2 2.1 角的概念推广&2.2 象限角及其表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.1　角的概念推广　2.2　象限角及其表示 　 第一章 §2　任意角 知识目标 1．结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义．　 2．理解象限角的概念、特征及其表示方法．　 3．理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角． 素养目标 通过角的概念的推广的学习，培养学生数学抽象素养；通过象限角、终边相同的角的表示，提升学生直观想象和数学运算素养． 知识点一　角的概念推广 1 知识点二　象限角及其表示 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　终边相同的角 3 知识点一　角的概念推广 返回 问题导思 问题1．在生活中，拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧．可以旋转一圈，也可以旋转多圈，那么如何描述这种现象呢？ 提示：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，按顺时针方向旋转一周所成的角为－360°，按逆时针方向旋转一周所成的角为360°. 问题2．如图所示的时钟慢了5分钟，校准时钟的过程中分针、秒针分别转过多少角度？ 提示：校准时钟的过程中分针、秒针分别转过的角度为－30°，－1 800°. 新知构建 1．角的概念 平面内一条射线OA绕着它的_________按箭头所示方向旋转到_____________，形成角α.如图所示，其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的______，射线OB是角α的______． 端点O 终止位置OB 始边 终边 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按_____________旋转形成的角 负角 按_____________旋转形成的角 零角 如果一条射线____________旋转，称它形成了一个零角；零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0° 逆时针方向 顺时针方向 没有作任何 微思考 如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得的新角的终边与原角的终边有什么关系呢？ 提示：它们的终边重合． 写出图①，②中的角α，β，γ的度数． 解：在题图①中，α＝360°－30°＝330°； 在题图②中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 例1 规律方法 1．理解角的概念的三个“明确” 规律方法 2．表示角时的两点注意 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：在写出图中角的度数时要注意角的始边和旋转的方向．箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． 对点练1．如图所示，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°到OC处，求角β. 解：∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 返回 知识点二　象限角及其表示 返回 问题导思 问题3．我们把角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边可以在什么位置呢？ 提示：角的终边可以在坐标轴上也可以在每个象限内． 新知构建 象限角的概念 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是_____________；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 第几象限角 微思考 第二象限角比第一象限角大吗？ 提示：不一定．如120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°＜390°. (链教材P6例 1)(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是 A．－200° B．100° C．220° D．420° 例2 －200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．故选AB． √ √ (2)下列命题正确的是 A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．集合 内的角不一定是钝角 √ 对于A，终边与始边重合的角为0°＋k·360°(k∈Z)，故A错误；对于B，终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故B错误；对于C，小于90°的角可能是0°，还可能是负角，故C错误；对于D，因为集合 内的角包含90°直角，所以不一定是钝角，故D正确．故选D． 规律方法 象限角的判定方法 1．当0°≤α＜360°时，直接写出结果． 2．当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限．　　 对点练2．(1)若α＝k·180°＋60°，k∈Z，则α所在象限是 A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 √ 当k＝2n，n∈Z时，α＝60°＋n·360°，n∈Z，又60°为第一象限角，所以α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝240°＋n·360°，n∈Z，又240°为第三象限角，所以α为第三象限角．故选A． (2)(多选)下列叙述不正确的是 A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第四象限角比第一象限角大 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 √ √ √ 直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于300°是第四象限角，390°是第一象限角，300°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD． 返回 知识点三　终边相同的角 返回 问题导思 问题4．我们把角的概念推广到了任意角，角60°，420°，－300°，1 140°有什么内在联系？ 提示：通过作图可以看出60°，420°，－300°，1 140°的终边相同．且420°＝360°＋60°，－300°＝－360°＋60°，1 140°＝360°×3＋60°. 问题5．给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示：给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 新知构建 终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_______________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的_________的和． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数倍 微思考 终边相同的角一定相等吗？ 提示：不一定．如30° 与390°角的终边相同，但并不相等． (链教材P7例3)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来： (1)120°； 解：与120°终边相同的角的集合为{β|β＝120°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤120°＋k·360°<360°， 当k＝－2时，β＝120°－2×360°＝－600°， 当k＝－1时，β＝120°－360°＝－240°， 当k＝0时，β＝120°， 所以适合不等式－720°≤β<360°的元素β为－600°、－240°、120°. 