10 6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 　 第一章 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 知识目标 1．结合具体实例，理解函数y＝sin ωx中ω对图象的影响．　 2．掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系． 素养目标 通过作函数y＝sin ωx的图象，培养学生直观想象素养；通过函数y＝sin ωx的性质及其应用，提升学生数学运算素养． 知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响 返回 问题导思 问题1．如何用“五点法”画出函数y＝sin 2x和y＝sin x一个周期上的图象？ 提示：　(1)列表，函数y＝sin 2x在一个周期上的五个关键点： 画出函数y＝sin 2x在一个周期[0，π]上的图象，如图： 新知构建 ω对y＝sin ωx的图象的影响 1．对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω .根据周期函数的定义，T＝___是函数y＝sin ωx的最小正周期．通常称周期的倒数 为 ______，记作f. 2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标______到原来的___(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的 (纵坐标不变)得到的． 频率 缩短 伸长 微提醒 (1)ω决定了函数y＝sin ωx的周期和频率，也决定了函数y＝sin ωx图象的形状．(2)ω主导横向伸缩变换，也叫周期变换． (链教材P43例1)用五点法作函数y＝sin x的简图． (1)指出这个函数的周期和函数的递增区间； 解：①列表： 例1 ②描点；③连线：用光滑曲线顺次连接，所得图象如图所示． 规律方法 五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法 对点练1．用“五点法”作出函数y＝sin x在一个周期上的图象，并指出这个函数的最小正周期、频率． 解：(1)列表： 返回 综合应用 返回 例2 一　图象上横坐标的伸缩变化问题 　(1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的 A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 √ ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变．故选B． (2)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为 √ 规律方法 由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换方法 把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 (纵坐标不变)，得函数y＝sin ωx的图象．　　 y＝sin 2x (2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得到的函数解析式为___________． 例3 二　函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 (2) 求f(x)的单调递增区间； 得4k－1≤x≤4k＋1，k∈Z， 即单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. (3)求f(x)的对称轴． 规律方法 关于函数y＝sin ωx的性质 1．最小正周期T＝ . 2．解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合三角函数的性质求解． 3．y＝sin ωx为奇函数．　　 对点练3．已知函数f(x)＝a sin 2x＋b，且f(0)＝1，f ＝2. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：因为函数f(x)＝a sin 2x＋b， (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值． 解：因为f(0)＝1，所以a sin 0＋b＝1，即b＝1. 所以f(x)＝sin 2x＋1； 此时f(x)＝sin 2x＋1取最小值－1＋1＝0； 返回 课堂小结 知识 1．ω对y＝sin ωx的图象的影响. 2．函数y＝sin ωx的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin ωx的性质时，注意整体代换 随堂演练 返回 √ 2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为 √ 3．函数y＝－sin 2x，x∈R是 A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 √ 4．将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象的函数解析式为___________． y＝sin x 返回 课时测评 返回 √ 令x＝0，则y＝0，排除C和D；令x＝π，则y＝1，排除B．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为 ，则ω＝ A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．要得到函数y＝cos 3x(x∈R)的图象，只需将函数y＝cos x(x∈R)的图象上所有点的 A．横坐标变为原来的 (纵坐标不变) B．横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变) C．纵坐标变为原来的 (横坐标不变) D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 余弦函数与正弦函数的横坐标伸缩变化的规律相同，所以只需将y＝cos x的图象上各点横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，即可得到函数y＝cos 3x的图象．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)已知函数f(x)＝sin ，则以下结论恒成立的是 A．f(－x)＝－f(x) B．f(－x)＝f(x) C．f(2π－x)＝f(x) D．f(π＋x)＝f(π－x) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [－1，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数y＝sin 2x的图象的各点的横坐标变为原来的ω倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 100x，则ω＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(多空题)函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为________________，对称中心为______________，奇偶性为_________． 奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知函数f(x)＝sin 2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)若函数y＝2sin ωx＋b(ω>0)在x＝ 时取得最大值3. (1)求ω的最小值与b的值；(6分) 因为2×1＋b＝3，所以b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当ω取最小值时，求该函数的最小值及取最小值时x的集合．(7分) 所以ymin＝2×(－1)＋1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 2x 0 π 2π x 0 π y＝sin 2x 0 1 0 －1 0 (2)列表，函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点： x 0 π 2π x 0 3π 6π y＝sin x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin x在一个周期[0，6π]上的图象，如图： 问题2．