16 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 　 第二章 §6　平面向量的应用 知识目标 1．会用向量方法解决简单的平面几何问题．　 2．会用向量方法解决物理中简单的力学问题和其他实际问题．　 3．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 素养目标 通过平面向量在平面几何、物理中的应用，培养学生逻辑推理及数学建模素养． 知识点一　向量在几何证明中的应用 1 知识点二　向量在物理中的应用举例 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　向量在几何证明中的应用 返回 问题导思 问题1．证明线线平行、三点共线问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可以转化为共线向量的基本定理： 即a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 问题2．证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可转化为向量的数量积等于零，即a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 问题3．用向量证明平面几何问题的方法，常有哪两种思路？ 提示：(1)向量的线性运算法；(2)向量的坐标运算法． 新知构建 1．几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用________________________表示． 2．向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 向量的线性运算及数量积 角度1　判断图形的形状或直线的位置关系 　(链教材P125例13，P126例14)如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE＝DF.用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 例1 证明：如图所示， 所以四边形AECF是平行四边形． 规律方法 向量的线性运算法的四个步骤 第一步：选取一组基； 第二步：用基表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算所得向量关系转化为几何问题的结果．　　 对点练1．如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T.试证明R，T把AC三等分． 角度2　 证明线共点或点共线 　(链教材P126例15，例16)已知D，E，F分别为△ABC三边BC，AC，AB的中点．求证：AD，CF，BE相交于一点． 例2 所以G在中线CF上，所以AD，CF，BE相交于一点． 规律方法 在利用向量证明线共点或点共线的问题时，主要是利用共线向量的基本定理．　　 对点练2．如图，已知D，E为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD至M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线． 又D为AB的中点， 所以A，M，N三点共线． 返回 知识点二　向量在物理中的应用举例 返回 问题导思 问题4．如何利用向量研究力、速度、加速度、位移等物理问题？ 提示：力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等． 新知构建 1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决． 2．物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 角度1　向量的线性运算在物理中的应用 　(链教材P127例17，例18)如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝30 N，求G，F2的大小． 例3 解：建立如图坐标系， 规律方法 用向量处理物理中的向量问题时，根据题意把物理量用有向线段表示，利用平行四边形法则转化为代数方程来计算，也可建立平面直角坐标系，把向量作正交分解．　　 对点练3．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达对岸B码头？用时多少？ 所以∠EAD＝30°. 故该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 角度2　向量的数量积在物理中的应用 　(链教材P128例19，例20)质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离(g＝9.8 N/kg). (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； 解：木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力N， 如图所示． 拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；支持力N与位移方向垂直，不做功，所以WN＝N·s＝0；重力G对物体所做的功为WG＝G·s＝|G||s|cos (90°＋θ)＝|mg|·|s|cos (90°＋θ)＝－19.6(J). 例4 (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 解：物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J). 规律方法 物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积．　　 对点练4．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________． －40 返回 综合应用 返回 例5 平面向量在实际中的综合应用 规律方法 1．向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示． 2．既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题的工具．　　 对点练5．家有重物，爸、妈、孩子三人合力拉抬，用力依次为f1，f2，f3，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好静止在半空中． (1)求这个物体重力的大小； (2)求孩子用力方向与竖直方向所成角的余弦值． 返回 课堂小结 知识 1．向量在几何证明中的应用. 2．向量在物理中的应用 方法 化归与转化、数形结合 易错误区 要注意选择恰当的一组基 随堂演练 返回 1．