例3 (2)－225°. 解：因为－225°＝135°－360°， 所以与－225°终边相同的角的集合为{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤135°＋k·360°<360°， 当k＝－2时，β＝135°－2×360°＝－585°， 当k＝－1时，β＝135°－360°＝－225°， 当k＝0时，β＝135°. 所以适合不等式－720°≤β<360°的元素β为－585°、－225°、135°. 规律方法 1．求终边落在直线上的角的集合的步骤 第一步：写出在0°～360°范围内相应的角； 第二步：由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 第三步：根据条件能合并的一定合并，使结果简洁． 2．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　 对点练3．与600°角终边相同的角可表示为 A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z) C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z) √ 因为600°＝360°＋240°，所以600°角与240°角的终边相同，所以与600°角终边相同的角可表示为k·360°＋240°(k∈Z).故选B． 对点练4．写出终边在x轴上的一切角的集合． 解：因为与α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴正半轴的一切角的集合为A＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}， 终边在x轴负半轴的一切角的集合为B＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的一切角的集合为 A∪B＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． 返回 综合应用 返回 例4 区域角的表示 　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的 集合(包括边界)： 解：由题图①可知，这是对顶角区域的表示问 题，结合图象，终边落在阴影部分的角的集合 可表示为{α|k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°或k·360°＋225°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α|n·180°＋45°≤α≤n·180°＋90°，n∈Z}． 由题图②可知，在－180°～180°的范围内，阴影部分为－150°～120°，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 规律方法 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；　　 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合． 对点练5．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解：由题图①可知，终边落在阴影部分的角的集合为{α|135°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}． 由题图②可知，终边落在阴影部分的角的集合为{β|45°＋k·360°≤β<135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|225°＋k·360°≤β<315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|45°＋k·180°≤β<135°＋k·180°，k∈Z}． 返回 课堂小结 知识 1．角的概念的推广. 2．象限角与终边相同的角的概念与应用 方法 数形结合、分类讨论 易错误区 锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z 随堂演练 返回 1．与－67°角终边相同的角是 A．23° B．113° C．203° D．293° 与－67°终边相同的角一定可以写成－67°＋360°·k的形式，其中k∈Z，令k＝1可得，－67°与293°终边相同，其他选项均不符合题意．故选D． √ 2．－1 000°的终边在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为－1 000°的终边与－1 000°＋360°×3＝80°相同，所以终边在第一象限．故选A． √ 3．(多选)下列命题不正确的是 A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．互为相反数的两个角关于x轴对称 D．锐角都是第一象限角 对于A，0°和360°终边相同，但角不同，故A错误；对于B，135°是钝角，－135°是第三象限角，故B错误；对于C，α与－α关于x轴对称，故C正确；对于D，锐角的范围是(0°，90°)，都是第一象限角，故D正确．故选AB． √ √ 4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是__________________________________________． 观察图形可知，角α的集合是{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}． {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} 返回 课时测评 返回 由题意可知420°＝360°＋60°，所以60°与 420°终边相同．故选B． 1．在平面直角坐标系中，下列与角 420°终边相同的角是 A．20° B．60° C．120° D．150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．下列命题中正确的个数是 ①终边和始边都相同的两个角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角；⑤与－765°终边相同的角是315°. A．1 B．2 C．3 D．5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故①错误；钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，故②正确；第一象限角可以是正角也可以是负角，故③正确；小于90°的角可以是负角，不是锐角，故④错误；－765°＝－3×360°＋315°，因此－765°与315°终边相同，但与－765°终边相同的角是还有其他无数个角，故⑤错误．正确个数是2.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．下列角的终边与60°角的终边关于x轴对称的是 A．660° B．－660° C．690° D．－690° 由题意知，与60°角的终边关于x轴对称的角为θ＝－60°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，θ＝－60°＋720°＝660°，故A正确，经验证，其他三项均不符合要求．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．终边在直线y＝x上的角α的取值集合是 A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} 当角α的终边在射线y＝x(x≥0)上时，α＝k·360°＋45°，k∈Z；当角α的终边在射线y＝x(x<0)上时，α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z.