11 6.2 探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

6.2　探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 　 第一章 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 知识目标 1．结合具体实例，了解y＝sin (ωx＋φ)的实际意义，理解参数φ对函数图象的影响．　 2．掌握y＝sin x与y＝sin (x＋φ)图象间的变换关系． 素养目标 通过作函数y＝sin (x＋φ)的图象，培养学生直观想象素养；通过函数y＝sin (x＋φ)的性质及其应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 1 知识点二　φ对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 返回 问题导思 问题1．观察图中给出的函数y＝sin x，y＝sin (x－ )的图象，你能找出两图象的关系吗？两函数的周期相同吗？ 新知构建 φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点_________． 2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点______(φ>0)或______(φ<0)平移____个单位长度得到的． (－φ，0) 向左 向右 |φ| 微提醒 函数图象的左右平移只改变图象在坐标系中的位置，不改变图象的形状． 函数y＝sin 的图象可以看作是由y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？ 例1 规律方法 对于函数y＝sin x与y＝sin (x＋φ)之间的图象变换称为相位变换，它实质上是一种左右平移变换，遵循的平移变换原则是“左加右减”，不改变函数的周期．　　 √ √ 返回 知识点二　φ对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 返回 问题导思 新知构建 φ对y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的影响 1．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－ ，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点________．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点______(φ>0)或______(φ<0)平移 个单位长度得到的． 2．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称___为初相，________为相位． 向左 向右 φ ωx＋φ 微提醒 周期变换与左右平移变换的顺序对平移量的影响：若周期变换在左右平移变换之前，即y＝sin ωx→y＝sin (ωx＋φ)，则左右平移的量为 ；若左右平移变换在周期变换之前，即y＝sin x→y＝sin (x＋φ)，则平移的量为|φ|. 例2 √ √ 规律方法 1．由y＝sin x的图象得到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种方法 2．x轴上的伸缩变化即把x换成ωx，x轴上的平移即把x换成x±φ(φ>0，左“＋”右“－”).　　 √ 返回 综合应用 返回 例3 函数y＝sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 所以函数g(x)是偶函数． 规律方法 1．关于函数y＝sin (ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴． (2)若函数y＝sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z；若函数y＝sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝ ＋kπ，k∈Z.函数y＝sin (ωx＋φ)为奇(偶)函数的实质就是函数的对称中心、对称轴的特殊情况． 规律方法 2．求函数y＝sin (ωx＋φ)的单调区间的步骤 第一步：将ω化为正值； 第二步：将ωx＋φ看作一个整体，代入到相应的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间； 第三步：如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值即可．　　 对点练3．已知函数f(x)＝sin . (1)请用“五点法”列表并画出函数f(x)在[0，π]上的图象； 解：列表如下： 描点，作函数f(x)在[0，π]上的图象如下． (2)若函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间． 返回 课堂小结 知识 1．φ对y＝sin (x＋φ)和函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响. 2．函数y＝sin (ωx＋φ)的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错 误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin (ωx＋φ)的性质时，注意整体代换 随堂演练 返回 √ 2．要得到函数y＝sin (x＋1)的图象，只需要将函数y＝sin x的图象 A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 要得到函数y＝sin (x＋1)的图象，只需要将函数y＝sin x的图象向左平移1个单位长度．故选A． √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(x)＝cos x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 描点连线，可得函数图象如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求函数f(x)的单调增区间；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求函数f(x)的解析式；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求函数f(x)的解析式；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 提示：把y＝sin x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin 的图象，把y＝sin 的图象向左平移个单位即可得到y＝sin x的图象，两函数的周期相同． 解：函数y＝sin 的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的． 