比较y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的图象，指出由y＝sin x的图象怎样变换得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象． 提示：把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，就得到y＝sin 2x的图象．把y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，就得到y＝sin x的图象． ＝ x 0 π 2π x 0 3π 6π 9π 12π y 0 1 0 －1 0 周期T＝＝12π.递增区间为[12kπ－3π，12kπ＋3π](k∈Z). (2)求函数y＝sin x在区间上的最值． 解：因为x∈，所以∈，所以函数y＝sin x在[π，2π]上单调递增， 所以函数y＝sin x的最大值为，最小值为. 1．分别令ωx＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体代换思想． 2．取ωx0＝0，得x0＝0，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加个周期，就可得到其余四个点的横坐标．　　 x 0 π 2π x 0 π y 0 1 0 －1 0 (2)描点：(0，0)，，，(π，－1)，. (3)连线：用平滑曲线顺次连接上述各点，即得函数y＝sin x在一个周期上的图象(如图). T＝＝，f＝＝. A．2 B． C．4 D． 所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，故ω＝.故选B． 对点练2．(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的解析式是__________． 所求的解析式为y＝sin (4x)＝sin 2x. y＝sin x 所求函数解析式为y＝sin (x)＝sin x. (一题多问)已知函数f(x)＝sin x. (1)试写出由函数y＝sin x得到函数f(x)＝sin x的图象的变换过程并求出其周期； 解： 由函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标都缩短为原来的，纵坐标不变，得到f(x)＝sin x的图象，且T＝＝4. 解：令2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 解：令x＝kπ＋，k∈Z，得x＝2k＋1，k∈Z，所以对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 所以T＝＝π. 即f(x)的最小值为0，此时x＝. 又f＝2，所以a sin ＋b＝2，可得a＝1. 由x∈，所以2x∈. 由正弦函数单调性可知当2x＝，即x＝时，sin 2x取最小值－1， 1．函数y＝sin的频率是 A．6 B． C．－6 D．－ 因为T＝＝6，所以f＝＝.故选B． A．2 B． C．4 D． 由题意得＝2，所以ω＝.故选B． 令y＝f(x)＝－sin 2x，则f(－x)＝－sin (－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数y＝－sin 2x为奇函数，T＝＝π.故选A． y＝sin 2x的图象y＝sin 2＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x. 1．函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是 因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 对于A，B，f(－x)＝sin ＝－sin ＝－f(x)，所以A正确，B错误；对于C，f(2π－x)＝sin＝sin＝sin ＝f(x)，所以C正确；对于D，因为f(π＋x)＝sin＝sin(＋)＝cos ，f(π－x)＝sin＝sin＝cos ，所以f(π＋x)＝f(π－x)，所以D正确．故选ACD． 5．(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列说法正确的是 A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)为偶函数 C．f(x)的图象关于对称 D．f(x)在上为增函数 因为f(x)＝sin ＝－sin＝cos 2x，所以f(x)为偶函数且T＝＝π，故A，B正确；当x＝时，f＝cos ＝0，所以f(x)关于对称，故C正确；当x∈时，2x∈[0，π]，f(x)为减函数，故D不正确．故选ABC． 6．函数y＝2sin 2x－1在上的值域为__________． 令t＝2x，因为x∈，所以t∈，所以0≤sin t≤1，所以－1≤2sin 2x－1≤1，函数的值域为[－1，1]. 由题意知＝100x，所以ω＝＝. x＝＋(k∈Z) (k∈Z) 由2x＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以y＝sin 2x的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).由2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以y＝sin 2x的对称中心为(k∈Z).因为sin (－2x)＝－sin 2x，所以函数y＝sin 2x为奇函数． 解：由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z， 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)求函数f(x)在区间上的最值．(6分) 解：令u＝2x，因为x∈， 所以－≤u≤π，所以－≤sin u≤1，f(x)max＝1，f(x)min＝－. 10．(2024·江苏南通高一统考)要得到函数f(x)＝sin 2x，x∈R的图象，只需将函数g(x)＝sin x，x∈R的图象 A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 将g(x)＝sin x在横坐标方向上缩短到原来的，纵坐标不变，即可得g(3x)＝sin (×3x)＝sin 2x，所以f(x)＝g(3x)＝sin 2x.故选D． 11．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝ A．8 B．2 C． D． 由于函数f(x)＝sin ωx的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可得，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.故选C． 12．(新角度)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)满足f＝f，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 由题意及正弦函数的图象与性质，可得函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的最小正周期为－＝，即T＝＝，可得ω＝4.故选D． 由于k∈Z，ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝. 解：由题意得ω＝2kπ＋，k∈Z， 所以ω＝6k＋. 解：由(1)可知y＝2sinx＋1， 令x＝2kπ－，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z， 所以y取最小值时x的集合为{x－，k∈Z}． 14．(5分)(多选)已知函数f(x)＝cos ωx的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值可能是 A． B．4 C． D． 由于f(x)关于点对称，所以f＝cos ω＝0，ω＝kπ＋，ω＝，k∈Z　①.由于ω>0，且f(x)在区间上是单调函数，所以f(x)在上单调递减，0≤x≤，0≤ωx≤，所以0<≤π，0<ω≤8　②.由①②得0<≤8，－<k≤，k∈Z，所以k＝0或k＝1或k＝2，所以ω＝或ω＝4或ω＝.故选ABC． 因此>，解得ω>5， 故ω的取值范围为. 15．(17分)已知函数f(x)＝sin ωx. (1)若至少存在两个x0∈，使得f＝1，求ω的取值范围；(7分) 解：由题意知，f(x)的图象在上至少有两个最高点． 因为x0∈，ω>0，所以ωx0∈， 当m∈时，ωm∈， (2)若f(x)在上单调递增，且存在m∈，使得f<0，求ω的取值集合．(10分) 解：依题意得－π≤×，又ω>0， 所以0<ω≤. 当k≤0或k≥2时，∩＝∅. 当k＝1时，≤ω<2，又0<ω≤，则ω＝. 故ω的取值集合为. 又∃m∈，f<0， 所以2kπ－≤ωπ<2kπ， 即2k－≤ω<2k. $$