13 7.1 正切函数的定义&7.2 正切函数的诱导公式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

7.1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 　 第一章 §7　正切函数 知识目标 1．理解任意角的正切函数的定义．　 2．掌握正切函数诱导公式的推导及应用． 素养目标 通过正切函数概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过正切函数的定义和诱导公式的应用，提升学生数学运算和逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的定义 1 知识点二　正切函数的诱导公式 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　正切函数的定义 返回 问题导思 问题1．设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，写出sin α，cos α的值，那么 何时有意义？tan α与sin α，cos α有怎样的关系？ 新知构建 正切函数的定义：根据函数的定义，比值_______是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝_______，其中定义域为_______________________． tan x 微提醒 (1)由定义易知：当x＝kπ，k∈Z时，tan x＝0；当x在第一、三象限时，tan x>0；当x在第二、四象限时，tan x<0. (2)特殊角的正切值： (链教材P58例2)(1)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为 例1 √ 规律方法 求正切函数值的两种方法 1．先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解． 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝ .　　 √ 返回 知识点二　正切函数的诱导公式 返回 问题导思 问题2．根据正切函数定义，由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有 新知构建 正切函数的诱导公式 tan (x＋kπ)＝______(k∈Z)；tan (－x)＝________； tan (x＋π)＝_______；tan (π－x)＝_________； tan x －tan x tan x －tan x 微提醒 (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号). 例2 规律方法 1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． 2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．　　 A．2 B．－2 C．1 D．－1 √ √ √ √ 返回 综合应用 返回 例3 正切函数定义与诱导公式的综合应用 　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始 边与x轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径 为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B， OB＝2. (1)求tan α的值； 解：由题意知，Rt△AOB中，|OA|＝3，|OB|＝2， 而由图可知，∠AOB＋α＝π， 规律方法 若已知角α的终边过定点时，则首先利用任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α，然后再利用诱导公式化成最简形式，最后代入求值．　　 √ 返回 课堂小结 知识 1．正切函数的定义. 2．正切函数的诱导公式 方法 公式法、转化法 易错误区 在正切函数的诱导公式中，角α可以为使等式两边都有意义的任意角 随堂演练 返回 √ tan 585°＝tan (3×180°＋45°)＝tan 45°＝1.故选C． √ 3．(多选)下列正切函数值正确的是 √ √ √ 返回 课时测评 返回 1．在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点(－1，1)，则角α可以是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知角α终边上有一点P(5n，4n)(n≠0)，则tan (180°－α)的值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)下列各三角函数值的符号为负的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)给出下列四个结论，其中正确的是 A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．tan 420°＋tan 510°＝______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．在△ABC中，C＝90°，CD⊥AB于点D，下列比值中不等于tan A的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点A ，角β的终边落在射线y＝x(x＞0)上． (1)求sin αtan β的值；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 提示：sin α＝b，cos α＝a；当a≠0时，有意义．tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z). α 0 tan α 0 1 － －1 － A．－2 B．－ C． D．－ 利用正切函数的定义tan α＝＝－2.故选A． (2)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________． － 由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 对点练1．设α是第二象限角，P为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝ A．－2 B．－ C．－ D．－ 由题意知，cos α＝＝且x<0，解得x＝－2，所以tan α＝＝－.故选C． tan (x＋kπ)＝＝ 即tan (x＋kπ)＝tan x(x∈R，x≠kπ＋，k∈Z)，你能得到什么结论呢？类比上述方法你能得到正切函数的奇偶性吗？ 提示：正切函数是周期函数，且最小正周期为π；由tan (－x)＝＝－tan x可以得到正切函数为奇函数． 问题3．根据正切函数定义以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<α<，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系？ 提示：tan (π＋α)＝＝＝tan α，tan (＋α)＝＝＝－. tan ＝________；tan ＝________． － (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan ＝－与tan ＝中x≠kπ(k∈Z). (链教材P60例3)(1)计算：； 解：原式＝ ＝＝＝2＋. 又α为第二象限角，所以tan α＝－. 故＝＝＝＝. (2)已知α为第二象限角，且tan α－＝，求的值． 解：由tan α－＝，得4tan2α－15tanα－4＝0， 得tan α＝－或tan α＝4. 