变式探究 (变条件)若将本例中y＝sin 改为y＝cos (x－)，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos ＝sin ＝sin (x＋)，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的． 对点练1． (多选)要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin 的图象 A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 假设将函数y＝sin 的图象平移|φ|个单位长度可得到y＝sin x的图象，则平移后的解析式为y＝sin ＝sin ，根据题意只需满足φ－＝2kπ，k∈Z即可，故k＝0时，φ＝，即向左平移个单位长度，故A符合；当k＝－1时，φ＝－，即向右平移个单位长度，故D符合．故选AD． 问题2．在同一坐标系下画出y＝sin 2x和y＝sin (2x－)的函数图象如图所示，你能由y＝sin 2x的图象得到函数y＝sin 的图象吗？ 提示：可以发现，y＝sin 2x与y＝sin 有相同的周期且形状相同，将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象． (－，0) (多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin x的图象 ①向左平移个单位；②向左平移个单位； ③将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍； ④将图象上每一点的横坐标变为原来的. A．①④ B．①③ C．④② D．④① 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，再将函数y＝sin (x＋)的图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin (2x＋)的图象，故A正确；将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 的图象，故B错误； 将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，故C正确；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin (2x＋)的图象，故D错误．故选AC． 对点练2．将函数y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos 的图象，则φ的值可以是 A． B． C． D． 函数y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数的解析式为y＝cos [2(x＋φ)]＝cos (2x＋2φ)，于是有2φ＝2kπ＋，解得φ＝kπ＋，针对四个选项中的四个角都是正角且小于π，所以令k＝0，得φ＝.故选D． 已知函数f(x)＝2sin . (1)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性； 解：g(x)＝2sin ＝2sin (＋)＝2cos ，x∈R， 因为g(－x)＝2cos ＝2cos ＝g(x)， 所以f(x)的最大值为2，最小值为. (2)求f(x)在区间上的最值． 解：f(x)＝2sin ，因为x∈时，＋∈，令＋＝，得x＝， 所以f(x)在区间上单调递增，在区间[，]上单调递减， 因为f(0)＝，f＝2，f＝， 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 所以y＝g(x)的单调增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 解：函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin ，再向右平移个单位，得到g(x)＝sin ＝sin ， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ. 1．函数y＝sin 的相位和初相分别是 A．－2x＋， B．2x－，－ C．2x＋， D．2x＋， y＝sin ＝sin＝sin ，故相位和初相分别为2x＋，.故选C． 3．函数y＝cos 的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos 2x的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 因为y＝cos ＝cos ，所以y＝cos 的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象．故选D． 4．函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin (x－)＋1的图象至少向右平移________个单位长度得到． 因为y＝sin x＋1＝sin [(x－)－＋2kπ]＋1，k∈Z，所以函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin ＋1的图象至少向右平移个单位长度得到． 1．函数y＝sin 在区间上的简图是 当x＝0时，y＝sin＝－＜0，故可排除B，D；当x＝时，y＝sin (2×－)＝sin 0＝0，故可排除C．故选A． 2．函数f(x)＝sin 的一个单调递增区间可以是 A． B． C． D． 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，即函数f(x)＝sin (x－)的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，故A，B，C错误，D正确．故选D． 3．要得到函数y＝3sin 的图象，只需将函数y＝3sin 3x的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 因为y＝3sin ＝3sin ，所以只需将函数y＝3sin 3x的图象向右平移个单位长度即可．故选D． 4．已知函数f＝cos ωx的最小正周期为π，将f的图象向右平移ω个单位长度后得到函数g的图象，则g＝ A．cos B．cos C．cos D．cos 由题意得ω＝＝2，则f＝cos 2x，将f的图象向右平移ω个单位长度后得到函数g的图象，所以g＝cos ＝cos (2x－4).故选B． 5．(多选)已知函数g＝cos ，则下列说法正确的是 A．g的最小正周期为π B．g在区间上单调递减 C．x＝－是函数g图象的一条对称轴 D．g的图象关于点对称 函数g＝cos .对于A，g的最小正周期为T＝＝＝π，故A正确；对于B，由0≤x≤，得≤2x＋≤，从而≤2x＋≤π时，即0≤x≤时，g单调递减，同理可得≤x≤时，g(x)单调递增，故B不正确；对于C，g＝cos ＝cos 0＝1，所以x＝－是函数g图象的一条对称轴，故C正确；对于D，g＝cos ＝cos ＝0，所以g的图象关于点对称，故D正确．故选ACD． 6．函数y＝sin ，x∈的单调递增区间为________． 