7 3.1 二倍角公式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

3.1　二倍角公式 　 第四章 §3　二倍角的三角函数公式 知识目标 1．会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．　 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 素养目标 通过对二倍角公式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养． 知识点一　二倍角公式 1 知识点二　二倍角公式的重要变形 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　二倍角公式 返回 问题导思 问题1．请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；tan (α＋β)＝ . 问题2．在上述公式中，当α＝β时，你能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan2α＝tan (α＋α)＝ . 问题3．结合同角间的三角函数的平方关系，你能将cos2α的式子用只含有sin α或cos α的形式表示吗？ 提示：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－sin2α－sin2α＝1－2sin2α； cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1. 新知构建 二倍角公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin2α＝____________ S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝_________＝__________ C2α 正切 tan2α＝________ T2α 2sin αcos α 2cos2α－1 1－2sin2α 微思考 二倍角公式中的“倍角”仅指α与2α吗？ (链接教材P164例1)已知α，β都是锐角，tanα＝3，sin β＝ . (1)求cos 2α； 例1 (2)求tan (2α－2β)的值． 解：因为α，β都是锐角，所以2α，2β∈(0，π)， 规律方法 对于给角求值问题，一般有两类 1．直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． 2．若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　 对点练1．求下列各式的值： 返回 知识点二　二倍角公式的重要变形 返回 问题导思 问题4．能否用cos 2α来表示sin2α和cos2α呢？ 新知构建 二倍角公式的重要变形 升幂公式 (1)1＋cos 2α＝________； (2)1－cos2α＝________； (3)1±sin2α＝sin2α±2sinαcos α＋cos2α＝_____________ 降幂公式 (1)cos2α＝__________； (2)sin2α＝__________； (3)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α 2cos2α 2sin2α (sinα±cos α)2 例2 √ √ 规律方法 解决给值求值问题的方法 1．给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 规律方法 2．注意几种公式的灵活应用，如： √ 返回 综合应用 返回 例3 一　三角函数式的化简与证明 　化简下列各式： 规律方法 化简三角函数式的基本思路 解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围． √ √ 二　二倍角公式在实际问题中的应用 (链教材P165例3)(2024·福建漳州高一测试)如图所示， 有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出 一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的 直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 例4 解：连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OB sin θ＝20sin θ，OA＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈ . 因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈ ，所以2θ∈(0，π)，所以当sin 2θ＝1， (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择 A，D位置，使步行小路的距离最远？ 解：由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ， 规律方法 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角函数模型解决实际的优化问题．　　 对点练5．如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，矩形ABCD的面积为S. (1)求S与α之间的函数关系式； 解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α， (2)当α取何值时，S最大？并求出S的最大值． 返回 课堂小结 知识 1．二倍角公式的推导. 2．掌握二倍角公式的正用、逆用和变形用，并能进行化简、求值和证明. 3．二倍角公式在实际问题中的应用 方法 公式法、转化法 易错误区 化简求值开根号时，忽视角的范围 随堂演练 返回 1．