课时测评3 弧度概念 弧度与角度的换算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评3　弧度概念　弧度与角度的换算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在0～2π范围内，与－角终边相同的角是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为＝－＋2π，所以与－角终边相同的角是.故选D． 2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则下列结论正确的是(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案：B 解析：因为l＝αR，所以α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变．扇形的面积S＝αR2，因为α不变，R变为原来的2倍，所以S变为原来的4倍．故选B． 3．若α＝－＋kπ，k∈Z，则α终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 答案：B 解析：因为－经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故α＝－＋kπ，k∈Z经过一、三象限．故选B． 4．(多选)下面关于弧度的说法，正确的是(　　) A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝ C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周分为32等分，每一份的弧长为 cm 答案：ABC 解析：对于A，根据弧度数定义可知A正确；对于B，根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；对于C，根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为120°，即弧度数为，故C正确；对于D，圆周长为2πr＝20π cm，32等分后，每一份弧长为＝ cm，故D错误．故选ABC． 5．已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题：甲：α＝，乙：r＝1，丙：l＝，丁：S＝.若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 解析：假设甲为假命题，S＝r·l＝×1×＝≠，故乙丙丁有一个是假命题，故甲是真命题；假设丁为假命题，l＝α·r＝×1＝≠，故乙丙有一个是假命题，故丁是真命题；假设丙为假命题，S＝αr2＝××1＝≠，故丙是真命题，乙是假命题．故选B． 6．(开放题)写出一个与角－1 280°终边相同的正角：α＝____________(用弧度数表示). 答案：(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可) 解析：与角－1 280°终边相同的角：α＝－1 280°＋360°k，k∈Z，因为α>0，所以k≥4，k∈Z，所以α可取160°，化为弧度数为.(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可). 7．如图为两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为________(用弧度数表示). 答案： 解析：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝. 8．(新角度)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.(精确到1 m2) 答案：9 解析：＝120°，根据题意得弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－4cos＝2(m)，因此弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 9．(10分)如图所示，圆O的半径为5，弦AB的长为 5. (1)求圆心角α(0<α<π)的大小；(4分) (2)求扇形AOB的弧长l及阴影部分的面积S.(6分) 解：(1)由于圆O的半径为r＝5，弦AB的长为5， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝. (2)因为α＝，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××5＝， 又S△AOB＝×5×5＝， 所以阴影部分的面积S＝S扇形AOB－S△AOB＝－. (10—12每题5分，共15分) 10．(2024·山东青岛高一检测)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图①)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图②)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 答案：C 解析：显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5，AB＝8，则cos ∠OAB＝＝，sin ∠OAB＝，即∠OAB≈37°，于是∠AOB＝106°＝，所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C． 11．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．与终边相同的角的集合是{α＋2kπ，k∈Z} B．π(rad)＝180° C．在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2π D．第二象限角都是钝角 答案：ABC 解析：对于A，与终边相同的角的集合是{α＋2kπ，k∈Z}，故A正确；对于B，π＝180°，故B正确；对于C，在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为×6＝2π，故C正确；对于D，第二象限角的取值范围为(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)，不一定为钝角，故D错误．故选ABC． 12．(新情境)二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2023年4月20日谷雨节气到2023年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：由题意知，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数为＝，从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要顺时针旋转15个格，所以转过的弧所对圆心角的弧度数为15×＝.故选C． 13．(13分)如图所示，点A，B，C是圆O上的点． (1)若AB＝4，∠ACB＝，求劣弧的长；(6分) (2)已知扇形AOB的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小．(7分) 解：(1)因为∠ACB＝，所以∠AOB＝2∠ACB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，所以OA＝AB＝4，则劣弧的长为·OA＝. (2)设圆O的半径为r，扇形AOB的弧长为l，圆心角为α， 因为扇形AOB的周长为8，所以2r＋l＝8， 扇形面积S＝l·r＝l·2r≤·2＝4(当且仅当2r＝l＝4时取等号)， 所以当扇形面积取得最大值时，圆心角α＝＝2. 14．(5分)(多选)如图所示，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则下列结论正确的是(　　) A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B． s时，扇形AOB的弧长为 C． s时，扇形AOB的面积为 D． s时，A，B在单位圆上第一次相遇 答案：AD 解析：对于A，当t＝1 s时，∠AOB＝＋1×1＋1×2＝3＋，故A正确；对于B，当t＝ s时，∠AOB＝＋×1＋×2＝＋，所以＝1×＝＋，故B错误；对于C，当t＝ s时，∠AOB＝＋×1＋×2＝，扇形AOB的面积＝×12×＝，故C错误；对于D，初始位置时，优弧＝2π－＝，当t＝ s时，A点运动的路程＝×1＝，B点运动的路程＝×2＝，＋＝，故D正确．故选AD． 15．(17分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇形环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和AD，BC两条线段围成．设，所在圆的半径分别为r1，r2米，圆心角为θ(弧度). (1)若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；(7分) (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1 200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？(10分) 解：(1)花坛的面积S＝×36×－×9×＝π(平方米). (2)的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为(r2－r1)米． 由题意知60·2(r2－r1)＋90(r1θ＋r2θ)＝1 200， 即4(r2－r1)＋3(r2θ＋r1θ)＝40，(*) 花坛的面积S＝rθ－rθ＝(r2θ＋r1θ)·(r2－r1). 由(*)式知，r2θ＋r1θ＝－(r2－r1)，记r2－r1＝x，因为－(r2－r1)>0，所以0<x<10， 故S＝(－x)x＝－(x－5)2＋，x∈(0，10). 所以当x＝5时，S取得最大值，即AD＝r2－r1＝5米时，花坛的面积最大． 学生用书第11页 学科网（北京）股份有限公司 $$