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为 A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 √ 2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 3．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为 √ 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.则对角线AC的长为________． 返回 课时测评 返回 因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足．故选D. 1．已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为200 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2) A．60 B．61 C．75 D．60 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，下列说法正确的是 A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．一个质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到点B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为________． 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图所示，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，则F在小车位移上的投影数量为_______，力F做的功为_______J． 因为|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，所以F在小车位移上的投影数量为|F|·cos 60°＝25.因为力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，所以力F做的功W＝25×40＝1 000(J). 25　 1 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m).求： (1)F1，F2分别对该质点做的功；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)F1，F2的合力F对该质点做的功．(6分) 解：根据题意，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(5，－4)， 故F1，F2的合力F对该质点做的功W＝F· ＝5×(－13)－4×(－15) ＝－5(J). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，入球多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则F对冰球所做的功为 A．－210 J B．210 J C．－270 J D．270 J √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和竖直向上方向的夹角均为θ，已知礼物的质量为m kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(重力加速度g) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝8 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法错误的是 A．船头方向与水流方向垂直 D．该船到达对岸所需时间为3分钟 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明：根据题意，画出示意图如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(开放题)已知正六边形ABCDEF的边长为1. (1)当点M满足________时， ；(注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求 的取值范围．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 从而＋＝＋， 所以＝，即AE与FC平行且相等， ＝＋，＝＋，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝. 又BE＝DF，E，F在直线BD上，所以＝， 所以＝＋＝b＋m， 证明：设＝a，＝b，则＝a＋b. 因为与共线，所以存在n∈R，0<n<1，使得＝n＝n(a＋b). 又与共线，所以存在m∈R，0<m<1，使得＝m＝m(＋)＝m. 解得n＝m＝，所以＝. 同理，可得＝＝， 所以AR＝RT＝TC＝AC． 所以b＋m＝n(a＋b)， 即(n－m)a＋b＝0. 因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理，得 证明：如图所示，设＝a，＝b，直线AD，BE交于点G. 设＝λ，＝μ， 则＝＋＝(b－a)＋μ＝(b－a)＋μ(＋)＝b－a＋μ(a－b)＝a＋(1－μ)b. 又因为＝a＋b. 所以＝， 又＝λ＝λ(＋)＝λ＝－λa＋λb， 所以解得 则＝＋＝a＋＝a＋＝a＋b. 所以∥. 又AM∩AN＝A，所以与所在直线重合， 证明：在△AMC中，D为MC的中点，易得2＝＋. 所以＝2，所以＝＋，所以＝－＝. 同理可证＝－＝.所以＝－， 所以解得 所以重力G的大小为60 N，垂直斜面向上的弹力F2的大小为30 N． 由|F1|＝30 N，可得＝(15，15). 设|F2|＝a N，|G|＝b N，则＝(－，)，＝(0，－b). 因为＋＋＝0， 所以||＝＝2，又AB＝， 解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达对岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°， 所以用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝， 因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).又因为＝(－1，4)，所以F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40. 