第06讲 组合（4大知识点+4大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第06讲 组合 课程标准 学习目标 ①组合及组合数的定义 ②排列与组合的关系 ③组合数公式 ④组合数的性质 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题． 3.掌握组合数公式和组合数的性质. 4.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 5.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法. 6.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题． 知识点01组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 【即学即练1】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知，用非负整数表示，，若为其表示方法的数组（）的个数，则＝ ． 知识点02排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 【即学即练2】（2021·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 . 知识点03组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 【即学即练3】（高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点04组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【即学即练4】（24-25高二上·上海·期末）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 题型一：组合数的计算 1．（23-24高二下·上海·期中）可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·上海浦东新·期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况 C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高二下·上海嘉定·期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为 . 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 7．（23-24高二下·上海·期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为 . 8．（23-24高二上·上海·期末）四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面ABC相交的概率是 ． 9．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 10．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 题型二：利用组合数公式证明 1．（高二下·上海杨浦·期末）对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是 ；①；②. 2． ． 3．（高二下·上海静安·期末）（1）设、，，求证：； （2）请利用二项式定理证明：. 4．（高二下·上海·期末）（1）设，且，求证：； （2）求满足的正整数n的最大值； 5．（高二下·上海虹口·期末）（1）化简：； （2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是多少? 题型三：组合数方程和不等式 1．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若正整数n满足不等式，则 . 2．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）方程的解集为 . 3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）若，则 ． 4．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 7．（高二下·上海宝山·期中）解方程（1）； （2）. 8．（22-23高二上·上海静安·期中），求正整数x的值. 9．（高二下·上海浦东新·期末）解不等式 （1）解关于实数的不等式:，其中是实参数； （2）解关于正整数的不等式:，其中是给定的正整数. 10．（高二下·上海金山·期中）（1）解不等式； （2）已知，求． 题型四：组合数的性质及应用 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海青浦·期末）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（20-21高二下·上海虹口·期中）下列四个组合数公式：对，约定，有 （1）（）；          （2）（）； （3）（）；        （4）（）； 其中正确公式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（21-22高二下·上海嘉定·期末）下列式子错误的（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 6．（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 7．（22-23高二下·上海嘉定·期中）满足方程 的x的值为 ． 8．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 9．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 10．（23-24高二下·上海闵行·期中）一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗． (1)求恰有1颗是草莓味的概率； (2)记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程． 11．（22-23高二下·上海徐汇·期中）（1）已知、为正整数，，求证：： （2）已知、为正整数，求证：； （3）、为正整数，，求证：． 12．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 一、单选题 1．（21-22高三下·上海奉贤·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分有非必要条件 2．（22-23高二上·上海静安·期中）从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（    ）种 A． B． C． D． 3．（21-22高二上·上海奉贤·期中）已知为不同数字的种类，如等，求所有的256个 排列所得到的的总和是（    ） A．450 B．720 C．374 D．700 4．（2008·上海·高考真题）组合数恒等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则正整数 . 6．（23-24高二下·上海静安·期末）圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出 个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是 ． 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）若则正整数n的值为 ． 8．