4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 　 第一章 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识目标 1．借助单位圆理解正弦、余弦函数的关系．　 2．掌握任意角的正弦、余弦的定义． 素养目标 通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养学生数学抽象素养；通过任意角的正(余)弦函数定义的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 1 知识点二　任意角的终边上任一点的正弦函数、 余弦函数的定义 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 返回 问题导思 问题1．如图所示，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点 是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定 义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v. 问题2．一般地，给定一个任意角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的，且cos α＝u，sin α＝v，即点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数． 新知构建 1．锐角的正弦函数和余弦函数 对于锐角α，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作 v＝______；点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作 u＝______． sin α cos α 2．任意角的正弦函数和余弦函数 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的_________，记作v＝sin α；把点P的横坐标u叫作角α的_________，记作 u＝cos α. 正弦值 余弦值 (一题多问)(链教材P15例2)在平面直角坐标系的单位圆中，α＝ . (1)画出角α； 例1 (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． 规律方法 利用任意角的正弦函数和余弦函数的定义求角的正弦、余弦值的关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标．　　 对点练1．在单位圆中，α＝－ . (1)画出角α； 以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，角α如图所示． (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值． 返回 知识点二　任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 返回 问题导思 问题3．已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的任一点，如何求sin α与cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形． 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N.易知△POM∽△QON. 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立． 新知构建 微思考 角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上点的位置有关系吗？ 提示：角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关． (链教材P15例1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ x，求sin θ的值． 例2 因为x≠0，所以x＝±1. 变式探究 规律方法 1．已知角α终边上除原点外的任一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则 当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　　 对点练2．已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 综上所述，2sin α＋cos α的值为1或－1. 返回 综合应用 返回 例3 求终边在已知直线上的角的三角函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ 的值． 规律方法 1.先利用直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦函数、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． 2.注意到角的终边为射线，应分两种情况处理，取射线上任意一 点P(a，b))，则对应角的正弦值为 ，余弦值为 对点练3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值． 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 返回 课堂小结 知识 1．任意角的正弦函数和余弦函数. 2．利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值. 3．已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 方法 转化与化归、分类讨论法 易错误区 正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关 随堂演练 返回 1．已知点P(－3，－4)为角α终边上一点，则sin α＝ √ √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．4 B．±4 C．－1 D．±1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sin α的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4|a|)，其中a≠0，则下列取值有可能的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知角α的终边在第四象限，并且与单位圆交于点P(a，－2a)，则sin α ＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________． (－2，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x＋y ＝0 (x>0)上，则2sin α＋cos α的值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α的值． 解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2－t，t)，若t>0，则下列各式的符号不能确定的是 A．cos α B．sin α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(m，m＋1)，且cos α＝ . (1)求m的值；(7分) 因为α为第一象限角，则m>0，所以m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 解：因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同．以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． 解：由(1)知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. 解：由(2)及正、余弦函数的定义可得sin ＝，cos ＝－. 