17 章末综合提升 三角函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

章末综合提升 　 第一章 三角函数 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 例1 探究点一　 任意角的三角函数 故角θ是第二或第三象限角． 角θ是第二象限角， 规律方法 在任意角的正弦、余弦、正切的定义中，注意r＝ ，尤其是已知点的某一坐标，求另一坐标时注意符号的选取，从而得到角的其他三角函数值．　　 √ √ √ √ 例2 探究点二　诱导公式的应用 规律方法 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值．　　 例3 探究点三　三角函数图象与性质的应用 (一题多问)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0， ω>0，|φ|< )的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式，并写出它的对称中心； (2)求函数f(x)的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)若函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值． 规律方法 研究y＝A sin (ωx＋φ)的单调性、最值问题时，把ωx＋φ看作一个整体来解决．　　 (1)求ω的值； 例4 探究点四　三角函数的简单应用 某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t).已知某日海水深度的数据如下： 经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|< )的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b的表达式； t(时) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 y(m) 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为7.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 故船舶至多能在港内停留16小时． 规律方法 在三角函数的实际应用中，关键是构建三角函数模型，然后利用模型解决实际问题．　　 对点练4．(一题多问)筒车是我国古代发明的 一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在 农业生产中得到使用(图①).如图②，现有一 个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速 旋转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，若以盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初始时刻，设经过t秒后盛水筒P到水面的距离为f(t) (单位：米)(在水面下则f(t)为负数).筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上． (1)求函数f(t)的表达式； (2)求第一筒水倾倒的时刻t和相邻两个盛水筒倾倒的时间差； (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌．(精确到0.1小时) 所以约13.9小时可完成该稻田的浇灌． 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－ )的交点个数为 A．3 B．4 C．6 D．8 真题 1 √ 由图可知，这两个图象共有6个交点．故选C． 真题 2 √ (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－ )，下列说法中正确的有 A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 真题 3 √ √ 真题 4 返回 单元检测卷 返回 因为角2α与220°角的终边相同，所以2α＝220°＋k·360°(k∈Z)，则α＝110°＋k·180°(k∈Z).故选B． 1．若角2α与220°角的终边相同，则α＝ A．110°＋k·360°(k∈Z) B．110°＋k·180°(k∈Z) C．220°＋k·360°(k∈Z) D．220°＋k·180°(k∈Z) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于α的终边位于第二象限，所以cos α<0，sin α>0，所以P(cos α，sin α)位于第二象限．故选B． 2．已知角α的终边位于第二象限，则点P(cos α，sin α)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．“α＝kπ＋β，k∈Z”是“tan α＝tan β ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在同一直角坐标系内，画出y＝ 及y＝sin x的图象(图略)，由图象可观察出交点个数为4.故选C． √ 6．函数f(x)＝ －sin x在区间[0，3π]上的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．不等式1＋tan x≥0的解集是__________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ. (8分) 所以x＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求出角α(用弧度制表示)；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x＋α 0       2π x           y           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：列表： 作出函数f(x)图象如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． (1)求ω和m的值；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由函数f(x)＝2sin ωx＋m(ω>0，m∈R)，知条件①②涉及的都是函数值，不能求出ω值， 并且f(0)＝m＝1与f(x)min＝－2＋m＝0矛盾，因此不能选择条件①②. 