16 重点题型强化(一) 三角函数中的参数的范围、最值问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

重点题型强化(一)　三角函数中的参数的范围、最值问题 　 第一章 三角函数 知识目标 1．会解决形如f(x)＝A sin (ωx＋φ)型的最值问题．　 2．会解决转化为二次函数型的最值问题．　 3．会解决与最值有关的参数问题． 素养目标 通过三角函数中最值问题或求参数的范围问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养． 题型一　形如f(x)＝A sin (ωx＋φ)的值域(最值) 1 题型二　转化为sin x(cos x)的二次函数型求最值 2 题型四　与最值有关的参数问题 4 内容索引 随堂演练 5 题型三　形如 的最值 3 题型一　形如f(x)＝A sin (ωx＋φ)的值域(最值) 返回 例1 (1)求f(x)的单调递增区间； 规律方法 形如f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x在特定范围内的值域，通常将ωx＋φ看作一个整体，然后类比y＝sin x的单调性求解．　　 √ 返回 √ 题型二　转化为sin x(cos x)的二次函数型求最值 返回 例2 (1)求sin x的值域； (2)求y＝sin 2x＋2sin x＋2的值域． 所以y＝sin 2x＋2sin x＋2＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1， 规律方法 形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的函数，首先设t＝sin x，化为二次函数y＝at2＋bt＋c在闭区间t∈[－1，1]上的最值求解．　　 所以原函数可化为g(t)＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4， 返回 题型三　形如 的最值 返回 例3 A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞) C．(－∞，－2)∪[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，＋∞) √ 规律方法 根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于sin x或cos x的函数求解时应注意sin x或cos x的范围．　　 √ 返回 题型四　与最值有关的参数问题 返回 例4 √ 规律方法 已知最值在求参数范围时，要注意结合三角函数的性质的应用，如单调性和图象的变换等．　　 √ 课堂小结 返回 知识 1．形如f(x)＝A sin (ωx＋φ)型的最值问题. 2．转化为二次函数型的最值问题． 3．解决与最值有关的参数问题 方法 换元法、分类讨论 易错误区 易忽视sin x(cos x)的范围或给定区间时的sin x(cos x)的范围 随堂演练 返回 √ A．－4 B．4 C．－3 D．3 √ √ 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 y＝与y＝ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 已知函数f(x)＝sin ＋1. 解：因为f(x)＝sin ＋1， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1＋1＝2. 即f(x)max＝2，此时x＝；f(x)min＝，此时x＝－. (2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x的值． 解：当x∈时，则－≤2x＋≤， 故当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－＋1＝； 对点练1．(1)函数y＝cos ，x∈的值域是 A． B． C． D． 因为x∈，所以x＋∈，因为函数t＝cos x在上单调递增，在上单调递减，又cos ＝，cos 0＝1，cos ＝，所以cos ∈，即y∈.故选A． (2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 A．2－ B．0 C．2 D．2＋ 因为0≤x≤9，所以0≤x≤，所以－≤x－≤，由y＝sin x的图象与性质知，当x－＝－时，有最小值为2sin ＝－，当x－＝时，有最大值为2sin ＝2，所以最大值与最小值之差为2＋.故选D． 所以y＝sin x，x∈的值域为. 已知x∈. 解：由题意可知y＝sin x在x∈单调递增，在x∈单调递减， 所以当x＝－时，y＝sin x取最小值－，当x＝时，y＝sin x取最大值1， 故所求函数的值域为. 解：令sin x＝t，由(1)知t∈， 由二次函数的性质可知，当t∈时，函数y＝(t＋1)2＋1单调递增， 所以当t＝－时，y取最小值，当t＝1时，y取最大值5， 当t＝1时，即x＝时，可得g(t)min＝g(1)＝4，即fmin＝4； 当t＝－时，即x＝－时，g(t)max＝g(－)＝3＋2＋5＝8＋2，即f(x)max＝8＋2， 所以函数f的值域为 [4，8＋2]. 对点练2．求函数f＝tan 2x－2tan x＋5，x∈[－，]的值域． 解：由x∈[－，]，可得tan x∈[－，]， 令t＝tan x，则t∈[－，]， y＝ 与y＝ (一题多解)函数f(x)＝的值域为 法一：f(x)＝＝－＋，因为－1≤sin x≤1，所以－1≤3sin x＋2≤5，又3sin x＋2≠0， 所以≤－或≥，所以－＋≤－2或－＋≥0，故f(x)＝的值域为(－∞，－2]∪[0，＋∞).故选B． 法二：由y＝，得sin x＝1－2y，易知y≠－，所以sin x＝，则≤1，解得y≥0或y≤－2，故f(x)＝的值域为(－∞，－2]∪[0，＋∞).故选B． 求形如y＝与y＝的最值的方法 对点练3．函数y＝的值域是 A． B． C． D． 令cos x＝t，t∈∪，y＝＝＝＋·，可得2t－1∈∪，∈∪[1，＋∞)，·∈∪，故y∈∪.故选B． (1)已知f(x)＝sin (2x－φ)在上是增函数，且f(x)在上有最小值，则φ的取值范围是 A． B． C． D． 由x∈，得2x－φ∈，又由0<φ<，且f(x)在上是增函数，可得－φ≤，所以≤φ<.当x∈时，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ>，则φ<.综上≤φ<.故选B． (2)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是__________． 因为x∈，ω>0，所以－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥，故ω的取值范围是. 对点练4．已知函数f＝sin (ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是 A． B． C． D． 因为ω>0，所以当0<x<时，则有<ωx＋<ω＋，因为f在区间内有最大值，但无最小值，结合函数图象，得<ω＋≤，解得<ω≤.故选A． 1．函数f＝sin 在上的值域为 A． B． C． D． 由x∈，可得2x＋∈，则f＝sin ∈.故选A． 2．若函数f＝a sin ＋b的值域为，则ab＝ 因为sin ∈，所以f∈，a>0.由题意得所以故ab＝4.故选B． 3．已知函数f＝－|sin x－cos x|(x∈R)，则f的值域是 A． B． C． D． 由函数f＝－|sin x－cos x|，可得f＝＝(其中k∈Z)，当x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)时，f∈.当x∈(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)时，f∈，故f的值域为.故选C． 4．设函数f(x)＝cos (ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为_______． 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝. $$