3 3.1 弧度概念& 3.2 弧度与角度的换算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

3.1　弧度概念　 3.2　弧度与角度的换算 　 第一章 §3　弧度制 知识目标 1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 素养目标 通过弧度制的概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过角度制与弧度制的换算以及扇形的面积与弧长公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　弧度概念 1 知识点二　弧度与角度的换算 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　弧度概念 返回 问题导思 问题1．角度是怎么定义的？这种度量单位的确定与单位线段有关吗？ 提示：把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．这种度量单位的确定与单位线段无关． 问题2．如图所示，三个圆为同心圆， 的长都 等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径的大小有 没有关系？弧长与半径的比分别为多少？ 提示：没有关系；都等于1. 新知构建 1．角度制和弧度制 角度制 以___作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的 作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作______．以______作为单位来度量角的方法，称作弧度制 度 弧度 弧度 2．弧度数的计算 正 负 0 微提醒 (1)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．(2)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数． 下列各命题中，真命题是 A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 例1 √ 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．故选D． 规律方法 1．圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． 2．任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．　　 对点练1．下列说法正确的是 A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 √ 对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．故选A． 返回 知识点二　弧度与角度的换算 返回 问题导思 问题3．角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 提示：根据弧度的定义，因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 新知构建 1．常见角度与弧度互化公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝___ rad π rad＝_______ 1°＝_____ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝_____≈57°18′ π 180° 2．一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 30° 60° 120° 270° π 2π 微提醒 (1)弧度单位rad可以省略．(2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋ (k∈Z)，这种写法是错误的． 角度1　角度制与弧度制的互化 (链教材P10例1、例2)将下列角度与弧度进行互化： 例2 规律方法 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad．　　 对点练2．(多选)下列转化结果正确的是 √ √ 角度2　用弧度制表示角 已知α＝－1 920°. (1)将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出它是第几象限角； 例3 (2)求与α终边相同的角θ，满足－4π≤θ<0. 解：因为θ与α的终边相同， 规律方法 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 1．用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． 2．注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性．　　 对点练3．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合． 返回 综合应用 返回 例4 扇形的弧长与面积公式 　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解：由已知得，l＋2R＝20. 故当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积为25 cm2. 规律方法 扇形的弧长和面积的求解策略 1．记公式：面积公式： 弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). 2．找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．　　 对点练4．已知一扇形的圆心角为α(α>0°)，周长为C，面积为S，弧长为l，所在圆的半径为r. (1)若α＝30°，r＝8，求扇形的弧长； (2)若C＝16，S＝16，求扇形的半径和圆心角． 返回 课堂小结 知识 1．弧度概念. 2．弧度与角度的换算． 3．扇形的弧长与面积的计算 方法 转化法、公式法 易错误区 弧度与角度混用 随堂演练 返回 1．把 π弧度化成角度是 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 2．315°＝ √ 3．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为 A．900 B．5π C． π D．10π √ 2 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则下列结论正确的是 A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若α＝－ ＋kπ，k∈Z，则α终边所在象限为 A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 因为－ 经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故α＝－ ＋kπ，k∈Z经过一、三象限．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)下面关于弧度的说法，正确的是 A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题： 若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(开放题)写出一个与角－1 280°终边相同的正角： α＝____________________________________(用弧度数表示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．如图为两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为_______ (用弧度数表示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，圆O的半径为5，弦AB的长为 5. (1)求圆心角α(0<α<π)的大小；(4分) 解：由于圆O的半径为r＝5，弦AB的长为5， 所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝ . (2)求扇形AOB的弧长l及阴影部分的面积S.(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(2024·山东青岛高一检测)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图①)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图②)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈ ，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为 A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)下列说法中正确的是 B．π(rad)＝180° C．在半径为6的圆中， 弧度的圆心角所对的弧长为2π D．