9 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 　 第一章 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 知识目标 1．能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象．　 2．了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　 3．借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 素养目标 通过作余弦函数的图象，培养学生直观想象素养；通过余弦函数性质的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　余弦函数的图象 1 知识点二　余弦函数性质的再认识 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　余弦函数的图象 返回 问题导思 问题1．类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象． 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y＝cos x的图象(如图). 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图). 问题2．类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 新知构建 1．余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． 2．要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1)，________，(π，－1)， ，________五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象． 3．根据诱导公式sin ＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向___平移___个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). (2π，1) 左 (链教材P35例4)作出函数y＝ －2cos x，x∈[0，2π]的大致图象，并分别写出使y>0和y<0的x的取值范围． 解：按五个关键点列表如下： 例1 连线，用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，就作出了函数大致图象，如图所示： 规律方法 “五点(画图)法”画余弦函数图象的三个步骤 对点练1．用“五点(画图)法”画出函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图． 描点，连线，如图所示． 返回 知识点二　余弦函数性质的再认识 返回 问题导思 问题3．由cos (－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴．观察余弦曲线，探究下面的问题． (1)除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ 提示：y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z). (2)余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示：余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为 (k∈Z). 新知构建 余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，____为最小正周期 2π 函数 y＝cos x，x∈R 单调性 在区间____________________上单调递增； 在区间____________________上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝____________时，ymax＝1； 当x＝_______________时，ymin＝－1. 值域是___________ 奇偶性 ___函数，图象关于_____对称 对称性 对称轴：x＝___________ 对称中心：(kπ＋ ，0)，k∈Z [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ，k∈Z 2kπ＋π，k∈Z [－1，1] 偶 y轴 kπ，k∈Z 微提醒 同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点．注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心． 例2 (2)求下列函数的值域： ①y＝－cos2x＋cosx； 因为－1≤cos x≤1， 因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3， 规律方法 求值域或最大值、最小值问题的依据 1．cos x的有界性． 2．cos x的单调性． 3．化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． 4．通过换元转化为二次函数．　　 √ √ 返回 综合应用 返回 例3-1 余弦函数单调性的应用 　函数y＝3－2cos x的单调递增区间为____________________． [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 例3-2 变式探究 (变条件)本例3­-1改为函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为____________________． [－4，－π]，[0，π] y＝3－2cos (－x)＝3－2cos x，y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，得y＝3－2cos (－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z).由[－4，4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]，得函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π]. 规律方法 用余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化为同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．　　 