7 4.4 诱导公式与旋转-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.4　诱导公式与旋转 　 第一章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识目标 1．掌握 ±α的正弦、余弦诱导公式的推导过程．　 2．对诱导公式能作综合归纳，体会七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．　 3．能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题． 素养目标 通过理解诱导公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养；通过诱导公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点　诱导公式与旋转 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　诱导公式与旋转 返回 问题导思 新知构建 正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 微提醒 角度1　利用诱导公式求值 例1 规律方法 利用诱导公式求值的策略 在对给定的式子进行求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称弄错．　　 角度2　利用诱导公式化简 例2 规律方法 化简策略 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值． 注意：用诱导公式进行化简时，要注意公式的选取，坚持的原则是负化正、大化小．　　 0　 1 返回 综合应用 返回 例3 诱导公式的综合应用 (1)化简f(x)； 规律方法 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．　　 (1)化简f(α)； 得sin α＋cos α＝3sin α－3cos α，即sin α＝2cos α， 返回 课堂小结 知识 正弦函数、余弦函数的诱导公式及其应用 方法 公式法、转化与化归 易错误区 函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造 随堂演练 返回 1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于 A．a B．－a C．a2 D． cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a．故选A． √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知α满足cos α＝m，则sin ＝_____．(结果用含有m的式子表示) 由诱导公式可知sin ＝cos α＝m. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)已知角α，β，γ满足α＋β＋γ＝π，则下列结论正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即sin α＝2cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 问题1．观察如图，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，那么＋α的终边与单位圆的交点P′的坐标如何求？你能根据三角函数的定义探究角α与角＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：P′(－v，u)；sin＝cos α，cos ＝－sin α. 问题2．利用问题1中的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系． 提示：sin (α－)＝－sin (－α)＝－sin [＋(－α)]＝－cos (－α)＝－cos α； 同理cos (α－)＝sin α. (1)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”．(2)诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 解：因为cos(2π－α)＝cos α＝－，且α为第三象限角，所以sin α＝－，所以cos ＝－sin α＝. (链教材P24例8)(1)已知cos(π＋α)＝－，求sin的值； 解：因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，则sin ＝cos α＝. (2)已知cos(2π－α)＝－，且α为第三象限角，求cos的值． 对点练1．已知角α的终边过点P，则＝________． 因为角α的终边过点P，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，所以＝＝＝. (链教材P25例9)化简：. 解：原式＝＝ ＝＝＝1. 对点练2．(1)化简：sin (α－2π)sin(α＋π)－2cos (α－)sin (α－π)－cos2(＋α)＝________． 原式＝sin α(－sin α)－2cos [－sin(π－α)]－(－sin α)2＝－sin2α－2sinα(－sin α)－sin2α＝－sin2α＋2sin2α－sin2α＝0. (2)化简：＝________． 原式＝＝＝＝1. 已知f(x)＝. 解：f(x)＝ ＝＝＝. (2)求f . 解：f ＝＝＝＝－. 对点练3．已知f(α)＝. 解：f(α)＝ ＝＝－. (2)若＝3，求f(α). 解：由＝＝3， 所以f(α)＝－＝－2. 2．若sin＝－，则cos(π－α)＝ A．－ B． C．－ D． 因为sin＝－，所以cos α＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝－＝.故选B． 3．(2024·山东青岛高一联考)已知cos＝，则sin ＝ A．± B． C．－ D． 因为＋＝，cos＝，所以sin ＝sin＝cos(－α)＝.故选D． 4．