（22-23高二下·上海黄浦·期中）某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办盲盒”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办盲盒.若某同学从一箱中随机购买2个手办盲盒，则能买到稀有手办盲盒的概率为 ．（结果用最简分数表示） 9．（23-24高三上·上海嘉定·期中）若，则 . 10．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 11．（23-24高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 12．（24-25高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 13．（24-25高三上·上海·期中）已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 ．（结果用分数表示） 14．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 15．（23-24高二下·上海·期中）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 16．（24-25高二上·上海·期中）从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 三、解答题 17．（21-22高二下·上海闵行·期末）求满足下列方程组的正整数的解： (1)； (2)． 18．（22-23高二下·上海静安·期末）（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：； （2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据. 19．（21-22高二下·上海黄浦·期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走． (1)求甲从到达处的走法总数； (2)求甲乙两人在相遇的方法数． 20．（22-23高二下·上海闵行·期末）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 21．（2002·上海·高考真题）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 组合 课程标准 学习目标 ①组合及组合数的定义 ②排列与组合的关系 ③组合数公式 ④组合数的性质 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题． 3.掌握组合数公式和组合数的性质. 4.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 5.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法. 6.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题． 知识点01组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 【即学即练1】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知，用非负整数表示，，若为其表示方法的数组（）的个数，则＝ ． 【答案】/. 【分析】对任意正整数，有，从而求出的不等式． 【详解】对任意正整数，有， 所以. 故答案为：． 知识点02排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 【即学即练2】（2021·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 . 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可． 【详解】某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作， 基本事件总数， 选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数， ∴选派的三人中至少有1名女医生的概率. 故答案为：. 知识点03组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 【即学即练3】（高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A．，等式成立； B．，， 所以成立； C．， ，所以成立； D． ，所以成立. 故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：. 知识点04组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 【即学即练4】（24-25高二上·上海·期末）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数的性质化简方程，即可得解. 【详解】因为，，， 则，或， 解得或， 即方程的解集为， 故选：A. 题型一：组合数的计算 1．（23-24高二下·上海·期中）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式判断即可. 【详解】，， ，. 故选：D 2．（21-22高二下·上海浦东新·期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况 C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况 【答案】C 【分析】根据组合数中，且均为正整数列式可求出结果. 【详解】依题意得，得， 因为为正整数，所以或或， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式. 所以该代数式的值有三种情况. 故选：C 3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确化简，即可求解. 【详解】对于A中，由排列数的计算公式，可得， 所以A、B不正确； 对于C中，由组合数的计算公式，可得， 所以C正确，D不正确. 故选：C. 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】每列相邻的LED灯共5对，共有6列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种， 所以这2头故障LED灯相邻的概率为. 故选：A. 5．（22-23高二下·上海嘉定·期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为 . 【答案】 【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为3的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从8个数中任取5个数，则基本事件的总数为， 又由这5个数的中位数是3的基本事件为， 所以这5个不同的数的中位数为3的概率为. 故答案为：. 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 【答案】8 【分析】利用排列数和组合数公式求解. 【详解】解：因为， 所以 ， 解得 ， 故答案为：8 7．（23-24高二下·上海·期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为 . 【答案】/0.8 【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意6件产品中有4件正品，2件次品， 一次取三件产品，共有（种）取法， 其中至少有2件正品的取法有（种）， 故至少有2件正品的概率为， 故答案为： 8．