对点练3．(1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为 A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a √ 由题意得sin 47°＝sin(90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在[0°，90°]上单调递减，且0°＜37°＜43°＜47°＜90°，所以cos 37°>cos 43°>cos 47°，即b>a>c．故选C． √ 返回 课堂小结 知识 1．余弦函数的图象以及五点(画图)法的应用. 2．余弦函数的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法 易错 误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视cos x本身具有的范围 随堂演练 返回 1．函数f(x)＝cos x的最小正周期是 A．π B．2π C．3π D．4π 因为cos (x＋2π)＝cos x，所以f(x)＝cos x的最小正周期为2π.故选B． √ √ √ 4．比较大小： (1)cos 15°________cos 35°； >　 因为0°<15°<35°<90°，且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减，所以cos 15°>cos 35°. < 返回 课时测评 返回 因为－1≤cos x≤1，－2≤－2cos x≤2，所以1≤y≤5.故选A． 1．函数y＝－2cos x＋3的值域为 A．[1，5] B．[－5，1] C．[－1，5] D．[－3，1] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)下列不等式成立的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．在x∈(0，2π)上，满足cos x>sin x的x的取值范围是________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(开放题)写出一个同时满足下列条件①②③的函数 f(x)＝___________________． ①f(x)为偶函数；②f(x)的最大值为2；③f(x)不是二次函数． 由①知：f(－x)＝f(x)，又f(x)max＝2，f(x)不是二次函数，所以满足条件①②③的一个函数为f(x)＝2cos x．(答案不唯一). 2cos x(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)画出函数的图象；(3分) 函数图象如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3分) 解：由图象知这个函数是周期函数， (3)求出这个函数的单调递增区间．(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都单调递减，那么区间I可以是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)作出该函数的图象；(3分) 解：作出函数f(x)的图象如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若a∈R，讨论方程f(x)＝a的解的个数．(6分) 解：方程f(x)＝a的解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数， 则由(1)中函数图象可得，当a>1或a<－1时，解的个数为0；当－1≤a<0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a<1时，解的个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新角度)已知a>0，设函数y＝cos x在区间[a，2a]上的最大值为s，在区间[2a，3a]上的最大值为t，当a变化时，下列情况不可能发生的是 A．s>0，t>0 B．s>0，t<0 C．s<0，t>0 D．s<0，t<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知函数f(x)＝cos 2x－3cos x＋2，x∈R. (1)求函数f(x)的零点；(7分) 解：因为f(x)＝cos 2x－3cos x＋2， 即cos x＝1或cos x＝2(无解舍去)， 所以x＝2kπ(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π列表(如表). x 0 π 2π y＝cos x 1 0 － － －1 － － 0 1 提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). (，0) x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝－2cos x －2 ＋2 －2 描点，在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－2)，，(π，＋2)，，(2π，－2). 令y＝0，即－2cos x＝0，所以cos x＝.又x∈[0，2π]，所以x＝或， 结合图象可知：当x∈时，y>0；当x∈∪时，y<0. 解：因为x∈[0，2π]，所以令x＝0，，π，，2π，按五个关键点列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x＋1 3 1 －1 1 3 　(1)求f(x)＝的定义域； 解：要使函数有意义，则2cos x－1≥0，所以cos x≥，所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 解：y＝－＋. 所以当cos x＝时，ymax＝；当cos x＝－1时，ymin＝－2. 所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域为[－2，]. 所以≤－1≤3，即≤y≤3. 所以函数y＝的值域为[，3]. ②y＝. 解：y＝＝－1. 所以≤≤1，所以≤≤4， 对点练2．(1)函数y＝lg 的定义域为 A． B． C． D． 由题知cos x－>0，即cos x>，解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的定义域为{x<x<2kπ＋，k∈Z}．故选B． (2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是 A．4 B．4－2 C．6 D．4＋2 因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.故选C． 