6 4.3 诱导公式与对称-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 　 第一章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识目标 1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．　 2．理解诱导公式的推导过程．识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征．　 3．能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 素养目标 借助诱导公式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过诱导公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点　诱导公式与对称 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点　诱导公式与对称 返回 问题导思 问题1．观察如图，角α与－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与－α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α. 问题2．观察如图，角α与α±π的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角α±π的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与α±π的终边关于原点对称，根据三角函数的定义推出：sin (α＋π)＝－sin α，cos (α＋π)＝－cos α，sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α. 问题3．观察如图，角α与π－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与π－α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义推出：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 新知构建 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin (－α)＝_________， cos (－α)＝_________ sin (α＋π)＝_________， cos (α＋π)＝_________， sin (α－π)＝_________， cos (α－π)＝__________ sin(π－α) ＝_______， cos(π－α)＝_________ 特点 (1)公式两边的函数名称一致． (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 －sin α cos α －sin α －cos α －sin α －cos α sin α －cos α 微提醒 (1)公式的角为任意角．(2)口诀：“函数名不变，符号看象限”． (链教材P21例6)求下列三角函数值： 例1 规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 第一步：“负化正”——用sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α转化； 第二步：“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角； 第三步：“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于 的角转化为锐角； 第四步：“锐求值”——得锐角三角函数后求值．　　 √ 1 返回 综合应用 返回 一　给值求值 　(1)已知sin (α＋π)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________； －0.3 因为sin (α＋π)＝－sin α＝－0.3，所以sin α＝0.3，所以sin (2π－α)＝－sin α ＝－0.3. 例2 变式探究 (变结论)若本例(2)中的条件不变，如何求cos ？ 规律方法 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用．　　 √ 二　三角函数式化简求值 例3 (1)化简f(α)； 规律方法 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，常将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式，将所给角的三角函数式化为角α的三角函数式．　　 1 返回 课堂小结 知识 1．特殊关系角的终边对称性. 2．三组诱导公式以及诱导公式的应用 方法 公式法、转化法 易错误区 公式中符号的确定 随堂演练 返回 √ √ √ 4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 P(－2，1)，则cos (π＋α)＝_________. 返回 课时测评 返回 1．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(－1，2)，则cos (π－α)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(2024·河南开封高一期中)sin 210°cos 120°的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－1 B．1 C．3 D．－3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)在平面直角坐标系中，若角α与角β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知角α终边上一点P(－4，3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是 A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β C．sin α＝－sin β D．sin α＝sin β 因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β.对于A，B选项，cos α＝cos(180°－β)＝－cos β，故A错误，B正确；对于C，D选项，sin α＝sin(180°－β)＝sin β，故C错误，D正确．故选AC． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－1 B．－2 C．1 D．2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由诱导公式可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新情境)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分 的比值，其比值 称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比 的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin 162°＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)化简f(x)的表达式；(7分) 解：当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， 综上得f(x)＝sin2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(120°＋5×360°)＝cos 120° ＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. (1)cos 210°； (2)sin ； (3)sin； (4)cos(－1 920°). 解：(1)cos 210°＝cos(30°＋180°)＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝. (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝. 对点练1．(1)cos 的值为 A． B．－ C． D．－ cos ＝cos ＝cos＝cos＝.故选C． (2)计算：sin －cos ＝________． sin －cos ＝－sin (4π＋π＋)－cos ＝sin ＋cos ＝＋＝1. (2)已知cos ＝，则cos＝__________． － cos＝cos＝－cos(－α)＝－. 解：cos ＝cos ＝cos＝cos＝. 对点练2．已知cos ＝，则cos等于 A．－ B． C． D．－ cos ＝cos ＝cos (＋α)＝cos＝－cos＝－.故选A． 已知f(α)＝. 解：f(α)＝＝cos α. (2)若α＝－，求f(α)的值． 解：因为－＝－6×2π＋， 所以f＝cos ＝cos ＝cos＝cos＝cos ＝. 对点练3．(1)化简：＝________． 原式＝＝＝1. (2)已知角α的终边与单位圆相交于点P(－，)，则化简等于________． － 因为角α的终边与单位圆相交于点P(－，)，所以cos α＝－，sin α＝. 又＝＝＝＝，所以＝＝－. 1．sin＝ A．－ B．－ C． D． sin＝sin＝－sin＝－.故选B． 2．已知cos＝，则cos ＝ A．－ B．－ C． D． 由cos＝－cos θ，得cos θ＝－，所以cos ＝cos θ＝－.故选B． 3．cos ＋sin的值为 A．－ B． C． D． 原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝.故选C． 根据题意得到cos α＝＝－，故cos ＝－cos α＝. A． B． C．－ D．－ 因为终边经过点P，所以r＝＝＝，故cos α＝＝＝－，所以cos ＝－cos α＝.故选A． A． B．－ C．－ D． sin 210°cos 120°＝sin cos (180°－60°)＝－sin 30°＝－×＝.故选A． 3．(多选)下列三角函数中，与sin 的值相同的是 A．sin B．cos C．sin D．－cos sin ＝.对于A，sin ＝sin＝－sin ＝－；对于B，cos ＝cos＝－cos ＝－；对于C，sin ＝sin＝sin ＝；对于D，－cos ＝－cos ＝cos ＝.故选CD． 4．已知函数f＝a sin ＋b cos ＋1，且f＝3，则f的值为 因为f＝a sin ＋b cos (203π＋β)＋1＝－a sin α－b cos β＋1＝3，可得a sin α＋b cos β＝－2，所以f＝a sin ＋b cos (2 024π＋β)＋1＝a sin α＋b cos β＋1＝－2＋1＝－1.故选A． A．sin ＝sin β B．sin ＝－sin β C．sin ＝sin β D．sin ＝－sin β 不妨令α，β∈，由题意知α＋β＝π或3π，所以sin ＝sin ＝－sin β，故A错误；sin ＝sin ＝－sin β，故B正确；sin ＝sin ＝－sin β，故C错误；sin ＝sin＝－sin β，故D正确．故选BD． 6．已知sin ＝，则sin 的值为__________． sin ＝sin＝sin (α－)＝. 7．cossinsincos＝________． 原式＝cossincos＝－cossinsincos(4π－)＝cossinsincos＝－cossinsincos＝cossinsincos＝×××＝. 8．已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin (α－3π)＋cos (α－π)＝________． 因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以cos α＝.又因为π<α<2π，所以<α<2π，所以利用定义可求得sin α＝－.所以sin (α－3π)＋cos (α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－(－＋)＝. 求的值． 解：点P到原点O的距离|OP|＝＝5. 根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－， 所以＝＝ ＝＝×＝－. 11．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值可能是 当k＝2n，n∈Z时，A＝＋＝＋＝2；当k＝2n＋1，n∈Z时，A＝＋＝＋＝＋＝－2.故选BD． 12．若sin ＝，则sin ＝______． － 因为sin ＝，所以sin ＝sin ＝－sin ＝－. 13．(13分)(1)化简：；(6分) ＝＝0. (2)已知sin ＝2cos ，求的值．(7分) 解：由sin ＝2cos ，可得sin α＝－2cos α， 所以＝＝＝－. A． B． C． D． 如图所示，在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，点D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比，所以∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝×＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin＝sin 18°＝.故选A． 15．(17分)已知f(x)＝(n∈Z). f(x)＝＝＝＝sin2x； f(x)＝ ＝＝＝sin2x， (2)求f.(10分) 解：由(1)知f＝sin2＝sin2(674π＋)＝sin2＝sin2＝. $$