（23-24高二上·上海·期末）四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面ABC相交的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】先得到在各棱的6个中点中任取2点可确定直线的条数，再得到与平面ABC相交的直线条数，然后利用古典概型的概率求解. 【详解】解：如图所示：    在各棱的6个中点中任取2点，共可确定条直线， 若该直线与平面ABC相交，则该直线过G，H，I中的一个点，过D，E，F中的一个点， 故与平面ABC相交的直线有条， 所以直线与平面ABC相交的概率是. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得. 【详解】第一步，从这个数中任选个，共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的个数中选出个分给， 由题意可知，选出后“五位凹数”就确定了，共有种方法， 所以满足条件的“五位凹数”共有个， 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】55 【分析】首末项相差9，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差9，而任意相邻两项之间满足， 设成立的项数共有项，设成立的项数共有项， 可知：， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现1个2，7个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现2个2，5个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现3个2，3个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现4个2，1个1，数列的个数为； 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：55. 题型二：利用组合数公式证明 1．（高二下·上海杨浦·期末）对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是 ；①；②. 【答案】①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当时,由定义可知：,, 当时,由定义可知：,, 故①成立； 当时,由定义可知： ,, 当时,由定义可知： ,故②成立. 故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想. 2． ． 【答案】1330 【分析】根据已知中，我们可得，由组合数性质公式，我们可求出最终结果. 【详解】原式； 记，数列的前19项和即为所求． 记数列的前项和为； 注意到， ∴ ； 故答案为：1330. 【点睛】本题考查的知识点是数列求和以及组合数公式，考查了学生的观察能力，属于中档题. 3．（高二下·上海静安·期末）（1）设、，，求证：； （2）请利用二项式定理证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据组合数公式证明即可； （2）由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果. 【详解】证：（1）； （2）当，时， , 所以结论成立. 【点睛】此题考查了组合数公式和二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题. 4．（高二下·上海·期末）（1）设，且，求证：； （2）求满足的正整数n的最大值； 【答案】（1）证明见解析；（2）7 【分析】（1）直接利用组合公式化简得到证明. （2）变换得到，化简得到，解不等式得到答案. 【详解】（1），得证. （2），即 ，相加得到 即 【点睛】本题考查了组合公式的应用，意在考查学生的计算能力. 5．（高二下·上海虹口·期末）（1）化简：； （2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是多少? 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）根据组合数的运算公式求解； （2）首先列举所有不超过30的素数，然后按照古典概型写出概率. 【详解】（1） （2）不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，任取2个不同的数有种方法，其中和为30的有共三组， 则 【点睛】本题考查组合数的证明和古典概型的概率公式意在考查推理与证明和计算能力，属于基础题型 题型三：组合数方程和不等式 1．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若正整数n满足不等式，则 . 【答案】5 【分析】根据排列数与组合数公式计算即可. 【详解】由，得，且， 化简整理得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 2．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）方程的解集为 . 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，即可得解. 【详解】因为，则，，且，即，解得. 故原方程的解集为. 故答案为：. 3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）若，则 ． 【答案】5 【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x的值. 【详解】因为，， 所以，由可得，3(x-1)=2(x+1) 解得，x=5. 故答案为：5. 4．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】9 【分析】根据组合数的运算公式化简方程，解方程求. 【详解】因为， 所以，，， 所以， 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】 【分析】借助排列数与组合数的计算公式计算即可得. 【详解】由题意可得，且， 故，即. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【分析】由排列数和组合数的公式代入求解即可. 【详解】由可得：， 即，则， 所以或（舍去）， 将检验，是原方程的解. 故答案为：. 7．（高二下·上海宝山·期中）解方程（1）； （2）. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据得到或，计算得到答案； （2）根据排列公式计算得到答案. 【详解】（1）则或，解得或 （2），即 化简得到：，解得或（舍去） 【点睛】本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力. 8．（22-23高二上·上海静安·期中），求正整数x的值. 【答案】或. 【分析】根据组合数的性质，得到方程，即可求得答案． 【详解】由可得或， 解得或 ，经验证，符合题意， 故正整数x的值是或. 9．（高二下·上海浦东新·期末）解不等式 （1）解关于实数的不等式:，其中是实参数； （2）解关于正整数的不等式:，其中是给定的正整数. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）对进行分类讨论：、、、或，分别求解出的取值集合； （2）利用组合数公式将化为阶乘的形式，求解出的取值集合即可. 【详解】（1）当时，不等式化为：，此时无解， 当时，不等式化为：，解集为：， 当时，不等式化为：，即，解集为：， 当或时，不等式化为：，即，解集为：， 综上可知：时，不等式无解；时，不等式解集为；时，不等式解集为；或时，不等式解集为. （2）因为，所以， 所以，所以，所以解集为：. 