)若方程f＝在上至少存在2 024个根，且b－a的最小值不小于2 025，求ω的取值范围．(8分) 解：(1)由题可得f(x)＝tan ，所以函数的最小正周期为， 由2x＋＝，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 所以函数f的图象的对称中心为(－，0)(k∈Z). (2)因为f在上是增函数， 所以x∈⇒ωx＋∈[，ωπ＋]⊆， 所以ωπ＋<，又ω>0， 所以0<ω<，故实数ω的取值范围为. (3)因为f(x)＝⇒tan ＝⇒ωx＋＝＋kπ，k∈Z， 所以x＝，k∈Z，至少存在2 024个根， 所以可得b－a至少包含2 023个周期， 即b－a≥2 023T＝2 023·， 所以b－a的最小值为2 023·， 又b－a的最小值不小于2 025， 所以2 023·≥2 025，所以0<ω≤π， 故ω的取值范围为. 学生用书第43页 学科网（北京）股份有限公司 $$