选①③，函数f(x)＝2sin ωx＋m，ω>0，由f(0)＝1，得m＝1， 选②③，函数f(x)＝2sin ωx＋m，ω>0，由f(x)的最小值为0，得f(x)min＝－2＋m＝0，解得m＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)第19届杭州亚运会中象山承办了帆船与沙滩排球项目比赛，大量的游客来象山打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f(x)＝ 来刻画．其中正整数x表示月份且x∈ ，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω>0.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f(x)的表达式；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．(10分) 且x∈N＋，则x＝7，8，9， 所以第7，8，9月是该地区的旅游旺季． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 观察可知，当a＝－2或－1<a≤1时，y＝g(x)－a有1个零点； 当－2<a≤－1时，y＝g(x)－a有2个零点； 当a<－2或a>1时，y＝g(x)－a没有零点． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 因为m≠0，所以m＝±， 已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)，且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解：由题意得r＝， 所以sin θ＝＝m. 所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝. 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)， 所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－； 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角， 对点练1．(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称．若角α的终边与单位圆⊙O交于点P(，－)，则cos β＝ A． B．－ C． D．－ 角α与角β终边关于原点O对称，且角α的终边与单位圆⊙O交于点P(，－)，所以角β的终边与单位圆⊙O交于点P′(－，)，故cos β＝－.故选B． (2)(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B(b，1)且sin α＝，则下列结论正确的是 A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ 因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B且sin α＝，所以＝＝，所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a>0，所以角α为第二象限的角，所以b<0，所以a＝，b＝－2，故A错误，B正确，所以cos α＝＝－，tan α＝＝－＝－，故C，D正确．故选BCD． 化简：··. 解：·· ＝·· ＝·· ＝··＝··＝1. 对点练2．已知方程cos ＝2sin ，求的值． 解：由cos ＝2sin ，得－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α， 所以＝ ＝＝＝－. 所以f(x)＝A sin . 又由图象知f＝0，f(0)＝， 解：由图象知T＝4＝4π， 所以ω＝＝＝， 将φ＝代入②得A sin ＝，所以A＝2. 所以f(x)＝2sin ， 令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z， 所以 所以它的对称中心为，k∈Z. 由①得－＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z. 又φ∈，所以φ＝. 解：由f(x)＝2sin 知f(x)min＝－2， 此时x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋4kπ，k∈Z. 所以f(x)取最小值时x的集合为{x＋4kπ，k∈Z}． 所以m的最小值为. 解：f(x)＝2sin 向右平移m个单位长度得到y＝f(x－m)＝2sin ＝2sin (x－＋)为偶函数，即函数图象关于y轴对称， 所以－＋＝kπ＋，k∈Z，所以m＝－2kπ－，k∈Z. 由于m>0，所以当k＝－1时，m＝. 对点练3．已知函数f＝2sin (ω>0)的最小正周期为π. 解：由题意知，知T＝＝＝π，所以ω＝1. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调区间． 解：由(1)知f＝2sin ，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g＝2sin 的图象． 得－≤x≤＋， 故函数g(x)的单调递增区间为[－，－](k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z). 由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ， 得－≤x≤－； 由＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ， 因为<，所以φ＝－，y＝3sin (t－)＋11. 解：由题设的数据可得故A＝3，b＝11，因为周期T＝12，故ω＝＝， 故y＝3sin ＋11， 因为t＝4时，y＝14，所以3sin ＋11＝14，sin (＋φ)＝1， 解：令y≥7.5＋5＝12.5，则3sin ＋11≥12.5，得sin ≥， 所以＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，即2＋12k≤t≤6＋12k， 因为t∈，所以2≤t≤6或14≤t≤18， 此时可得以x为始边OP为终边的角为t－， 所以f＝4sin ＋2，t∈. 