因为x∈，所以x＋∈[－，]，因为y＝sin x在上单调递增，所以令－≤x＋≤，解得－π≤x≤. 7．把函数y＝f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是 y＝sin ，则函数f(x)的解析式为______________． 将函数y＝sin (x＋)的图象横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋＋)＝sin (x＋)＝cos x的图象，所以f(x)＝cos x. 8．已知函数f(x)＝sin ，其中x∈.若f(x)的值域是，则a的取值范围为__________． 当x∈时，2x＋∈，sin ＝－，又函数的值域为，y＝sin x在上的值域为，且在x＝时取得最大值1，所以≤2a＋≤，解得≤a≤. 9．(10分)(一题多问)已知函数f(x)＝sin . 解：因为f(x)＝sin ，取值列表： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 解：令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故f(x)的单调增区间是(k∈Z). 解：先将g(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝sin ，再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin (2x－)，即f(x)的图象． 10．(多选)为了得到函数y＝cos 的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点 A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos (x－)，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos ；函数y＝cos x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x，再向右平移个单位长度，得y＝cos ，即y＝cos (2x－).故选BC． 11．(多选)下列能得到y＝sin 的图象的变换是 A．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．将函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移3个单位长度 D．将函数y＝－cos 的图象沿x轴向右平移3个单位长度 对于A，函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得函数y＝sin (2x－2)的图象，故A正确；对于B，函数y＝sin (x－4)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得函数y＝sin 的图象，故B错误；对于C，函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移3个单位长度，得函数y＝sin [2(x＋3)－5]＝sin (2x＋1)的图象，故C错误；对于D，根据诱导公式，得函数y＝－cos ＝sin ，将其图象沿x轴向右平移3个单位长度，得函数y＝sin [2(x－3)＋4]＝sin 的图象，故D正确．故选AD． 12．(开放题)已知函数y＝g的图象由f＝sin 2x的图象平移φ个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ可以为 _____________________________________________． (答案不唯一，满足＋kπ，k∈Z即可) f＝sin 2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x＝，即x＝，点(，)关于x＝的对称点为(，)，由图象可得，通过向右平移之后，点(，)平移到(，)，故φ＝－＝. 13．(13分)将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象． 解：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin 的图象，将其横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin 的图象， 故f(x)＝sin . 故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为∪{－1，1}． 解：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 又x∈[0，3π]，所以当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时， f(x)单调递减，当x∈(，3π]时，f(x)单调递增， 且f()＝1，f()＝－1，f(0)＝， f(3π)＝－. 14．(5分)将函数f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，则f＝ A． B．－ C． D．－ 由题意可知，将函数y＝sin 的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin (4x＋)，再把函数y＝sin (4x＋)的图象向右平移个单位长度，得到f(x)＝sin [4(x－)＋]＝sin (4x－)，所以f＝sin (4×－)＝sin ＝－.故选D． 15．(17分)(开放题)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(<)，________． 请在①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；②函数y＝f的图象关于原点对称；③函数f(x)在上单调递减，在[－，]上单调递增．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选①，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 所以函数解析式为f(x)＝sin . 若选②，函数y＝f＝sin 的图象关于原点对称， 则－＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 所以函数解析式为f(x)＝sin . 若选③，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则函数f(x)在x＝－时取得最小值，则f＝sin＝－1，则2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 所以函数解析式为f(x)＝sin . (2)若将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在的值域．(10分) 所以函数g(x)在的值域为. 解：由题意可得，函数g(x)＝sin ， 因为x∈，所以x－∈， 所以x－＝－时，g(x)min＝sin＝－1； x－＝时，g(x)max＝sin＝； $$