3 §2 直观图-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§2　直观图 　 第六章 立体几何初步 知识目标 1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤．　 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图． 素养目标 通过用斜二测画法画简单图形的直观图，培养学生直观想象素养；通过观察直观图了解空间几何体的表示形式，提升学生数学抽象素养． 知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法 1 知识点二　空间几何体的直观图的画法 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法 返回 问题导思 问题1．如图所示，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？当平面水平放置时我们如何表示平面呢？ 提示：平行四边形．通常用平行四边形表示平面，并且把锐角画成45°. 新知构建 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤及规则 45°(或135°) 水平面 x′轴或y′轴的 线段 保持原长度不变 一半 微提醒 (1)不变的量：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度；变化的量：垂直关系，角的大小，其他线段的长度．(2)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． (链教材P213例1)按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 解：画法： 第一步，在图①中作BG⊥x轴于点G，EH⊥x轴于点H， 例1 擦去辅助线，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图，如图③所示． 规律方法 画平面图形直观图的关键 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．　　 对点练1．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示． (2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE； 在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝ OD； 过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝ EC，连接B′C′，C′D′，如图②所示． (3)擦去x′轴与y′轴及其他辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图． 返回 知识点二　空间几何体的直观图的画法 返回 问题导思 问题2．画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，那么平行于z轴的线段的平行性和长度改变吗？ 提示：平行于z轴的线段的平行性和长度都不变． 新知构建 空间几何体直观图的画法步骤 (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝_____． (2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝______________，∠x′O′z′＝_____．x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半． (5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线． 90° 45°(或135°) 90° (链教材P214例2)画底面边长为3 cm、高为3 cm的正四棱锥的直观图． 解：(1)画轴，如图①所示，画x′轴、y′轴、z′轴，它们交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°. 例2 (3)画高(线)，在z′轴上取O′S＝3 cm. (4)成图，连接SA，SB，SC，SD，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到所要画的正四棱锥的直观图，如图②所示． 规律方法 画空间几何体的直观图的关键 1．对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出． 2．画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． 3．平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致．　　 对点练2．用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台． 解：①画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. ②画下底面．在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图，即平行四边形ABCD． ③画上底面．在Oz上截取OO′＝2 cm，过点O′分别作平行于轴Ox，轴Oy的轴O′x′，轴O′y′，在平面x′O′y′上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图，即平行四边形A′B′C′D′. ④依次连接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图②所示． 返回 综合应用 返回 例3 直观图的还原与计算 　如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是 √ 规律方法 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点： 1．直观图中任意一点距x′轴的距离都为原图形中对应点距x轴距离的 倍． 2．S直观图＝ S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．　　 对点练3． (1)△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′，如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ ，那么△ABC的形状是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 √ 原△ABC如图所示：由斜二测画法的规则可知，BO＝CO＝1，AO＝ , AO⊥BC，所以AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形．故选A． (2)如图所示，已知菱形ABCD，用斜二测画法作出菱形ABCD的直观图即四边形A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为________． 画出菱形ABCD的平面直观图，如图四边形A′B′C′D′所示： 返回 课堂小结 知识 1．水平放置的平面图形的直观图的画法. 2．空间几何体直观图的画法. 3．直观图的还原与计算 方法 转化与化归 易错误区 易忽视同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同 随堂演练 返回 1．如图有一个直角梯形OABC，则它的水平放置的直观图是 √ 作出直角梯形OABC的直观图如下图所示： A选项满足要求．故选A． 2．关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是 A．菱形的直观图仍为菱形 B．相等的角，在直观图中仍相等 C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行 √ 由直观图的作法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而线段的长度和角的大小不一定与原来相等．对于A，菱形的直观图是平行四边形，故A错误；对于B，相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，故B错误；对于C，平行且相等的线段在直观图中仍相等，但不平行的相等线段不一定相等，故C错误；对于D，平行线段在直观图中仍然平行，故D正确．故选D． 3．已知水平放置的△ABC的直观图如图所示，A′C′＝3，B′C′＝2，则边AB上的中线的实际长度为 易知△ABC的实际图形是直角三角形，两条直角边长分别是4和3，所以斜边AB上的中线长度为 .故选C． √ 4．如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________． 由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又因为△A′O′B′中，过点A′且与y′轴平行的线段的长度为4，所以对应△AOB的高为8.所以△AOB的面积为 ×4×8＝16. 16 返回 课时测评 返回 根据斜二测画法知，原来垂直的直线在直观图中未必垂直，因此B错误．A，C，D正确．故选B． 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法错误的是 A．原来相交的直线仍相交 B．原来垂直的直线仍垂直 C．原来平行的直线仍平行 D．原来共点的直线仍共点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．水平放置的△ABC的直观图如图所示，点D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，则A′B′，A′D′，A′C′对应于原△ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是 A．最短的是AD B．最短的是AC C．AB>AC D．AD>AC 因为A′D′平行于y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为点D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，所以点D是BC的中点，所以AB＝AC>AD．