对点练2．(1)已知tan(π＋α)＋＝2，则tan (π－α)＝ 由tan(π＋α)＋＝tan α＋＝2，可得tan α＝1，于是tan (π－α)＝－tan α＝－1.故选D． (2)(多选)下列式子中，结果为－的是 A．tan B．tan(－420°) C．tan D．tan 1 110° tan ＝tan(4π－)＝tan(－)＝－tan ＝－，故A正确；tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－，故B正确；tan ＝tan＝tan ＝tan(π－)＝－tan ＝－，故C正确；tan 1 110°＝tan(6×180°＋30°)＝tan 30°＝，故D错误．故选ABC． 则|AB|＝＝，tan ∠AOB＝＝， 故tan α＝tan＝－tan ∠AOB＝－. (2)求的值． 解：因为tan α＝－，sin α＝， 故＝＝＝－. 对点练3． (1)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点，且tan ＝－3，则cos α＝ A．－ B．－ C． D． 因为角α的终边经过点，且tan (－π＋α)＝tan α＝－3，所以＝－3，解得m＝－2，所以cos α＝＝－.故选B． (2)已知角α的终边经过点，将角α的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，则tan β＝________． － 因为角α的终边经过点，所以tan α＝＝，又因为角α的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，故β＝α－，所以tan β＝tan ＝－＝－. 1．若点M在角α的终边上，则tan α＝ A． B．－ C． D．－ 因为点M在角α的终边上，所以tan α＝＝－.故选B． 2．tan 585°＝ A．－ B．－1 C．1 D． A．tan＝－ B．tan ＝－ C．tan ＝ D．tan＝ 对于A，tan ＝－tan ＝－，故A正确；对于B，tan ＝tan＝－tan ＝－，故B错误；对于C，tan ＝tan ＝tan ＝，故C正确；对于D，tan＝tan＝tan ＝，故D正确．故选ACD． 4．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则tan ＝__________． 根据题意设P，则有x2＋2＝1⇒x＝±，因为x<0，所以x＝－，即P，所以tan ＝－tan α＝＝. A． B． C． D．π 由题意tan α＝＝－1，并且点 在第二象限，所以α＝.故选C． A．－ B．－ C．± D．± 因为角α终边上有一点P(5n，4n)(n≠0)，所以tan α＝＝，所以tan (180°－α)＝－tan α＝－.故选A． 3．已知P是角－的终边上一点，则tan θ＝ A．－ B．－ C． D． 因为P是角－的终边上一点，所以cos ＝sin θ＝，sin ＝cos θ＝－，则tan θ＝＝＝＝－.故选B． A．sin 186° B．tan 505° C．tan D．cos 由诱导公式得：sin 186°＝sin ＝－sin 6°<0，故A正确；tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°＝tan ＝－tan 35°<0，故B正确；tan ＝tan ＝tan >0，故C错误；cos ＝cos ＝cos ＝cos (＋)＝－sin <0，故D正确．故选ABD． B．若cos＝(n∈Z)，则cos α＝ C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－ D．tan(kπ－α)＝－tan α，α≠kπ＋，k∈Z 由诱导公式知α∈R时，都有sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；当n＝2k(k∈Z)时，cos (nπ－α)＝cos (－α)＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos (nπ－α)＝cos ＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，故B错误；根据正切函数的诱导公式，C，D正确．故选CD． 由三角函数的诱导公式，可得tan 420°＋tan 510°＝tan ＋tan (－30°＋3×180°)＝tan 60°＋tan ＝tan 60°－tan 30°＝. 7．已知tan(π－α)＝－，则tan＝________． 因为tan(π－α)＝－tan α＝－，所以tan α＝，所以tan ＝＝2. 8．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，∠AOB＝90°，则tan ∠COB＝________． － 因为A 点的坐标为，所以tan ∠AOC＝，又因为∠AOB＝90°，所以tan ∠COB＝tan (90°＋∠AOC)＝－＝－＝－. 所以原式＝＝＝－. 9．(10分)(开放题)在①角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；②tan ＝；③3sin α＋4cos α＝0.这三个条件中任选一个， 求的值． 解：＝， 选①：由题意得，tanα＝＝－， 所以原式＝＝＝. 选②：由tan ＝＝，得tan α＝， 所以原式＝＝＝－. 选③：由3sin α＋4cos α＝0，得tan α＝－， 10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点A，则tan α＝ A． B．3 C． D．2 由题意知A，所以tan α＝＝2.故选D． 11．(多选)若角α的终边上有一点P(5，m)，且sin α＝，则tan α的值可能为 A． B．－ C． D．0 若m＝0，则tan α＝0；若m≠0，则sin α＝＝，＝13，解得m＝±12.当m＝12时，tan α＝，当m＝－12时，tan α＝－.故选ABD． A． B． C． D． 如图所示：在Rt△ABC中，tan A＝，故A不满足题意；在Rt △ACD中，tan A＝，故B不满足题意；因为∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠A＝∠BCD．所以tan A＝tan ∠BCD＝，故C不满足题意；tan A≠，故D满足题意．故选D． 所以sin αtan β＝×1＝. 解：由三角函数的定义知sin α＝， 角β的终边落在射线y＝x(x＞0)上，设射线上任意一点B(m，m)，m＞0，则tan β＝＝1， (2)求＋的值．(7分) 解：由三角函数的定义知tan α＝－，tan β＝1，sin β＝，cos β＝， 所以＋＝＋ ＝＋＝＋＝. 14．(5分)如图所示，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若sin α<cos α<tan α，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 设点P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，因为sin α<cos α<tan α，即y<x<，由图知，对于A，在第一象限，且0<x<y，不满足题意，故A错误；对于B，在第三象限，且x<y<0，不满足题意，故B错误；对于C，在第三象限，且y<x<，满足题意，故C正确；对于D，在第四象限，且y<0，x>0，<0，不满足题意，故D错误．故选C． sin α＝＝，tan α＝－. 所以cos(π－α)＋tan＝－cos α－＝－＝. (1)求cos(π－α)＋tan的值；(7分) 解： 因为角α的终边经过点P， 所以cos α＝＝－， (2)求的值．(10分) 解：由(1)知cos α＝－，sin α＝，tan α＝－， 所以＝ ＝＝＝＝－. $$