解：由已知可得∠AOx＝， 因为盛水筒运动的角速度ω＝＝， 所以t秒后盛水筒转过的角度为t， 解：当第一筒水到达最高位置时， 是第一次取得最大值，此时t－＝，得t＝20(秒)， 相邻两个盛水筒倾倒的时间差为÷＝5(秒). 解：因为完成该稻田的浇灌需倾倒＝10 000筒水， 所以所需时间为20＋×5＝50 015秒，约为13.9小时． 因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin (3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， (2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ωx＋)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为 A．－ B．－ C．0 D． 由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝ －sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－.故选A． 对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC． (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f的两个交点，若＝，则f＝________． － 设A，B，由＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－＝π－＝，即ω＝，所以ω＝4.因为f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－π＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin ＝sin ，所以f＝sin 或f＝－sin ，又因为f<0，所以f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝－. 3．平面直角坐标系中，角α的终边经过点P，则sin ＝ A． B． C．－ D．－ 因为角α的终边经过点P，所以cos α＝＝，所以sin (－α)＝sin(1 012π＋－α)＝sin ＝cos α＝.故选A． 当tan α＝tan β时，一定有α＝kπ＋β，k∈Z，即必要性满足；当α＝，β＝时，其正切值不存在，所以不满足充分性，所以“α＝kπ＋β，k∈Z”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件．故选B． 5．已知函数f＝2cos ，x∈，则f的单调递增区间是 A． B． C．， D．， f＝2cos 可化为f＝2cos (3x－)，故单调增区间满足2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，－≤x≤，令k＝1，π≤x≤π，因为x∈，所以f(x)的单调递增区间是[－，]，.故选D． 7．如图所示，直线y＝1与函数f＝A sin (A>0，ω>0，<)的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且＝π，＝2π，则f＝ A．2sin B．2sin C．sin D．sin 因为＝π，＝2π，所以相邻两对称轴间的距离＋π＝，即周期T＝3π，所以ω＝＝，排除BD，当x＝0时，代入f(x)＝2sin (x＋)，可得f(0)＝>1，满足题意，代入f(x)＝sin ，可得f(0)＝×＝1，不符合题意，故A正确，C错误．故选A． 8．已知函数f(x)＝sin (2x－)，则下列结论中正确的是 A．函数f(x)的最小正周期T＝2π B．函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 对于A，函数f(x)＝sin (2x－)的最小正周期T＝＝π，故A错误；对于B，由f()＝sin (2×－)＝1≠0，得函数f(x)的图象不关于点(，0)对称，故B错误；对于C，由f()＝sin (2×－)＝0≠±1，得函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；对于D，当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，而正弦函数y＝sin x在[－，]上单调递增，因此函数f(x)在区间[0，]上单调递增，故D正确．故选D． 9．下列各式中正确的是 A．tan <tan B．tan 2<tan 3 C．cos >cos D．sin <sin 对于A，tan ＝tan (－π)＝tan (－)，因为正切函数y＝tan x在(－，)上为增函数，且－<－<<，所以tan (－)<tan ，即tan <tan ，故A正确；对于B，由于正切函数y＝tan x在(，)上为增函数，且<2<3<，所以tan 2<tan 3，故B正确； 对于C，cos (－)＝cos ＝cos ，cos (－)＝cos ＝cos ，因为余弦函数y＝cos x在(0，π)为减函数，0<<<π，所以cos >cos ，即cos (－)>cos (－)，故C正确；对于D，由于正弦函数y＝sin x在(－，)上为增函数，且－<－<－<，所以sin (－)>sin (－)，故D错误．故选ABC． 10．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，f图象经过点和点(－，0)，且f在区间(，)上单调，则下列结论正确的是 A．ω＝1 B．f＝－2 C．φ＝ D．f＋f＝0 由图可知，fmin＝－A＝－2，可得A＝2，所以f＝2sin .又因为f＝2sin φ＝1，则sin φ＝，函数f在x＝0附近单调递减，|φ|<π，所以φ＝，则f＝2sin (ωx＋)(ω>0)，因为函数f的图象过点，则－ω＋＝nπ，可得ω＝5－6n(n∈Z)，因为函数f在区间上单调，则－≤，所以0<ω≤6，即0<5－6n≤6，解得－≤n<，因为n∈Z，则n＝0，ω＝5，所以f＝2sin . 当<x<时，<5x＋<，此时函数f在区间上单调递减，符合题意，故A错误，C错误；f＝2sin ＝2sin ＝－2，故B正确；f＝2sin 5π＝0，所以函数f的图象关于点对称，所以f(x＋)＋f＝0，故D正确．故选BD． 11．已知函数f＝sin (ωx＋)(ω>0)，则下列说法中正确的是 A．若x＝－和x＝为函数f图象的两条相邻的对称轴，则ω＝2 B．