因为π<<<2π，y＝cos x在[π，2π]上单调递增， 所以cos <cos ，即cos<cos. 比较cos与cos的大小． 解：cos＝cos＝cos ， cos＝cos＝cos ， (2)函数y＝2cos x，当x∈时， A．在区间上单调递增，在区间[－，]上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间[，π]上单调递减 C．在区间[0，π]上单调递增，在区间[－，0]，[π，]上单调递减 D．在区间[－，0]，[π，]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减 函数y＝2cos x在上单调递增，在[0，π]上单调递减，在[π，]上单调递增，故D正确；对于A，由[，π]⊆[0，π]，得y＝2cos x在[，π]上单调递减，故A错误；对于B，函数y＝2cos x在[－，]上不单调，故B错误；对于C，函数y＝2cos x在[0，π]上单调递减，故C错误．故选D． 2．已知函数y＝cos x(x∈)的图象如图所示，则它的单调递减区间是 A． B． C． D． 观察图象知，函数y＝cos x在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，所以函数y＝cos x(x∈)的单调递减区间是.故选A． 3．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于 A． B．－ C．－ D．－2 因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－－＝－2.故选D． (2)cos________cos. 因为－<－<－<0，且y＝cos x在[－，0]上单调递增，所以cos<cos. 2．关于函数f(x)＝sin ，x∈R，下列结论正确的是 A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 f(x)＝sin ＝cos x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．B正确，A，C，D选项错误．故选B． 3．函数y＝的一个单调减区间是 A． B． C． D． 画出y＝的图象，如图所示， 可知y＝的一个单调减区间为，其他选项不符合要求．故选C． A．cos (－)<cos (－) B．sin 400°<cos 40° C．sin >cos D．sin 2<cos 2 对于A，－<－<－<0，而余弦函数y＝cos x在(－，0)上单调递增，则 cos (－) >cos (－)，故A错误；对于B，sin 400°＝sin(360°＋40°)＝sin 40°＝cos 50°，余弦函数y＝cos x在(0°，90°)上单调递减，则有cos 50°<cos 40°，即sin 400°<cos 40°，故B正确；对于C，cos ＝cos (＋)＝－sin ＝sin ，<<<，正弦函数y＝sin x在(，)上单调递减，因此sin >sin ＝cos，故C正确；对于D，由2∈(，π)，得sin 2>0>cos 2，故D错误．故选BC． 5．(多选)函数f＝2sin ，则以下结论中正确的是 A．f在上单调递减 B．直线 x＝为f图象的一条对称轴 C．f的最小正周期为2π D．f在上的值域是 f＝2sin ＝2cos x，对于选项A，f在上单调递减，故A正确；对于选项B，x＝不是f图象的对称轴，故B错误；对于选项C，f的最小正周期为2π，故C正确；对于选项D，x∈，则cos x∈，f＝2cos x∈，故D错误．故选AC． 6．函数y＝2cos x，x∈的值域为__________． 因为x∈，所以cos x∈，所以y＝2cos x∈. ∪ 作出y＝sin x和y＝cos x在x∈(0，2π)上的函数图象，如图所示，根据函数图象可得满足cos x>sin x的x的取值范围为∪. 9．(10分)(一题多问)已知函数y＝cos x＋|cos x|. 解：y＝cos x＋|cos x| ＝ 且最小正周期是－(－)＝2π. 解：由图象知函数的单调递增区间为[2kπ－，2kπ]，k∈Z. A． B． C． D． 对于A，y＝sin x在上单调递增，故A错误；对于C，y＝cos x在上单调递增，故C错误；对于D，y＝cos x，y＝sin x在上单调递增，故D错误．故选B． 11．(多选)已知函数f＝，则下列结论正确的是 A．函数f的最小正周期T＝2π B．函数f在上单调递增 C．函数f在上的值域为 D．函数f的图象关于直线x＝2 025π对称 因为f＝＝2，作出函数的大致图象如图所示． 函数f的最小正周期T＝π，故A错误；由图象可知函数的增区间为，故函数f在上单调递增，故B正确；当x∈时，cos x∈，所以f∈[0，2]，故C错误；因为cos x关于直线x＝kπ，k∈Z对称，所以函数f的图象关于直线x＝2 025π对称，故D正确．故选BD． 12．(新定义)(多选)定义max为a，b中较大的数，已知函数f＝max，则下列结论中正确的有 A．f的值域为 B．f是周期函数 C．f图象既有对称轴又有对称中心 D．不等式f>0的解集为{x＋2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z} 作出函数f的图象，如图所示．令sin x＝cos x，根据常用特殊角的正弦值、余弦值及诱导公式，解得x＝＋kπ，k∈Z，当x＝＋2kπ，k∈Z时，f＝－，由图可知，f的值域为，故A错误；且f是以2π为最小正周期的周期函数，故B正确；由图可知函数f有对称轴，但是没有对称中心，故C错误；由图可知，－＋2kπ<x<2kπ＋π时，f>0，故D正确．故选BD． 13．(13分)(一题多问)已知函数f(x)＝ 当0≤x≤π时，f(x)＝sin x＝，解得x＝或.综上，x＝－或或. (2)若f(x)＝，求x的值；(4分) 解：当－π≤x<0时，f(x)＝cos x＝， 解得x＝－， 取a＝时，则2a＝，3a＝，函数y＝cos x在上单调递减，最大值为s＝cos＝>0，函数y＝cos x在上单调递减，最大值为t＝cos ＝>0，所以s>0，t>0可能发生，故A正确； 取a＝时，则2a＝，3a＝π，函数y＝cos x在上单调递减，最大值为s＝cos＝>0，函数y＝cos x在上单调递减，最大值为t＝cos ＝－<0，所以s>0，t<0可能发生，故B正确；取a＝时，则2a＝，3a＝2π，函数y＝cos x在上单调递减，在上单调递增，最大值为s＝cos ＝－<0，函数y＝cos x在[，2π]上单调递增，最大值为t＝cos 2π＝1>0，所以s<0，t>0可能发生，故C正确；所以不可能发生的是D．故选D． 所以f＝＝0， 所以(cos x＋1)(cos x－)≥0， 则cos x≥或cos x＝－1. (2)求不等式f(x)≥－cos x＋的解集．(10分) 解：f(x)≥－cos x＋， 即cos 2x＋cos x－≥0， 由余弦函数的图象与性质可得x∈[－＋2kπ，＋2kπ]∪{x|x＝π＋2kπ}，k∈Z， 所以不等式的解集为∪，k∈Z. $$