课时测评2 角的概念推广 象限角及其表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评2　角的概念推广　象限角及其表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在平面直角坐标系中，下列与角 420°终边相同的角是(　　) A．20° B．60° C．120° D．150° 答案：B 解析：由题意可知420°＝360°＋60°，所以60°与 420°终边相同．故选B． 2．下列命题中正确的个数是(　　) ①终边和始边都相同的两个角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角；⑤与－765°终边相同的角是315°. A．1 B．2 C．3 D．5 答案：B 解析：终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故①错误；钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，故②正确；第一象限角可以是正角也可以是负角，故③正确；小于90°的角可以是负角，不是锐角，故④错误；－765°＝－3×360°＋315°，因此－765°与315°终边相同，但与－765°终边相同的角是还有其他无数个角，故⑤错误．正确个数是2.故选B． 3．下列角的终边与60°角的终边关于x轴对称的是(　　) A．660° B．－660° C．690° D．－690° 答案：A 解析：由题意知，与60°角的终边关于x轴对称的角为θ＝－60°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，θ＝－60°＋720°＝660°，故A正确，经验证，其他三项均不符合要求．故选A． 4．终边在直线y＝x上的角α的取值集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} 答案：D 解析：当角α的终边在射线y＝x(x≥0)上时，α＝k·360°＋45°，k∈Z；当角α的终边在射线y＝x(x<0)上时，α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z.所以角α的取值集合是{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}．故选D． 5．(多选)已知α是第二象限角，则可以是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：AC 解析：因为α是第二象限角，即k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°<<k·180°＋90°，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角．故选AC． 6．如图所示，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________． 答案：－75° 解析：由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°. 7．在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为________． 答案：120°，300° 解析：与－60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.因为所求角在0°～360°范围内，所以0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得≤k≤，k∈Z，所以k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°. 8．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°得角α，写出所有终边与α相同的角的集合A＝______________． 答案：{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z} 解析：因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90°＋(－30°)＝60°，则α＝60°，故终边与α相同的角的集合A＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}． 9．(10分)写出终边落在图中阴影区域内的角的集合： (1) (4分) (2) (6分) 解：(1)在0°～360°范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． (2)图中终边落在从第四象限到第一象限阴影区域的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}， 图中终边落在从第二象限到第三象限阴影区域的角的集合为{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}，因此，终边落在阴影区域的角的集合为{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}． (10—12每题5分，共15分) 10. 若α是第二象限角，则180°＋α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：D 解析：由题意α是第二象限角，所以不妨设360°·k＋90°<α<180°＋360°·k，k∈Z，所以360°·k＋270°<α＋180°<360°＋360°·k，k∈Z，由象限角的定义可知180°＋α是第四象限角．故选D． 11．(多选)如果角α与角γ＋45°的终边相同，角β与γ－45°的终边相同，那么α－β的可能值为(　　) A．90° B．360° C．450° D．2 330° 答案：AC 解析：因为角α与角γ＋45°的终边相同，故α＝γ＋45°＋k·360°，其中k∈Z，同理β＝γ－45°＋k1·360°，其中k1∈Z，故α－β＝90°＋n·360°，其中n∈Z，当n＝0或n＝1时，α－β＝90°或α－β＝450°，故AC正确，令360°＝90°＋n·360°，此方程无整数解n；令2 330°＝90°＋n·360°，即56＝9n，此方程无整数解n；故B，D错误．故选AC． 12．(多选)下列四个结论中，正确的是(　　) A．角α和角β的终边重合，则α－β＝k×360°，k∈Z B．角α和角β的终边关于原点对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z C．角α和角β的终边关于x轴对称，则α＋β＝k×360°，k∈Z D．角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z 答案：ACD 解析：对于A，因为α，β终边重合，所以α＝β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°，k∈Z，故A正确；对于B，由180°＋α与α是终边关于原点对称的两个角，所以角α和角β的终边关于原点对称，必有角α＝180°＋β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°＋180°，k∈Z，故B错误；对于C，由－α与α是终边关于x轴对称的两个角，所以角α和角β的终边关于x轴对称，必有角β＝－α＋k×360°，k∈Z，即α＋β＝k×360°，k∈Z，故C正确；对于D，由180°－α与α是终边关于y轴对称的两个角，所以β与180°－α的终边相同，即β＝k·360°＋(180°－α)，k∈Z，所以α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z，故D正确．故选ACD． 13．(13分)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 解：由题意知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z， 因为α，β都是锐角，则0°<α＋β<180°，取k＝1，得α＋β＝80°. 又α－β＝670°＋n·360°，n∈Z， 由α，β都是锐角，得－90°<α－β<90°，取n＝－2，得α－β＝－50°. 联立解得α＝15°，β＝65°， 所以α＝15°，β＝65°. 14．(5分)(多选)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．270°＋α是第二象限角 D．2α是第三象限角或2α是第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上 答案：BD 解析：因为α是第二象限角，所以可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.对于A，－180°－k·360°<－α<－90°－k·360°，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误；对于B，可得45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B正确；对于C，360°＋k·360°<270°＋α<450°＋k·360°，k∈Z，即(k＋1)·360°<270°＋α<90°＋(k＋1)·360°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，故C错误； 对于D，180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，故D正确．故选BD． 15．(17分)已知α是第二象限角，试确定是第几象限角，并在平面直角坐标系中作出所在区域． 解：因为α是第二象限角，所以90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z， 所以30°＋120°·k<<60°＋120°·k， 当k＝3n，n∈Z时，是第一象限角， 当k＝3n＋1，n∈Z时，是第二象限角， 当k＝3n＋2，n∈Z时，是第四象限角． 如图：在平面直角坐标系中，作出所在区域． 学生用书第8页 学科网（北京）股份有限公司 $$