14 7.3 正切函数的图象与性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

7.3　正切函数的图象与性质 　 第一章 §7　正切函数 知识目标 1．能画出y＝tan x 的图象．　 2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间 内的单调性．　 3．能利用正切函数的图象与性质解决简单问题． 素养目标 通过正切函数图象的学习，培养学生数学抽象素养；通过正切函数图象和性质的应用，培养学生数学运算与逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的图象 1 知识点二　正切函数的性质 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　正切函数的图象 返回 问题导思 问题1．类比画正弦函数图象的方法，你能画出函数y＝tan x在 的图象吗？你能画出函数y＝tan x的图象吗？ (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示). 新知构建 正切函数的图象 1．正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为 ________________． 2．正切函数的图象： 微思考 　观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x>0； 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： 例1 (2)tan x＝0； 解：x＝kπ，k∈Z为函数图象的零点，即tan x＝0， 所以tan x＝0的解集为{x|x＝kπ，k∈Z}． (3)tan x<0. 规律方法 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1．作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． 2．性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案．　　 对点练1．(1)如图所示的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是 A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ √ √ 返回 知识点二　正切函数的性质 返回 问题导思 问题2．我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题． (1)正切函数是否存在单调递减区间？ 提示：不存在单调递减区间．正切函数在每一个开区间 (k∈Z)上都单调递增． (2)正切函数是否存在对称轴？ 提示：不存在对称轴． (3)正切函数是否存在对称中心，若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上． 新知构建 正切函数的性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 __________________________ 值域 R 函数 y＝tan x 周期性 最小正周期是___ 奇偶性 ___函数 单调性 在每一个区间_______________________上单调递增 对称性 ________________ π 奇 微思考 正切函数在定义域内是增函数吗？正切函数是否有最大值、最小值呢？ 提示：不能说正切函数在整个定义域内单调递增，只能说成正切函数在每一个区间 上单调递增，正切函数的图象向上、向下无限伸展没有最大值、最小值． (链教材P62例4)设函数 ，作出函数f(x)在一个周期内的简图并求函数f(x)的最小正周期、对称中心和单调区间． 解：函数在一个周期内的函数图象为(画法略)： 例2 规律方法 解答正切函数图象与性质问题的注意点 1．对称性：正切函数图象的对称中心是 (k∈Z)，不存在对称轴． 2．单调性：正切函数在每一个区间 上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． 3．在判断函数f(x)＝tan (ωx＋φ) (ω<0)的单调性或求单调区间时，要注意首先利用诱导公式把x的系数化为正数．　　 对点练2．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性． 解：由y＝|tan x|得， 其图象如图． 值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 返回 综合应用 返回 例3 正切函数性质的综合应用 所以f(x)＝tan (2x＋φ)， (2)求函数f(x)的定义域、单调区间； (3)求不等式 的解集． 规律方法 正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到变换后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式求解．　　 对点练3．(1)(多选)下列结论正确的是 √ √ 返回 课堂小结 知识 1．正切函数的图象与性质. 2．正切函数的性质的应用 方法 整体代换法、转化法 易错误区 随堂演练 返回 1．函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是 √ √ √ < 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在区间[0，π]内，函数y＝sin x与y＝tan x的图象交点的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(开放题)函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，则实数a的一个取值可以为______________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(一题多问)已知函数f(x)＝ . (1)求函数f(x)的定义域；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)用定义判断函数f(x)的奇偶性；(3分) 解：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称， 所以f(x)是奇函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)在[－π，π]上作出函数f(x)的图象．(4分) 所以f(x)在[－π，π]上的图象如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又函数f(x)的图象过点(0，－3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以可得b－a至少包含2 023个周期， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 又b－a的最小值不小于2 025， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 提示：(1)选取长度为一个周期的连续区间(－，). (2)列表： x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 (3)描点：用光滑曲线连接得到y＝tan x，x∈的图象． x＝＋kπ(k∈Z) 正切函数的图象为什么不是连续的？