已知tan α＝2，则tan 2α＝ √ √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋1，则下列说法正确的是 A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的最大值为2 C．x＝ 是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴 D．y＝f(x)是奇函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如果等腰三角形一个底角的余弦值为 ，那么这个三角形顶角的正弦 值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)下列各式化简中，一定正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(新情境)随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为 4∶3，设∠CAB＝α，则 －tan α＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以f(x)的值域为 [－1，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－ . (1)求sin 2α－cos 2α的值；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求tan (α－β)的值．(10分) 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 三 角 恒 等 变 换 返回 提示：二倍角公式中的倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角等.3α是的二倍角，α＋β是的二倍角等等． 解：因为tan2α＝＝9， 所以cos2α＝，cos2α＝2cos2α－1＝－. 所以tan(2α－2β)＝＝＝－. 又cos2α＝－<0，所以2α∈， 所以tan 2α＝－＝－， tanβ＝＝，tan2β＝＝. (3)原式＝＝cos2－sin2＝cos＝. (1)sin cos ； (2)； (3)cos4－sin4. 解：(1)原式＝×2sincos ＝×sin ＝. (2)原式＝×＝×tan45°＝. 提示：由cos2α＝1－2sin2α得，sin2α＝， 由cos 2α＝2cos2α－1得，cos2α＝. (1)已知sin ＝，则sin 2α的值为 A．－ B． C．－ D． 因为2α＝2－，所以sin 2α＝sin [2(α＋)－]＝－sin ＝－cos 2(α＋)＝－＝－(1－2×)＝－.故选C． (2)在△ABC中，角A，B，C满足4sin2－cos2B＝，则角B的大小为 A． B． C． D． 在△ABC中，A＋B＋C＝π，由4sin2－cos2B＝，得4cos2B－4cosB＋1＝0.于是cos B＝，B＝.故选B． (1)sin 2x＝cos ＝cos 2＝2cos2－1＝1－2sin2. (2)cos2x＝sin ＝sin 2＝2sin (－x)cos .　　 对点练2．(1)已知角α∈，且cos 2α＝，则sin α的值为 A． B． C．－ D．－ 因为cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sinα＝±，因为α∈，所以sin α＝.故选B． (2)(2024·河北承德高一检测)已知tan x＝，则＋＝ ________． ＝＝＝tan 2x－tan x， ＝＝＝tan 3x－tan 2x， 所以＋＝tan 3x－tan x，而tan 3x＝tan (2x＋x)＝＝＝＝， 因此原式＝－＝. (1)； 解：原式＝＝ ＝＝＝＝－2. (2) . 解：原式＝＝ ＝＝＝tan θ. 对点练3．(多选)下列选项中，值为的是 A．cos 72°cos 36° B．sin sin C．cos 20°cos 40°cos 80° D．－cos 215° 对于A，cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝，故A正确；对于B，sin sin ＝cos sin ＝sin ＝，故B正确；对于C，cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝＝＝＝，故C错误；对于D，－cos 215°＝＝－＝－，故D错误．故选AB． 对点练4．求证：＝tan4A． 证明：因为左边＝ ＝＝＝(tan2A)2＝tan4A＝右边， 所以＝tan4A． 此时AO＝DO＝10(m). 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 即θ＝时，Smax＝400(m2). 因为AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin ， 又θ∈，所以θ＋∈，所以当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40(m)，此时AO＝DO＝10(m)， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远． 所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α， 在Rt△OAD中，＝tan ＝， 所以OA＝DA＝BC＝sin α， 所以S＝AB·BC＝sin α ＝sin αcos α－sin2α ＝sin2α－(1－cos 2α) ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝－ ＝sin －. 解：由0<α<，得<2α＋<， 所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝. A．－ B． C． D．－ tan 2α＝＝－.故选D． 2．若sin＝，则cos α等于 A．－ B．－ C． D． 因为sin ＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.故选C． 3．(多选)下列各式中，值为的是 A．1－2sin215° B．2sin15°cos 15° C．