如图所示，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，＝m，＝n，其中m，n∈(0，1)，设DE的中点为M，AB的中点为N. (1)若m＝n，求证：C，M，N三点共线； 证明：连接CN(图略)，当m＝n时，＝(＋)＝(m＋m)＝(＋)，＝(＋)，故＝m，又因为CM与CN有公共点C，故C，M，N三点共线． 故||2＝|n＋m|2＝(9n2＋16m2＋2mn·)＝(9n2＋16m2) ＝[9(1－m)2＋16m2]＝(25m2－18m＋9)， 故当m＝＝时，||2取得最小值[25×－18×＋9]＝， 即||的最小值为. (2)若m＋n＝1，求||的最小值． 解：当m＋n＝1时，＝(＋)＝(m＋n)，＝(＋)， 故＝－＝(＋)－(m＋n)＝(n＋m)， 解：因为f合＝f1＋f2＋f3，所以|f合|2＝|f1＋f2＋f3|2＝|f1|2＋|f2|2＋|f3|2＋2f1·f2＋2f1·f3＋2f2·f3，所以|f合|2＝9＋4＋1＋2×3×2×＋2×3×1×＋2×2×1×＝25，所以物体重力的大小为5. 解：设所求角为θ，则cos θ＝＝＝ ＝，所以孩子用力方向与竖直方向所成角的余弦值为. 因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以与共线．又||≠||，所以该四边形为梯形．故选A． 作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.故选D. A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N 如图所示，＝F1，＝F2，∠AOC＝60°，∠OAC＝90°，＝10.在Rt△OAC中，有＝cos ∠AOC＝5，所以F1的大小为5 N.故选B. 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.而||＝|a－b|＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝.又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝. ＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，·＝21－21＝0，所以⊥，则∠A＝90°，又||≠||，所以△ABC为直角三角形．故选C． 3．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为 A． B．2 C．5 D．10 因为·＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10.故选D. 如图所示，||＝||＝200，∠AOB＝60°，作平行四边形OACB，则OACB是菱形，＝＋，||＝2||sin 60°＝600，所以|G|＝||＝600，因此该学生体重为＝＝60(kg).故选D. 设船在静水中的速度为v，水流速度为v1，船实际速度为v2，两岸间的垂直距离为s；船垂直到达对岸时，v2＝，则所用时间t＝；航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，当船速v的方向与河岸垂直时，所用时间t＝；因为|v|≥|v2|，所以当船速v的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的时间不相同，故A，C错误，B，D正确．故选BD. 6．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是________． 由＝可得＝且BC∥AD，故四边形ABCD为平行四边形，由·＝0，可知⊥，进而AB⊥BC，所以四边形为矩形． 由题意可知，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(－3，5)＋(2，－3)＝(－1，2)，＝(－4－10，0＋5)＝(－14，5)，则合力F对该质点所做的功为F·＝(－1，2)·(－14，5)＝24. 解：根据题意，F1＝i＋j＝(1，1)，F2＝4i－5j＝(4，－5)，＝(－13，－15)，故F1对该质点做的功W1＝F1·＝－13－15＝－28(J)； F2对该质点做的功W2＝F2·＝－13×4－15×(－5)＝23(J). 由题意得＝(5，10)，故力F对冰球所做的功为F·＝6×5＋24×10＝270(J).故选D. A． B． C． D． 设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小均为，则8|F|cos θ＝mg，故|F|＝.故选C． B．cos 〈v1，v2〉＝－ C．|v|＝2 km/h 由题意可知v＝v1＋v2，当船的航程最短时，v⊥v2，而船头的方向与v1同向，由v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v＝0，可得v1·v2＝－v＝－4，cos 〈v1，v2〉＝＝－，故A错误，B正确；|v|＝|v1＋v2|＝＝＝＝2(km/h)，故C错误；该船到达对岸所需时间为60×＝(分钟)，故D错误．故选ACD. 13．(13分)已知平面四边形ABCD中，||＝||＝2||＝2，||＝，向量，的夹角为. (1)求证：⊥；(5分) 由题意可知||＝||＝2，∠BAD＝，所以△ABD为等边三角形， 则||＝2，又||＝1，||＝，所以||2＋||2＝||2，即△BCD为直角三角形，且∠C＝，∠CBD＝，所以∠ABC＝＋＝，所以AB⊥BC，所以⊥. (2)若点E是线段BC的中点，求·的值．(8分) 则A(0，2)，C(，0)，D(，1)，因为点E是线段BC的中点，所以E，则＝(－，2)，＝，所以·＝·＝－＋2＝. 14．(5分)(多选)若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知＝3 N，＝2 N，F1，F2的夹角为，则 A．＝ N B．＝ N C．F1，F3夹角的余弦值为－ D．F1，F3夹角的余弦值为 根据题意，画出图形：F1，F2的合力为F.所以＝＝＝.所以＝ N，故A错误，B正确．因为cos 〈F1，F〉＝＝，所以cos 〈F1，F3〉＝cos ＝－cos 〈F1，F〉＝ －，所以F1，F3夹角的余弦值为－，故C正确，D错误．故选BC． 所以＝(－，)，设M(x，y)， ·＝ 解：建系如图，则A(0，0)，B(1，0)，C， D(1，)，E(0，)，F， 又因为A(0，0)，D(1，)， 所以直线AD为y＝x， 所以M为直线AD上的任意一点即可，故答案为：＝2，M为直线AD上的任意一点(答案不唯一). 则＝(x－1，y)， 因为·＝， 所以－(x－1)＋y＝，可得y＝x， 所以·的取值范围为. · 解：设H(x，y)，因为点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则－≤x≤， 则·＝·＝x∈. $$