各支的渐近线为什么是x＝＋kπ(k∈Z)? 提示：正切函数的定义域为{x∈R，k∈Z}．且周期为π，所以它的图象不连续，且各支的渐近线为x＝＋kπ(k∈Z). 当kπ<x<＋kπ，k∈Z时，图象位于x轴上方，即tan x>0， 所以tan x>0的解集为{x＋kπ，k∈Z}． 解：当－＋kπ<x<kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x<0， 所以tan x<0的解集为{x＋kπ<x<kπ，k∈Z}． y＝|tan x|≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，易知y＝tan x在内的图象为图象b，即b对应②，故排除B，C选项．y＝tan (－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故排除A选项．故选D． (2)函数y＝－tan x－sin x在区间[，]内的图象是 当x∈(，π]时y＝－tan x－sin x＝sin x－tan x－tan x－sin x＝－2tan x，此时函数为减函数，且y≥0，可排除C、D；当x∈时，y＝|tan x－sin x|－tan x－sin x＝tan x－sin x－tan x－sin x＝－2sin x，此时函数为增函数，且0<y<2，可排除A．故选B． ，k∈Z (k∈Z) (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) f(x)＝tan (－) 解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数f＝tan 的单调增区间为(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z. f＝tan 的最小正周期为T＝＝2π. 令－＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z， 故对称中心为(k∈Z). 由kπ－<－<kπ＋，k∈Z， (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) y＝ 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为{x＋kπ，k∈Z}， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z， 单调递减区间为，k∈Z. (一题多问)设函数f＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知f的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f的解析式； 解：因为函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，即T＝，所以ω＝2， 因为图象关于点M 对称， 所以－2×＋φ＝，k∈Z， 因为0<φ<，所以φ＝， 则f(x)＝tan (2x＋). 所以函数f(x)的单调递增区间为(－，＋)，k∈Z，无单调递减区间． 解：由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 由kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z， 得－<x<＋，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集为{x＋≤x≤＋，k∈Z}． －1≤f≤ 解：由(1)知，f(x)＝tan . 由－1≤tan (2x＋)≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， A．tan>tan B．tan>tan C．tan>tan D．tan>tan 对于A，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan>tan，故A正确；对于B，tan<0<tan，故B不正确； 对于C，tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan.又0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan，故C不正确；对于D，tan＝tan(－＋4π)＝tan，tan＝tan(－＋3π)＝tan.又－<－<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan>tan，即tan>tan，故D正确．故选AD． (2)函数y＝3tan 的单调递减区间为________________________． ，k∈Z y＝3tan 可化为y＝－3tan (x－)，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的单调递减区间为，k∈Z. 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z) 由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在(－，)上单调递增，图象为A． 2．函数f＝tan 的定义域是 A． B．R C． D． 由于正切函数y＝tan x的定义域为{x，k∈Z}，故对于函数f＝tan (3x－)，令3x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，故f＝tan 的定义域是{x＋，k∈Z}．故选D． 3．函数y＝－2＋tan 的单调递增区间是 A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.故选A． 4．比较大小：tan ________tan . 根据三角函数的诱导公式，可得tan＝tan(3π＋)＝tan，tan＝tan＝tan，因为0<<<，且函数y＝tan x在上为单调递增函数，所以tan<tan，所以tan<tan. 1．函数y＝2tan 的最小正周期是 A． B． C． D．π 函数y＝2tan 的最小正周期是.故选B． 2．与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是 A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 由2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，所以与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是x＝.故选B． 3．