所以角α的取值集合是{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知α是第二象限角，则 可以是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 因为α是第二象限角，即k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°< <k·180°＋90°，k∈Z，当k为偶数时， 是第一象限角，当k为奇数时， 是第三象限角．故选AC． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________． 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°. －75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为_____________． 与－60°角的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.因为所求角在0°～360°范围内，所以0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得 ，k∈Z，所以k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，当k＝2时，β＝300°. 120°，300° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°得角α，写出所有终边与α相同的角的集合A＝___________________________． 因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90°＋(－30°)＝60°，则α＝60°，故终边与α相同的角的集合A＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}． {β|β＝60°＋k·360°，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)写出终边落在图中阴影区域内的角的集合： (1) (4分) 解：在0°～360°范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) (6分) 解：图中终边落在从第四象限到第一象限阴影区域的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}， 图中终边落在从第二象限到第三象限阴影区域的角的集合为{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}，因此，终边落在阴影区域的角的集合为{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 若α是第二象限角，则180°＋α是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 由题意α是第二象限角，所以不妨设360°·k＋90°<α<180°＋360°·k，k∈Z，所以360°·k＋270°<α＋180°<360°＋360°·k，k∈Z，由象限角的定义可知180°＋α是第四象限角．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)如果角α与角γ＋45°的终边相同，角β与γ－45°的终边相同，那么α－β的可能值为 A．90° B．360° C．450° D．2 330° √ √ 因为角α与角γ＋45°的终边相同，故α＝γ＋45°＋k·360°，其中k∈Z，同理β＝γ－45°＋k1·360°，其中k1∈Z，故α－β＝90°＋n·360°，其中n∈Z，当n＝0或n＝1时，α－β＝90°或α－β＝450°，故AC正确，令360°＝90°＋n·360°，此方程无整数解n；令2 330°＝90°＋n·360°，即56＝9n，此方程无整数解n；故B，D错误．故选AC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)下列四个结论中，正确的是 A．角α和角β的终边重合，则α－β＝k×360°，k∈Z B．角α和角β的终边关于原点对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z C．角α和角β的终边关于x轴对称，则α＋β＝k×360°，k∈Z D．角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝k×360°＋180°，k∈Z √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为α，β终边重合，所以α＝β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°，k∈Z，故A正确；对于B，由180°＋α与α是终边关于原点对称的两个角，所以角α和角β的终边关于原点对称，必有角α＝180°＋β＋k×360°，k∈Z，即α－β＝k×360°＋180°，k∈Z，故B错误；对于C，由－α与α是终边关于x轴对称的两个角，所以角α和角β的终边关于x轴对称，必有角β＝－α＋k×360°，k∈Z，即α＋β＝k×360°，k∈Z，故C正确；对于D，由180°－α与α是终边关于y轴对称的两个角，所以β与180°－α的终边相同，即β＝k·360°＋(180°－α)，k∈Z，所以α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z，故D正确．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 解：由题意知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z， 因为α，β都是锐角，则0°<α＋β<180°，取k＝1，得α＋β＝80°. 又α－β＝670°＋n·360°，n∈Z， 由α，β都是锐角，得－90°<α－β<90°，取n＝－2，得α－β＝－50°. 联立解得α＝15°，β＝65°， 所以α＝15°，β＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)若α是第二象限角，则 A．－α是第一象限角 B． 是第一或第三象限角 C．270°＋α是第二象限角 D．2α是第三象限角或2α是第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为α是第二象限角，所以可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.对于A，－180°－k·360°<－α<－90°－k·360°，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误；对于B，可得45°＋k·180°< <90°＋k·180°，k∈Z，当k为偶数时， 是第一象限角；当k为奇数时， 是第三象限角，故B正确；对于C，360°＋k·360°<270°＋α<450°＋k·360°，k∈Z，即(k＋1)·360°<270°＋α<90°＋(k＋1)·360°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，故C错误； 对于D，180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，故D正确．故选BD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知α是第二象限角，试确定 是第几象限角，并在平面直角坐标系中作出 所在区域． 解：因为α是第二象限角，所以90°＋360°·k<α<180°＋360°·k，k∈Z， 所以30°＋120°·k< <60°＋120°·k， 当k＝3n，n∈Z时， 是第一象限角， 当k＝3n＋1，n∈Z时， 是第二象限角， 当k＝3n＋2，n∈Z时， 是第四象限角． 如图：在平面直角坐标系中，作出 所在区域． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 三 角 函 数 返回 可得－≤k<， 可得－≤k<， ≤k≤ $$