【点睛】本题考查求不等式的解集，难度一般. （1）解含参不等式时，要考虑是否需要对参数作分类讨论； （2）求解排列数或组合数形式的不等式解集，可先考虑将排列数或组合数化为阶乘的形式后再进行化简，最后求解集. 10．（高二下·上海金山·期中）（1）解不等式； （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）28. 【分析】(1)根据排列数公式化简，即可求出不等式的解集； (2)根据组合数公式化简得出，即可得出. 【详解】(1)∵，∴，即， 解得， ∵，且， ∴解集为． (2) ， 【点睛】本题主要考查的是排列数公式与组合数公式的应用，考查的是学生的计算能力，是基础题. 题型四：组合数的性质及应用 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质化简计算得解. 【详解】. 故选：D 2．（23-24高二下·上海青浦·期末）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据组合数知识得到方程，求出或3，得到答案. 【详解】，故或， 解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（20-21高二下·上海虹口·期中）下列四个组合数公式：对，约定，有 （1）（）；          （2）（）； （3）（）；        （4）（）； 其中正确公式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】则题意利用组合数公式逐个分析判断即可 【详解】解：由于对，约定，由排列的定义有， 所以（），所以（1）正确， 因为 所以（），所以（2）正确， 因为， 所以所以（）所以（3）正确， 因为，， 所以（），所以（4）正确， 故选：D 4．（21-22高二下·上海嘉定·期末）下列式子错误的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数及组合数的运算性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 且，故C正确； 对于D，因为 且，故D正确. 故选:A. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，结合组合数的性质列式计算即得. 【详解】由，得或，解得或（舍）， 经检验符合. 故答案为：1 6．（22-23高二下·上海浦东新·期中） . 【答案】462 【分析】根据组合数的性质，运算求解. 【详解】由题意可得： . 故答案为：462. 7．（22-23高二下·上海嘉定·期中）满足方程 的x的值为 ． 【答案】3或6 【分析】根据组合数性质列方程，解方程即可. 【详解】依题意，得或， 解得或，经检验知和符合题意． 故答案为：3或6. 8．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据二项式通项公式知，由组合数的性质得计算即可. 【详解】根据题意， 因为多项式， 所以由二项分布的通项公式得 . 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 10．（23-24高二下·上海闵行·期中）一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗． (1)求恰有1颗是草莓味的概率； (2)记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据所有可能的情况数与满足条件的情况数计算即可； （2）根据组合数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意，草莓味的有4颗，牛奶味的有6颗， 从10颗巧克力的礼盒中随机取出2颗，所有可能的情况有种， 其中恰有1颗是草莓味的情况有种，故恰有1颗是草莓味的概率为 （2）由题意，，则有或， 解得或 11．（22-23高二下·上海徐汇·期中）（1）已知、为正整数，，求证：： （2）已知、为正整数，求证：； （3）、为正整数，，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证； （2）由组合数的性质可证明； （3）利用（1）和（2）的结论，及可证明. 【详解】（1）， . （2）由知， . （3）由（1）可知，时，， 而， 故， ， 故，其中. 12．（25-26高三上·上海·期中）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的运算性质即可求证. 【详解】因为左边 右边. 所以. 一、单选题 1．（21-22高三下·上海奉贤·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分有非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，所以或， 因此“”是“”的充分非必要条件， 故选：A． 2．（22-23高二上·上海静安·期中）从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列组合的意义逐一检查选项即可. 【详解】对于A，从30名儿童中选3名扮演三种小动物，相当于从30个元素中挑选出3个元素进行排列，是一个排列问题，故不同的编排方法为，故A正确； 对于B，表示的意思是从相当于从30个元素中挑选出3个元素，没有排列，故B错误； 对于C，，，由A选项可知其错误，故C错误； 对于D，，由B选项可知其错误，故D错误. 故选：A. 3．（21-22高二上·上海奉贤·期中）已知为不同数字的种类，如等，求所有的256个 排列所得到的的总和是（    ） A．450 B．720 C．374 D．700 【答案】D 【分析】利用排列组合原理分类讨论进行求解. 【详解】的排列共有256种， 当时，即排列有1个数字，有4种情况， 当时，即排列中有2个不同的数字， 若有3个数字相同，有种情况， 若有2个数字相同，有种情况，此时有48+36=84种情况， 当时， 即排列中有3个不同的数字， 有种情况， 当时， 即排列有4个不同的数字， 有种情况， 则的总和是700， 故选：D. 4．（2008·上海·高考真题）组合数恒等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 二、填空题 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则正整数 . 【答案】3 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】由，得或，解得或， 所以正整数. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海静安·期末）圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出 个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是 ． 【答案】 10 由可以组成多少个没有重复数字的三位数.(答案不唯一) 【分析】利用组合数知识解决第一空，设出问题解决第二空即可. 【详解】易知圆上的点必定不共线，故三点可以构成一个三角形， 故一共可画的三角形的个数为， 显然这个问题可以是由可以组成多少个没有重复数字的三位数. (答案不唯一) 故答案为：10；由可以组成多少个没有重复数字的三位数.(答案不唯一) 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）若则正整数n的值为 ． 【答案】 【分析】由组合数的公式可得，解方程即可得出答案. 【详解】由可得， 则，解得：或. 故答案为：. 8．（22-23高二下·上海黄浦·期中）某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办盲盒”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办盲盒.