函数y＝tan 的单调区间是 A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 因为y＝tan ＝－tan ，令kπ－<3x－<kπ＋，k∈Z，解得－<x<＋，k∈Z，所以函数y＝tan 的单调递减区间为(k∈Z).故选D． 当x＝0时，sin x＝tan x＝0，故x＝0是函数y＝sin x与y＝tan x的一个交点；当x∈时，则tan x－sin x＝sin x，因为sin x>0，0<cos x<1，所以>1，则－1>0，即tan x－sin x>0，所以tan x>sin x，此时函数y＝sin x与y＝tan x无交点；当x∈时，tan x<0，sin x>0，所以tan x<sin x，此时函数y＝sin x与y＝tan x无交点；当x＝π时sin x＝tan x＝0；故x＝π是函数y＝sin x与y＝tan x的一个交点．综上可得函数y＝sin x与y＝tan x的图象在内有且仅有2个交点．故选C． 5．(多选)已知函数f＝tan ，则下列结论不正确的有 A．f＝1 B．f的最小正周期为π C．不是f的对称中心 D．f在上单调递增 因为f＝tan ，所以f＝tan ＝1，故A正确；因为f＝tan ，所以f的最小正周期为＝π，故B正确；当x＝时，x＋＝，因为是正切函数y＝tan x的对称中心，故C不正确；当x∈时，x＋∈(，)，y＝tan x在不是单调递增的，故D不正确．故选CD． (答案不唯一) 因为正切函数y＝tan x的单调递增区间为，k∈Z，又函数y＝tan x在区间(0，a)上为增函数，所以0<a≤. 7．若x∈∪，则不等式tan x≥－1的解集为________________． ∪ 当x∈时，tan x≥0>－1；当x∈(，π)时，因为tan ＝－1且y＝tan x在上单调递增，所以x∈；综上所述，tan x≥－1的解集为∪. 8．函数y＝2tan x＋a在x∈[，]上的最大值为4，则实数a的值为________． 4－2 函数y＝2tan x＋a在上单调递增，则当x＝时，ymax＝2tan ＋a＝a＋2，因此a＋2＝4，解得a＝4－2，所以实数a的值为4－2. 解：由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域是{x，k∈Z}． 因为f(－x)＝＝＝－f(x)， 解：因为f(x)＝ 10．已知函数f＝A tan ， y＝f的部分图象如图所示，则 f＝ A．2＋ B． C．－ D．－ 由图象可知，－＝＝，所以T＝.由T＝＝，可得ω＝2，所以f＝A tan (2x＋φ).又f＝0，所以A tan ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z.因为<，所以φ＝，f＝A tan .又f(0)＝1，所以A tan ＝A＝1，所以A＝1，所以f＝tan ，所以f＝tan (2×＋)＝tan ＝tan (π－)＝－.故选C． 11．(多选)已知函数f(x)＝tan ＋6(ω>0)的最小正周期为，则下列结论正确的是 A．ω＝6 B．f(x)的图象经过点 C．f(x)的定义域为 D．不等式f(x)>9的解集为，k∈Z 由正切函数的周期T＝＝，解得ω＝3，故A错误；因为f＝tan ＋6＝5，所以f(x)的图象经过点，故B正确；令3x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，即f(x)的定义域为，故C正确；令tan ＋6>9，则tan >，所以＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，得<x<＋，k∈Z，即不等式f(x)>9的解集为，k∈Z，故D正确．故选BCD． 12．(多选)下列关于函数y＝的说法正确的是 A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期是 D．图象关于直线x＝对称 函数y＝，定义域满足2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数定义域为{x＋，k∈Z}，故A正确；当x∈(－，)，则2x＋∈，所以函数y＝tan 在区间上单调递增，则函数y＝在区间上先减后增，故B不正确； 函数y＝tan 的最小正周期T＝，所以函数y＝的最小正周期是，故C正确；函数y＝的对称轴满足2x＋＝，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，则函数y＝图象关于直线x＝对称，故D正确．故选ACD． 13．(13分)已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3). (1)求f(x)的解析式；(6分) 解：由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝， 因为ω>0，所以ω＝，得f(x)＝A tan ，它的图象过点， 所以A tan ＝0，即tan ＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝A tan ， 所以A tan ＝－3，得A＝3. 所以f(x)＝3tan . (2)求满足f(x)≥的x的取值范围．(7分) 解：因为3tan ≥，所以tan (x－)≥，得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是[＋，＋)，k∈Z. 14．(5分)(多选)已知函数f＝tan (3x＋φ)(0<φ<)，则下列结论正确的是 A．若φ＝1，则f<f B．把f的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝tan 的图象 C．若f＝f，则x1－x2是的整数倍 D．若f在上单调递增，则φ∈ 当φ＝1时，f＝tan 4＝tan ，f(2)＝tan 7，因为2π<7<4＋π<，y＝tan x在上单调递增，所以tan 7<tan ＝tan 4，所以f<f，故A错误；f的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝tan 的图象，故B正确；若f＝f，则x1－x2是最小正周期的整数倍，又f＝tan 的最小正周期T＝，故C正确；当0<x<时，φ<3x＋φ<＋φ，所以当＋φ≤，即0<φ≤时，f在上单调递增，故D正确．故选BCD． 15．(17分)(一题多问)已知函数f(x)＝tan ，ω>0. (1)若ω＝2，求f的最小正周期与函数图象的对称中心；(4分) 解：由题可得f(x)＝tan ，所以函数的最小正周期为， 由2x＋＝，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 所以函数f的图象的对称中心为(－，0)(k∈Z). 所以0<ω<，故实数ω的取值范围为. (2)若f在上是增函数，求ω的取值范围；(5分) 解：因为f在上是增函数， 所以x∈⇒ωx＋∈[，ωπ＋]⊆， 所以ωπ＋<，又ω>0， (3)若方程f＝在上至少存在2 024个根，且b－a的最小值不小于2 025，求ω的取值范围．(8分) 解：因为f(x)＝⇒tan ＝⇒ωx＋＝＋kπ，k∈Z， 所以x＝，k∈Z，至少存在2 024个根， 即b－a≥2 023T＝2 023·， 所以b－a的最小值为2 023·， 所以2 023·≥2 025，所以0<ω≤π， 故ω的取值范围为. $$