若ω＝，则函数f在上的值域为(，) C．将函数f的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，若g为奇函数，则ω的最小值为5 D．若函数f在(0，π)上恰有一个零点，则<ω≤ 对于A，若x＝－和x＝为函数f图象的两条相邻的对称轴，则函数f的最小正周期为T＝2×(＋)＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋)，此时f＝sin ＝1，符合题意，故A正确；对于B，若ω＝，则f＝sin (＋)，当0<x<π时，则<＋<，所以f＝sin (＋)∈(，1]，故当ω＝时，函数f在(0，π)上的值域为(，1]，故B错误； 对于C，将函数f的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，则g＝sin [ω(x＋)＋]＝sin (ωx＋)为奇函数，所以＝kπ(k∈Z)，解得ω＝6k－1(k∈Z)，因为ω>0，当k＝1时，ω取最小值5，故C正确；对于D，因为ω>0，当0<x<π时，<ωx＋<πω＋，因为函数f在(0，π)上恰有一个零点，则π<πω＋≤2π，解得<ω≤，故D正确．故选ACD． 由题意知，tan x≥－1，则解集为{x≤x<kπ＋，k∈Z}． 13．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为__________． 如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝， S扇＝a2·＝，所以＝. 14．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向左平移个单位长度，可得到g的图象．若方程g(x)＝m在[－，0]上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___________． 由f的图象得A＝1，由图可知点(，1)，(，－)在f的图象上，则sin (ω×＋φ)＝1，sin (ω×＋φ)＝－，所以ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f＝sin (x＋).将函数f图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin (2x＋)的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，可得到g＝2sin (2x＋)的图象，作出g的部分图象如图所示， 根据g的图象可知，当－2<m≤－时，直线y＝m与函数g在[－，0]上的图象有两个交点，即方程g＝m在[－，0]上有两个不相等的实数根． 因为90°＜α＜180°，所以x＜0，因此x＝－. 故r＝2，sin α＝＝， tan α＝＝－. 15．(13分)(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求sin α与tan α的值；(5分) 解：因为r＝，所以cos α＝， 从而x＝，解得x＝0或x＝±. 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－. 解：因为θ的终边过点(x，－1)，所以tan θ＝－， 又tan θ＝－x，所以－x＝－，即x2＝1， 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝； 16．(15分)已知函数y＝sin ，其中α为三角形的内角且满足cos α＝. 解：α为三角形的内角，可得α∈，又cos α＝得α＝. (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数y＝sin 在长度为一个周期的闭区间上的简图．(图中x轴上每格的长度为，y轴上每格的长度为1)(9分) x＋ 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 17．(15分)设函数f＝2sin ωx＋m(ω>0，m∈R)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数f唯一确定． 条件①：f＝1；条件②：f的最小值为0； 条件③：f的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 由f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f的周期T＝＝2×，解得ω＝2，所以ω＝2，m＝1. 由f的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f的周期T＝＝2×，解得ω＝2，所以ω＝2，m＝2. 选②③，由(1)知f＝2sin 2x＋2，g(x)＝f(x－)＝2sin (2x－)＋2， 由x∈，得2x－∈，则当2x－＝，即x＝时，g在区间上取得最大值g()＝4. (2)设函数g＝f(x－)，求g在区间[0，]上的最大值．(9分) 解：选①③，由(1)知f＝2sin 2x＋1，g(x)＝f(x－)＝2sin (2x－)＋1， 由x∈，得2x－∈，则当2x－＝，即x＝时，g在区间上取得最大值g()＝3. 40 又f＝40＝40， 即40＝40，解得k＝3. 所以f＝40，x∈. 解：因为A和k是正整数，由②可知40(A＋k)－40＝160，解得A＝2. 由③可得＝8－2＝6，则T＝＝12，且ω>0，解得ω＝. 所以f＝40， 解：令f＝40>160，则cos (x＋4)>， 因为x∈，则∈， 可得<<，解得6<x<10， 将A代入，得2×＋φ＝－π＋2kπ，解得φ＝－＋2kπ， 又<，故φ＝－. 19．(17分)如图为函数f＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，<)的部分图象，且＝，A(－，－2). (1)求ω，φ的值；(7分) 解：根据题意得，＝，所以T＝π，ω＝＝2， 故f＝2cos . (2)将f的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，讨论函数y＝g－a在区间的零点个数．(10分) 解：由题意知，g＝2cos ＝2cos . 函数y＝g－a在区间的零点个数即为函数g的图象与直线y＝a在上的交点个数． 作出函数g在[－π，]上的大致图象如图所示． 当x∈时，x－∈，结合余弦函数图象可知， 当x∈时，g单调递减，当x∈时，g单调递增， 且g＝－1，g＝1，g＝－2， $$