课时测评8 正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评8　正弦函数的图象与性质再认识 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D． 答案：C 解析：根据正弦函数的图象可知，在区间上，函数y＝sin x先增后减，当x＝时，ymin＝，当x＝时，ymax＝1.故选C． 2．函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π]) 的一个单调递增区间为(　　) A． B．[0，π] C． D．[－π，0] 答案：C 解析：函数y＝－3sin x＋4的增区间就是y＝sin x的减区间，即，k∈Z.结合x∈，可得y＝sin x的减区间为和.故选C． 3．函数y＝2sin x＋1的值域是(　　) A．[1＋，3] B．[1＋，3] C．[1－，1＋] D．[－1，3] 答案：B 解析：画出函数y＝2sin x＋1的图象如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝时，最大值为3.故所求值域为[1＋，3].故选B． 4．(2024·陕西西安高一测试)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案：C 解析：因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，所以由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C． 5．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案：ABD 解析：由函数y＝sin x，可得函数的最小正周期为T＝2π，则y＝sin x在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象相同，只是位置不同，故A正确；由正弦函数的性质，可得ymin＝－1，ymax＝1，所以y＝sin x的图象介于y＝1与y＝－1之间，故B正确；画出函数y＝sin x的图象，如图所示，可得y＝sin x的图象不关于x轴对称，故C错误；函数y＝sin x的图象与y轴只有一个交点，交点为原点O(0，0)，故D正确．故选ABD． 6．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0，2π]的零点为________． 答案： 解析：令f(x)＝0，所以sin x＝1，又x∈[0，2π]，所以x＝. 7．(多空题)函数y＝的定义域是________________，单调递减区间是______________． 答案：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z 　，k∈Z 解析：因为－2sin x≥0，所以sin x≤0，所以2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.因为在定义域内y＝与y＝sin x的单调性相反，所以函数的单调递减区间为[2kπ－，2kπ]，k∈Z. 8．若方程sin x＝a在x∈上有两个不同的解，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：结合如下正弦函数图象可知，当a∈时，直线y＝sin x，y＝a有两个交点，所以实数a的取值范围为. 9．(10分)在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x在[－π，π]上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系． 解：函数y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x的周期都是2π，在[－π，π]上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如下图所示． 观察上图，可以看出： y＝2sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了. 类似地，y＝sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以(到x轴的距离缩短到原来的)得到．因而y＝sin x的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为和－，值域变为. (10—12每题5分，共15分) 10．函数f＝的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由y＝sin x的图象与性质，f(x)＝的单调递减区间为，k∈Z，所以D符合题意．故选D． 11．(多选)函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：ABC 解析：作出函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t，如图所示， 所以，当t>2或t≤1时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为0个；当t＝2或1<t≤1＋时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为1个；当1＋<t<2时，y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点个数为2个．故函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t的交点可能有0个，1个，2个．故选ABC． 12．函数y＝2sin x，x∈的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案：4π 解析：作出函数y＝2sin x的图象(图略)，将正弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为×2＝4π. 13．(13分)(一题多问)已知f(x)＝2sin x＋a－1. (1)若f(x)≥0在上恒成立，求a的取值范围；(6分) (2)若f(x)＝0在上有两个不等实根x1，x2.(7分) ①求a的取值范围； ②求x1＋x2的值． 解：(1)由f(x)≥0在上恒成立，得f(x)min≥0，当x＝π时，f(x)取得最小值， 所以f(x)min＝f＝a－1≥0，得a≥1， 所以实数a的取值范围为[1，＋∞). (2)①易知g(x)＝2sin x在上单调递增，在上单调递减，因为f(x)＝0在上有两个不等实根x1，x2，所以y＝2sin x与y＝1－a在上有两个交点，所以2×≤1－a<2，解得－1<a≤1－. 所以实数a的取值范围为(－1，1－]. ②易知x1，x2关于x＝对称，所以＝，即x1＋x2＝π. 14．(5分)(多选)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则以下四个结论正确的是(　　) A．b－a的最小值为 B．b－a的最大值为 C．a不可能等于2kπ－(k∈Z) D．b不可能等于2kπ－(k∈Z) 答案：ABC 解析：由图象知，b－a的最大值为(如a＝－，b＝)，故B正确；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)，故A正确，D错误；若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图象可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1，所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)，故C正确．故选ABC． 15．(17分)(一题多问)作出函数y＝1－2sin x，x∈的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y>1；②y<1；(4分) (2)若直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；(5分) (3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．(8分) 解：(1)列表： x －π － 0 π y＝sin x 0 －1 0 1 0 y＝1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： 由图象可知函数y＝1－2sin x，当x∈时，y>1，当x∈时，y<1. (2)如图，当直线y＝a与曲线y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1， 所以a的取值范围为，或. (3)由图象可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝. 学生用书第26页 学科网（北京）股份有限公司 $$