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0.25 cm，1 cm，0.8 cm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2 cm，0.5 cm，1 cm和0.8 cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x′轴，保持长度不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y′轴，长度变为原来的一半；已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z′轴，保持长度不变．所以该建筑物按1∶1 000的比例画出它的直观图，直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2 cm，0.25 cm，1 cm和0.8 cm.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是 A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC的周长是4＋4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据斜二测画法可知，在原图形中，点O为CA的中 点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO ＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等 腰直角三角形，如图所示，所以△ABC的周长是4＋ 4 ，故A错误，C，D正确；由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2 倍，故B错误．故选CD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的 正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________． 如图所示，B′C′＝1，B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如图所示，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被墨汁覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为9，则O′B′ 的长度为 ______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AD＝DC＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)画底面边长为3 cm、高为3.5 cm的正三棱柱的直观图． 解：(1)取AB的中点O′，画x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 用斜二测画法画出水平放置的边长为3 cm的正三角形ABC，其中AB＝ 3 cm，O′C＝ cm. (2)画z′轴，使∠x′O′z′＝90°，在O′z′上截取O′D＝3.5 cm； 画A′B′綊AB，A′C′綊AC，B′C′綊BC，如图①所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)连接AA′，BB′，CC′，即得正三棱柱ABC -A′B′C′. (4)最后将O′x′，O′y′，O′z′轴擦去，即可得到正三棱柱ABC -A′B′C′的直观图如图②所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．如图所示，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是 A．梯形的直观图仍旧是梯形 B．若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为 C．△ABC的直观图如图所示，A′B′在x′轴上， 且A′B′＝2，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝ ，则 △ABC的面积为4 D．菱形的直观图可以是正方形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)关于斜二测画法，下列说法正确的是 A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为S，则在对应直观图中的面积为 S C．两条相交直线的直观图可能平行 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的平面图形并求出其面积． 解：四边形ABCD的平面图形如图所示， 因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形， 所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， 所以在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC． 因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ ， 所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)图①是长、宽、高分别为3，4，5的长方体；图②是所有棱长均为2的正三棱锥，点D是AB的中点．画出图中给出的所有侧面、底面与截面(阴影部分)的真实平面图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：图①是长、宽、高分别为3，4，5的长方体， 可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下： 图②是所有棱长均为2的正三棱锥，点D是AB的中点，可得CD＝SD＝ ， 可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下： 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 立 体 几 何 初 步 返回 第二步，建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使得∠x′O′y′＝45°.在坐标系x′O′y′中取O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′. 第三步：在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′， (2)画底面，按x′轴、y′轴画正方形的直观图ABCD，取边长等于3 cm， 使正方形的中心对应于点O′，在x′轴上取点E，F，使O′E＝O′F＝ cm，在y′轴上取点G，H，使O′G＝O′H＝ cm，分别过E，F，G，H作平行于x′轴、y′轴的直线，分别交于A，B，C，D四点． A．面积为6的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为6的菱形 D．面积为的菱形 ∠D′O′A′＝45°，O′C′＝1，所以C′D′＝1，O′D′＝，故在原图中，CD＝1，OD＝2，OA＝3，OC＝＝＝3，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，则面积为6.故选C． 4 在菱形ABCD中，AC＝8，OB＝OD＝2，在四边形A′B′C′D′中，O′D′＝OD＝1，A′C′＝AC＝8，所以四边形A′B′C′D′的面积为2S△A′C′D′＝2×A′C′×O′D′·sin 45°＝2××8×1×＝4. A．5 B． C． D． A． B．4 C．8 D．2 由S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8. 因为在直观图中，O′A′＝6, 所以原图形是一个底边长为OA＝6，高为OB的直角三角形，故原图形的面积为×6×OB＝9，所以OB＝3.根据斜二测画法的规则，O′B′＝OB＝. 3 如图所示，过A作AE⊥BC于E，在直观图中，因为∠ABC＝45°，AD＝DC＝1，DC⊥BC，所以EC＝1，BE＝1，所以BC＝2，AB＝，故原平面图形的上底为1，下底为2，高为2，所以这块菜地的面积为S＝××2＝3. A．12 B．10＋2 C．7＋2 D．11＋ 根据斜二测画法得到△OAB为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为＝2，故△OAB的周长为10＋2.故选B． 由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4＝，根据直观图与原图面积关系可得S＝×2＝2，故B错误；直观图中S△A′B′C′＝×2×＝，则△ABC的面积S＝×2＝4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不相等的平行四边形，故D错误．故选AC． 对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，故A正确；对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，如图①所示，在△ABC中，AD⊥BC，其面积S＝AD×BC，在其直观图(图②所示)中，作A′M⊥B′C′，则直观图的面积S′＝B′C′×A′M＝B′C′×A′D′×sin 45°＝××AD×BC＝S， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的，故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积的，故B正确；对于C，根据平行性不变，两条相交直线的直观图不可能平行，故C错误；对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，故D错误．故选AB． 14．(5分)(多选)如图所示，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，则在原平面图形ABC中有 A．AC<BC B．AB＝2 C．AC＝2 D．S△ABC＝4 在直观图△A′B′C′中，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，取A′B′中点D′，连接C′D′，如图①所示，则C′D′⊥A′B′，而∠B′O′C′＝45°，于是O′D′＝C′D′＝ ＝2，O′A′＝1，O′C′＝2，由斜二测画法作出△ABC如图②所示，则OC＝O′C′＝2，OA＝2O′A′＝2，OB＝2O′B′＝6，AB＝2A′B′＝4，AC＝＝2，BC＝＝2，S△ABC＝OC·AB＝4，显然AC<BC，故A，D正确，B，C错误．故选AD． 可得AC＝＝5，CD1＝＝，AD1＝＝， $$