课时测评10 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评10　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是(　　) 答案：A 解析：令x＝0，则y＝0，排除C和D；令x＝π，则y＝1，排除B．故选A． 2．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 3．要得到函数y＝cos 3x(x∈R)的图象，只需将函数y＝cos x(x∈R)的图象上所有点的(　　) A．横坐标变为原来的(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变) C．纵坐标变为原来的(横坐标不变) D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 答案：A 解析：余弦函数与正弦函数的横坐标伸缩变化的规律相同，所以只需将y＝cos x的图象上各点横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，即可得到函数y＝cos 3x的图象．故选A． 4．(多选)已知函数f(x)＝sin ，则以下结论恒成立的是(　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f(－x)＝f(x) C．f(2π－x)＝f(x) D．f(π＋x)＝f(π－x) 答案：ACD 解析：对于A，B，f(－x)＝sin ＝－sin ＝－f(x)，所以A正确，B错误；对于C，f(2π－x)＝sin＝sin＝sin ＝f(x)，所以C正确；对于D，因为f(π＋x)＝sin＝sin(＋)＝cos ，f(π－x)＝sin＝sin＝cos ，所以f(π＋x)＝f(π－x)，所以D正确．故选ACD． 5．(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)为偶函数 C．f(x)的图象关于对称 D．f(x)在上为增函数 答案：ABC 解析：因为f(x)＝sin ＝－sin＝cos 2x，所以f(x)为偶函数且T＝＝π，故A，B正确；当x＝时，f＝cos ＝0，所以f(x)关于对称，故C正确；当x∈时，2x∈[0，π]，f(x)为减函数，故D不正确．故选ABC． 6．函数y＝2sin 2x－1在上的值域为_____________________． 答案：[－1，1] 解析：令t＝2x，因为x∈，所以t∈，所以0≤sin t≤1，所以－1≤2sin 2x－1≤1，函数的值域为[－1，1]. 7．函数y＝sin 2x的图象的各点的横坐标变为原来的ω倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 100x，则ω＝________． 答案： 解析：由题意知＝100x，所以ω＝＝. 8．(多空题)函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为______________，对称中心为________，奇偶性为________________． 答案：x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)　奇函数 解析：由2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以y＝sin 2x的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).由2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以y＝sin 2x的对称中心为(k∈Z).因为sin (－2x)＝－sin 2x，所以函数y＝sin 2x为奇函数． 9．(10分)已知函数f(x)＝sin 2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(4分) (2)求函数f(x)在区间上的最值．(6分) 解：(1)由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)令u＝2x，因为x∈， 所以－≤u≤π，所以－≤sin u≤1，f(x)max＝1，f(x)min＝－. (10—12每题5分，共15分) 10．(2024·江苏南通高一统考)要得到函数f(x)＝sin 2x，x∈R的图象，只需将函数g(x)＝sin x，x∈R的图象(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 答案：D 解析：将g(x)＝sin x在横坐标方向上缩短到原来的，纵坐标不变，即可得g(3x)＝sin (×3x)＝sin 2x，所以f(x)＝g(3x)＝sin 2x.故选D． 11．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　) A．8 B．2 C． D． 答案：C 解析：由于函数f(x)＝sin ωx的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可得，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.故选C． 12．(新角度)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)满足f＝f，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：由题意及正弦函数的图象与性质，可得函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的最小正周期为－＝，即T＝＝，可得ω＝4.故选D． 13．(13分)若函数y＝2sin ωx＋b(ω>0)在x＝时取得最大值3. (1)求ω的最小值与b的值；(6分) (2)当ω取最小值时，求该函数的最小值及取最小值时x的集合．(7分) 解：(1)由题意得ω＝2kπ＋，k∈Z， 所以ω＝6k＋. 由于k∈Z，ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝. 因为2×1＋b＝3，所以b＝1. (2)由(1)可知y＝2sinx＋1， 所以ymin＝2×(－1)＋1＝－1. 令x＝2kπ－，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z， 所以y取最小值时x的集合为{x－，k∈Z}． 14．(5分)(多选)已知函数f(x)＝cos ωx的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值可能是(　　) A． B．4 C． D． 答案：ABC 解析：由于f(x)关于点对称，所以f＝cos ω＝0，ω＝kπ＋，ω＝，k∈Z　①.由于ω>0，且f(x)在区间上是单调函数，所以f(x)在上单调递减，0≤x≤，0≤ωx≤，所以0<≤π，0<ω≤8　②.由①②得0<≤8，－<k≤，k∈Z，所以k＝0或k＝1或k＝2，所以ω＝或ω＝4或ω＝.故选ABC． 15．(17分)已知函数f(x)＝sin ωx. (1)若至少存在两个x0∈，使得f＝1，求ω的取值范围；(7分) (2)若f(x)在上单调递增，且存在m∈，使得f<0，求ω的取值集合．(10分) 解：(1)由题意知，f(x)的图象在上至少有两个最高点． 因为x0∈，ω>0，所以ωx0∈， 因此>，解得ω>5， 故ω的取值范围为. (2)依题意得－π≤×，又ω>0， 所以0<ω≤. 当m∈时，ωm∈， 又∃m∈，f<0， 所以2kπ－≤ωπ<2kπ， 即2k－≤ω<2k. 当k≤0或k≥2时，∩＝∅. 当k＝1时，≤ω<2，又0<ω≤，则ω＝. 故ω的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$