2cos215°－1 D．tan210° 对于A，1－2sin215°＝cos30°＝，所以A不正确；对于B，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确；对于C，2cos215°－1＝cos30°＝，所以C不正确；对于D，tan 210°＝tan (180°＋30°)＝tan 30°＝×＝，所以D正确．故选BD． 4．已知sin ＝，α∈，则cos 2α＝________． 由题设知α＋∈(－，)，又sin (α＋)＝∈(0，)，则α＋∈(0，)，所以cos (α＋)＝，则cos 2α＝sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝. 1．若θ∈，sin (π＋θ)＝，则cos 2θ＝ A．－ B．－ C． D．－ 因为sin (π＋θ)＝－sin θ＝，所以sin θ＝－，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.故选B． 2．(新角度)将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数，该值恰好等于2sin18°，则cos 36°＝ A．－2 B． C． D． 因为2sin 18°＝，所以sin 18°＝，所以cos 36°＝1－2sin218°＝1－2×＝.故选C． 3．已知sin＝3sin ，则tan 2α＝ A． B．－ C． D．－ 因为sin ＝sin ＝sin (＋α)＝cos α，sin ＝sin ＝－sin (π－α)＝－sin α，所以cos α＝－3sin α，所以tan α＝－，则tan 2α＝＝－.故选B． 因为f(x)＝2sin x cos x＋1＝sin 2x＋1，对于A，T＝＝π，故A错误；对于B，因为－1≤sin 2x≤1，则0≤sin 2x＋1≤2，所以fmax＝1＋1＝2，故B正确；对于C，当x＝时，则2×＝，因为正弦函数的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，故C正确；对于D，因为f(－x)＝sin ＋1＝－sin 2x＋1≠－f(x)，y＝f(x)不是奇函数，故D错误．故选BC． 5．若＝，则cos 的值为 A． B．－ C．－ D． 因为＝，所以＝，所以cos α－sin α＝，平方得1－2cos αsin α＝，所以sin 2α＝，所以cos ＝sin 2α＝.故选A． 6．已知sin α＝，则＝__________． ＝＝2cos 2α＝2(1－2sin 2α)＝2×＝. 设A是等腰△ABC的顶角，B是等腰三角形的一个底角，则cos B＝，因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝＝.所以sinA＝sin (180°－2B)＝sin 2B＝2sin B cos B＝2××＝. 8．(2024·福建泉州高一统考)若sin ＝－，且x∈，则sin ＝__________． 因为x∈，则x＋∈，又sin ＝－，所以cos ＝＝，则sin ＝2sin (x＋)cos ＝－，则sin ＝sin (2x－π＋)＝－sin ＝. 因为cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－， 所以sin (α－β)＝＝， 9．(10分)已知<β<α<，且cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α的值． 解：因为<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<， cos (α＋β)＝－＝－， 则cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)] ＝cos (α－β)cos (α＋β)－sin (α－β)sin (α＋β) ＝×(－)－×(－)＝－. 10．计算cos ·cos 的值为 A．－ B．－ C．－ D．－ 由cos cos ＝cos cos (π－)＝－cos cos ＝－＝－＝－＝－＝－.故选B． A．＝ B．＝tan C．sin 75°cos 15°＝＋ D．cos α＝1－2cos 2 对于A，＝＝tan 60°＝，故A正确；对于B，取α＝，则＝＝＝，tan ＝tan ＝，显然≠tan ，故B错误；对于C，sin 75°cos 15°＝cos 215°＝＝＋，故C正确；对于D，取α＝，则cos α＝cos ＝－，1－2cos 2＝1－2×cos 2＝1－2×2＝，显然cos α≠1－2cos 2，故D错误．故选AC． 由题意得BC＝3×，AB＝4×，所以tan α＝＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝－＝－＝. 因为－≤x≤－，所以－≤2x－≤－， 所以sin ∈， 13．(13分)已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x. (1)求函数f(x)在x∈时的值域；(5分) 解：由f(x)＝sin x cos x－cos2x， 得f(x)＝sin2x－cos 2x－＝sin (2x－)－， 则sin ＝，即cos α＝－， (2)设α是第二象限角，且f＝，求的值．(8分) 解：因为f＝， 所以sin －＝， 又α为第二象限的角，所以sin α＝， 所以＝ ＝＝ ＝＝－. 14．(5分)(新角度)魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值约为 A．－32 B．－ C．32 D． 将π＝4sin 52°代入，可得 ＝ ＝＝＝＝32.故选C． 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos 2α－1 ＝2××－1＝， 所以sin 2α－cos 2α＝. 解：因为α，β为锐角，tan α＝， 所以sin α＝，cos α＝， 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝＝－. 解：因为tan α＝，所以tan 2α＝＝＝， 所以sin (α＋β)＝＝＝， tan (α＋β)＝＝＝－2， $$