已知sin＝，则cos ＝________． cos ＝cos＝sin(－x)＝. 1．化简＝ A．±1 B． C．1 D．－1 ＝＝1.故选C． 2．已知角α的终边经过点P，则sin 的值等于 A．－ B． C．－ D． 因为角α的终边经过点P，所以cos α＝＝，sin ＝sin (π＋－α)＝－sin (－α)＝－cos α＝－.故选A． 3．(多选)下列与cos的值一定相等的是 A．sin(π－θ) B．sin(π＋θ) C．cos D．cos 因为cos＝－cos＝－sin θ，sin(π－θ)＝sin θ，sin(π＋θ)＝－sin θ，cos＝sin θ，cos＝－sin θ，所以B，D项与cos(－θ)的值相等．故选BD． 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为 A．－ B．－ C． D． 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－，得sin α＝，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝cos (180°＋90°－α)－2sin α＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.故选B． 5．(多选)cos ＝ A．sin B．sin C．cos D．cos sin (＋α)＝sin [π＋(＋α)]＝－sin (＋α)＝cos (＋α)，故A错误；sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)，故B正确；cos (－＋α)＝cos (－π＋＋α)＝－cos ，故C错误；cos (－α)＝cos ＝cos ，故D正确．故选BD． 7．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin(－θ)的值是________． 因为cos＝cos[π－(－θ)]＝－cos(－θ)＝－a，sin＝sin[＋(－θ)]＝cos＝a，所以cos＋sin(－θ)＝－a＋a＝0. 8．(2024·江西南昌高一期末)已知sin α＝，则·sin (α－π)·cos(2π－α)的值为________． － 原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－. (1)求的值；(4分) 解：由题意得β＝＋α， 所以＝＝＝－＝－1. 所以cos α＝，sin α＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－， 所以2sin αcos β＝2××＝－. (2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值．(6分) 解：因为点A的横坐标为，且|OA|＝1， 所以点A的纵坐标为， A．sin (α＋β)＝sin γ B．cos (α＋β)＝cos γ C．sin ＝cos D．cos ＝sin 因为α＋β＋γ＝π，所以sin (α＋β)＝sin (π－γ)＝sin γ，故A正确；cos ＝cos ＝－cos γ，故B错误；＝，sin ＝sin (－)＝cos ，故C正确；cos ＝cos ＝sin ，故D正确．故选ACD． 11．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边过点P，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，将OP绕原点逆时针旋转后与角θ的终边重合，则下列结论正确的是 A．sin α＝ B．α＝π－β C．cos α＋cos β＝0 D．sin α＋cos θ＝0 对于A，由题意得sin α＝，故A正确；对于B，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，即α＝π＋2kπ－β，k∈Z，故B错误；对于C，由B可知cos α＝cos (π＋2kπ－β)＝－cos β，所以cos α＋cos β＝0，故C正确；对于D，θ＝α＋，所以cos θ＝cos ＝－sin α，所以sin α＋cos θ＝0，故D正确．故选ACD． 12．已知sin ＝，则cos ＝________． － 令x＋＝t，则x＝t－，则－x＝－t＋＝－t.因为sin t＝，所以cos ＝－cos ＝－sin t＝－. 13．(13分)(开放题)在①sin －sin ＝cos ；②2sin ＝cos 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．已知________． (1)求的值；(6分) 解：若选①：sin －sin ＝cos ，则sin α－cos α＝cos α， 若选②：2sin ＝cos ，则2cos α＝sin α， 所以＝＝8. (2) 求的值．(7分) 解：＝＝＝＝. 14．(5分)(新定义)(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ“广义互余”．若sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有 A．cos β＝ B．cos (π＋β)＝ C．sin ＝ D．sin ＝－ 若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z).又由sin (π＋α)＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余成立，对于A，cos β＝cos ＝sin α＝，故A正确；对于B，cos (π＋β)＝cos (＋2kπ－α)＝cos (－α)＝－sin α＝－，故B错误；对于C，sin (－β)＝sin (－2kπ＋α)＝sin α＝，故C正确；对于D，sin (＋β)＝sin (π＋2kπ－α)＝sin α＝，故D错误．故选AC． 15．(17分)已知f(α)＝. (1)若cos ＝，求f(α)的值；(7分) 解：f(α)＝＝＝. 因为cos ＝，所以cos ＝，所以cos＝， 所以sin α＝－， 所以f(α)＝＝－5. 解：当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝ ＝＝＝－. $$