解：因为－＝－2π＋(－)，所以－与－终边相同． 解：过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是∠MOP＝－.设点P(u，v)，则u＝，v＝－，即点P的坐标为(，－). 解：由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得sin (－)＝v＝－， cos (－)＝u＝. 同理，cos α＝. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝. 所以＝，即＝. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同， 于是得到sin α＝. 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. 又因为cos θ＝x，所以＝x. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. 解：由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. (变条件、变设问)在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值． 解：因为|OP|＝，所以sin θ＝＝，解得x2＝1，所以x＝±1. sin α＝，cos α＝. 解：r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α是第二象限角，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1； ②若a<0，则r＝－5a，角α是第四象限角，sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 所以10sin α＋＝－3＋3＝0. 当k＜0时，r＝－k，所以sin α＝＝，＝＝－， 所以10sin α＋＝3－3＝0. 综上，10sin α＋＝0. 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝. 当k＞0时，r＝k，所以sin α＝＝－，＝＝， cos α＝ 所以2sin α＋cos α＝2×(－)＋＝－. 则r＝＝5|a|. (1)当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 故2sin α＋cos α的值为或－. (2)当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋(－)＝. A． B． C．－ D．－ 因为点P(－3，－4)为角α终边上一点，所以sin α＝＝－.故选D． 2．已知角α终边经过点P，且cos α＝－，则x的值为 A．± B．± C．－ D． 因为角α终边经过点P，所以cos α＝＝－，所以解得x＝－.故选C． 3．(多选)若sin α＝－，则下列各点可能是角α终边上的点的是 A． B． C． D． 选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD． 4．已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则α＝________． α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，即α的终边上一点的坐标为(，)，位于第一象限，所以cos α＝＝，因为α∈(0，2π)，所以α＝. 1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是 A．(，－) B．(－，) C．(，－) D．(－，) 设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，所以点P(－，).故选D． 2．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆(以O为圆心)相交于A点．若A的横坐标为，则 A．sin α＝ B．cos α＝ C．sin α＝ D．cos α＝ 由三角函数的定义可知cos α＝，sin α＝±，sin α的正负无法判断．故选B． 3．若角α的终边上有一点P，且sin α＝－，则m＝ 由已知，得sin α＝＝－，解得m＝±1.因为sin α＝－，所以m<0，则m＝－1.故选C． A．－1 B．1 C．± D． 当角α的终边为射线x＋y＝0(x≤0)时，取点P1(－1，1)，则|OP1|＝＝，sin α＝＝，当角α的终边为射线x＋y＝0(x≥0)时，取点P2(1，－1)，则|OP2|＝＝，sin α＝＝－，所以sin α的值为±.故选C． A．sin α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝ 当a>0时，P，则sin α＝＝＝，cos α＝＝，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时D正确；当a<0时，P，则sin α＝＝，cos α＝＝－，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时B，C正确．综上，A错误，B，C，D可能正确．故选BCD． － 因为角α的终边在第四象限，并且与单位圆交于点P，则a>0，则sin α＝＝－＝－. 由cos α≤0，sin α>0可知，解得－2<a≤3，即a的取值范围是(－2，3]. － 在射线2x＋y＝0(x>0)上任取一点P(a，－2a)(a>0)，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×(－)＋＝－. 得sin α＝＝－，cos α＝＝－. 由r＝OP＝＝， 得sin α＝＝，cos α＝＝. 由r＝OQ＝＝， 10．(多选)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，且sin α＝x，则x的值可以是 A．± B．±1 C．0 D．±2 由题设sin α＝＝x，故＝，整理得x2＝x4，所以x＝0或x＝±1.故选BC． 11．在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cos α＝－，则cos β＝ A． B．－ C． D．－ 设角α与β的终边分别与单位圆交于点(x1，y1)，(x2，y2)，因为它们的终边关于y轴对称，所以x2＝－x1且y2＝y1，因为cos α＝－，所以x1＝－，所以cos β＝x2＝－x1＝.故选A． 由三角函数的定义可知：sin α＝，cos α＝.当0<t<2时，2－t>0，cos α>0，当t＝2时，2－t＝0，cos α＝0，当t>2时，2－t<0，cos α<0，故cos α符号不能确定；因为t>0，所以sin α>0，sin α符号确定；sin α－cos α＝－＝，当0<t<1时，2t－2<0，sin α－cos α<0，当t＝1时，2t－2＝0，sin α－cos α＝0，当t>1时，2t－2>0，sin α－cos α>0，故sin α－cos α符号不能确定；sin α＋cos α＝＋＝>0，故sin α＋cos α符号确定．故选AC． (1)若cos α＝，求y0的值；(6分) 解：由题意知，＝，因为cos α＝，所以＝，解得y＝4，所以y0＝±2. 所以＝＝＝. (2)若y0＝－4，求的值．(7分) 解：当y0＝－4时，＝＝4， 所以sin α＝－，cos α＝， 14．(5分)(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，过点T(x0，sin x0)，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设B，C(x2，y2)，下列说法正确的是 A．若x0＝，则x1＝－ B．若x0＝，则y2＝ C．若x1＝－，则cos x0＝ D．若x2＝，则sin x0＝ 由题意可知y1＝y2＝sin x0，若x0＝，则y1＝y2＝sin ＝，则x1＝－＝－，故A，B正确；若x1＝－，则cos x0＝±，故C错误；若x2＝，则cos x0＝±，所以sin x0＝±＝±，故D错误．故选AB． 解：依题意cos α＝＝， 整理得7m2－18m－9＝0，解得m＝3或－， (2)求sin α的值．(10分) 解：由(1)知P(3，4)，则sin α＝， 则sin α(sin α＋cos α)＝×＝. $$