若某同学从一箱中随机购买2个手办盲盒，则能买到稀有手办盲盒的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据古典概型概率公式和对立事件的概率公式可求出结果. 【详解】不能买到稀有手办盲盒的概率为， 则能买到稀有手办盲盒的概率为. 故答案为：. 9．（23-24高三上·上海嘉定·期中）若，则 . 【答案】 【分析】 根据排列数、组合数公式计算可得. 【详解】因为，即，所以， 因为，所以. 故答案为： 10．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 【答案】8 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 11．（23-24高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】12 【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序. 故答案为：12. 12．（24-25高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【分析】首先利用组合数求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为4的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为， 而这5个数的中位数是4的基本事件数为， 故这5个不同的数的中位数为4的概率为. 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·期中）已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 ．（结果用分数表示） 【答案】 【分析】根据古典概型相关知识结合组合数公式可解． 【详解】已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则有种选法， 则恰有2名男生和2名女生的选法有， 则恰有2名男生和2名女生的概率为． 故答案为： 14．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 【答案】 【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，结合题意转化为，进而转化为四个正整数的和为，结合隔板法，即可求解. 【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设， 则有恒等式， 其中，，，， 即，，，， 故式为， 上式四个正整数的和为，相当于个分成四组，运用隔板法，在个空中放块板，故有种方法． 故答案为：． 15．（23-24高二下·上海·期中）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 【答案】56 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出，再利用二项式定理结合组合数性计算即得. 【详解】由五位数满足，得，从2、3、4、5中任取两个分别作，另两个为， 因此，的展开式中的系数为： . 故答案为：56 16．（24-25高二上·上海·期中）从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 . 【答案】 【分析】根据正六棱柱的特征分类讨论结合古典概型计算即可. 【详解】 选择任意一条对角线， 若第二条对角线与其在同一个侧面上，则显然与之共面，6个侧面有6组选法； 若第二条对角线与其相交且交点为棱柱的顶点，则12个顶点有12组选法； 若第二条对角线与其相交，但交点在延长线上，比如， （因为由正六棱柱的特征可知，即共面）， 即此类对角线位于间隔一个侧面的两个侧面上，即有6对侧面；； ；每组侧面上都有有2组相应对角线符合题意，共有12组选法； 若第二条对角线与其平行，如，即此类对角线位于平行的两个侧面上， 3对相应平行侧面，每个相对侧面2组平行对角线，共有6组选法， 所以共面的概率为. 故答案为：. 三、解答题 17．（21-22高二下·上海闵行·期末）求满足下列方程组的正整数的解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）（2）利用排列、组合公式列方程，并化简求值即可，注意n的范围. 【详解】（1）由，可得，而， 故，可得. （2）由，可得， 所以，则，而， 故. 18．（22-23高二下·上海静安·期末）（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：； （2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据. 【答案】（1）证明见解析； （2）过程见解析. 【分析】（1）根据组合数的计算公式直接展开计算证明； （2）根据题意列出实际问题，结合分类加法计数原理说理即可. 【详解】（1）等式左边， 等式右边 ， 等式左边=等式右边，原式得证. （2）计数问题：一个口袋内装有大小相同的8个白球和1个黑球，从口袋取出4个球，有多少种不同取法？ 解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法； 对于，即第一类为取4个白球，共种取法， 第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法， 共种取法. 所以与为该问题的两个不同的解法. 19．（21-22高二下·上海黄浦·期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走． (1)求甲从到达处的走法总数； (2)求甲乙两人在相遇的方法数． 【答案】(1)924种 (2)50625种 【分析】（1）甲从到达需要走12步，结合分步计算原理即可得到方法数； （2）分别求出甲经过的方法数，乙经过的方法数，即可得到甲乙在相遇的方法数. 【详解】（1）甲从出发走到需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数为种. （2）甲经过的方法数为种，乙经过的方法数为种， 所以甲乙两人在相遇的方法数为种. 20．（22-23高二下·上海闵行·期末）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 (1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? (2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合间接法，结合组合数的计算公式，即可求解； （2）求得同一种类的书互不相邻的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：从这7本书中随机取出2本书，共有种取法， 从4本科技类书中任取2本书，共有种取法， 所以至少取到1本文艺类书的取法，共有种不同的取法. （2）解：把7本书进行全排列，共有种排法， 其中同一种类的书互不相邻，共有种排法， 所以同一种类的书都互不相邻的概率是. 21．（2002·上海·高考真题）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1) (2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的是否只能是整数即可； （3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明. 【详解】（1） （2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数 证明：当时，有， 当时， （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以 证毕. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$