第二象限角都是钝角 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(新情境)二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2023年4月20日谷雨节气到2023年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，点A，B，C是圆O上的点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知扇形AOB的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小．(7分) 解：设圆O的半径为r，扇形AOB的弧长为l，圆心角为α， 因为扇形AOB的周长为8，所以2r＋l＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1 200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？(10分) 由题意知60·2(r2－r1)＋90(r1θ＋r2θ)＝1 200， 即4(r2－r1)＋3(r2θ＋r1θ)＝40，(*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以当x＝5时，S取得最大值，即AD＝r2－r1＝5米时，花坛的面积最大． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 ，， 角度 0° 1° _____ 45° _____ 90° _____ 135° 150° 180° _____ 360° 弧度 0 ___ ___ ___ ___ ___ ____ (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. (1)π； (2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是 D．化成角度是5° 对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝－×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D错误．故选AB． 解：因为－1 920°＝－12π＋，π<<， 所以将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式为－1 920°＝－12π＋，它是第三象限角． 所以令θ＝2kπ＋，k∈Z， 当k＝－1，k＝－2满足题意，故θ＝－，－. 解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为{θ＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z}． 解：由题意得 解得(舍去)，或所以扇形圆心角为. 所以S＝lR＝R＝10R－R2＝－2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，×α×R2＝25，解得α＝2. S＝lR＝αR2， 解：由已知得l＝8×30×＝. 解：由已知得解得 所以α＝×＝×＝， 即扇形的半径为4，圆心角为. 因为π＝180°，所以π＝×180°＝120°.故选D． A． B． C． D． 315°角对应的弧度数为π＝π.故选C． 100°＝×100＝，则所对弧长为×9＝5π.故选B． 4．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角为________． 设圆心角为α，因为扇形的弧长为，面积为＝××r，解得r＝2，由于扇形的弧长为＝rα＝2α，解得α＝. 1．在0～2π范围内，与－角终边相同的角是 A． B． C． D． 因为＝－＋2π，所以与－角终边相同的角是.故选D． 因为l＝αR，所以α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变．扇形的面积S＝αR2，因为α不变，R变为原来的2倍，所以S变为原来的4倍．故选B． B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝ C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周分为32等分，每一份的弧长为 cm 对于A，根据弧度数定义可知A正确；对于B，根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；对于C，根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为120°，即弧度数为，故C正确；对于D，圆周长为2πr＝20π cm，32等分后，每一份弧长为＝ cm，故D错误．故选ABC． 甲：α＝，乙：r＝1，丙：l＝，丁：S＝. 假设甲为假命题，S＝r·l＝×1×＝≠，故乙丙丁有一个是假命题，故甲是真命题；假设丁为假命题，l＝α·r＝×1＝≠，故乙丙有一个是假命题，故丁是真命题；假设丙为假命题，S＝αr2＝××1＝≠，故丙是真命题，乙是假命题．故选B． (答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可) 与角－1 280°终边相同的角：α＝－1 280°＋360°k，k∈Z，因为α>0，所以k≥4，k∈Z，所以α可取160°，化为弧度数为.(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可). 因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝. 8．(新角度)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.(精确到1 m2) ＝120°，根据题意得弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－4cos＝2(m)，因此弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 所以阴影部分的面积S＝S扇形AOB－S△AOB＝－. 解：因为α＝，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××5＝， 又S△AOB＝×5×5＝， 显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5，AB＝8，则cos ∠OAB＝＝，sin ∠OAB＝，即∠OAB≈37°，于是∠AOB＝106°＝，所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C． A．与终边相同的角的集合是{α＋2kπ，k∈Z} 对于A，与终边相同的角的集合是{α＋2kπ，k∈Z}，故A正确；对于B，π＝180°，故B正确；对于C，在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为×6＝2π，故C正确；对于D，第二象限角的取值范围为(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)，不一定为钝角，故D错误．故选ABC． A． B．－ C． D．－ 由题意知，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数为＝，从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要顺时针旋转15个格，所以转过的弧所对圆心角的弧度数为15×＝.故选C． (1)若AB＝4，∠ACB＝，求劣弧的长；(6分) 解：因为∠ACB＝，所以∠AOB＝2∠ACB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，所以OA＝AB＝4，则劣弧的长为·OA＝. 扇形面积S＝l·r＝l·2r≤·2＝4(当且仅当2r＝l＝4时取等号)， 所以当扇形面积取得最大值时，圆心角α＝＝2. 14．(5分)(多选)如图所示，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则下列结论正确的是 A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B． s时，扇形AOB的弧长为 C． s时，扇形AOB的面积为 D． s时，A，B在单位圆上第一次相遇 对于A，当t＝1 s时，∠AOB＝＋1×1＋1×2＝3＋，故A正确；对于B，当t＝ s时，∠AOB＝＋×1＋×2＝＋，所以＝1×＝＋，故B错误；对于C，当t＝ s时，∠AOB＝＋×1＋×2＝，扇形AOB的面积＝×12×＝，故C错误；对于D，初始位置时，优弧＝2π－＝，当t＝ s时，A点运动的路程＝×1＝，B点运动的路程＝×2＝，＋＝，故D正确．故选AD． 15．(17分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇形环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和AD，BC两条线段围成．设，所在圆的半径分别为r1，r2米，圆心角为θ(弧度). (1)若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；(7分) 解：花坛的面积S＝×36×－×9×＝π(平方米). 解：的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为(r2－r1)米． 花坛的面积S＝rθ－rθ＝(r2θ＋r1θ)·(r2－r1). 由(*)式知，r2θ＋r1θ＝－(r2－r1)，记r2－r1＝x，因为－(r2－r1)>0，所以0<x<10， 故S＝(－x)x＝－(x－5)2＋，x∈(0，10). $$