第06讲 组合（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）讲义【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学沪教版选择性必修第二册重难点讲义与测试

第06讲 组合 知识清单 知识点01：组合及组合数的定义 知识点02：排列与组合的关系 知识点03：组合数公式 知识点04：组合数的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：组合数的计算 题型2：利用组合数公式证明 题型3：组合数方程和不等式 题型4：组合数的性质及应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点02排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点03组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点04组合数的性质 性质1：C＝C 性质2：C＝C＋C 题型1：组合数的计算 【例1-1】可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式判断即可. 【详解】，， ，. 故选：D 【例1-2】从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是_____． 【答案】 【分析】求出样本空间中所有样本点，再利用对立事件与古典概型计算可得结果. 【详解】八个顶点中任取两个不同的顶点有种， 所取两点间距离分别为,其中两点间距离为的情况有4种, 则所取两点间距离不超过的概率是， 故答案为： 【例1-3】设，求的值. 【答案】4或7或11 【分析】根据组合数公式的意义可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， ∵，∴或或， 当时原式值为4；当时原式值为7； 当时原式值为11. 所以的值为4，或7，或11. 【变式1-1】（24-25高二下·上海静安·期末）下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据排列，组合的定义，逐一分析各个等式即可. 【详解】对①，由，可知等式①不成立； 对②，由阶乘的定义，得，等式②成立； 对③，由排列组合的定义可知：等式左边， 等式右边，等式③成立； 对④，等式左边, 等式右边=， 与左边相等，等式④成立. 综上，等式②、③、④成立，等式①不成立，成立的个数为 3. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知为正整数．若，则______． 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式求解 【详解】由得,则, 故答案为： 【变式1-3】设n为正整数，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)4或7或11 (2)124 【分析】（1）根据题意列出不等式求出值，再分别计算即可. （2）根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n值，再利用组合数的性质计算即得. 【详解】（1）由题意知 ，， 又取2，3，4. 当时，值为4；当时，值为7；当时，值为11. （2）依题意，，即，解得， 所以，原式. 题型2：利用组合数公式证明 【例2-1】下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A．，等式成立； B．，， 所以成立； C．， ，所以成立； D． ，所以成立. 故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：. 【例2-2】求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据组合数公式推导可得. 【详解】由组合数公式可知， 等式成立. 【例2-3】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用组合数公式两边分别计算即得. 【详解】， ， 所以. 【变式2-1】证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数公式分析证明. 【详解】由题意可得： ， 所以. 【变式2-2】m是自然数，n为正整数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案. 【详解】根据组合数公式，可以得到． 【变式2-3】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】代入阶乘公式，化简证明. 【详解】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 题型3：组合数方程和不等式 【例3-1】设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数. 【详解】设，则， 又，， ，由得：， ，，，， 的值为. 故选：. 【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题. 【例3-2】若组合数满足，则正整数________. 【答案】 【分析】根据组合数公式列方程求参数值. 【详解】由且，则， 所以（负值舍）. 故答案为：8 【例3-3】（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助排列数公式计算即可得； （2）借助组合数公式计算即可得. 【详解】（1）， 即，则或， 由，即，故； （2），， 则有，化简得， 即， 解得，又，故， 即该不等式的解集为. 【变式3-1】已知，若，则__________. 【答案】7 【分析】利用组合数与排列数的计算公式列方程求解即得. 【详解】由可得， 则， 因，且，可得， 又，则可推得. 故答案为：7. 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由排列组合公式求解即可； （2）由排列组合公式求解即可； 【详解】（1）解：由， 可得, 所以， 解得； （2）解：由， 可得， 化简得， 解得或， 由题意可知， 所以. 【变式3-3】（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）（2）应用排列组合数公式及已知方程和不等式求参数值. 【详解】（1）由题设，且， 则，整理得， 所以或（不是整数，舍）. （2）由题设且， 所以，可得， 综上，整数的值为或. 题型4：组合数的性质及应用 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由,利用组合数性质计算即可. 【详解】, 故选:C. 【例4-2】（25-26高二下·上海·月考）设为正整数，若，则_____． 【答案】或 【详解】因为，则或， 解得或，又，得到，经检验，或均合题意， 所以或. 【例4-3】（1）计算：； （2）求证：＝++. 【答案】（1）210；（2）证明见解析 【分析】（1）利用组合数公式计算可得答案； （2）利用组合数公式计算可得答案. 【详解】（1）原式； （2）右边左边. 【变式4-1】（24-25高二下·上海松江·期末）已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·上海松江·月考）若，则______． 【答案】 【分析】利用二项式系数性质计算可得结果. 【详解】由二项式系数性质可得，即可得. 故答案为： 【变式4-3】（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）若，则正整数_________． 【答案】 【分析】利用组合数计算公式求解即可. 【详解】由可得， 化简可得， 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知，若，则________． 【答案】或 【分析】根据组合数的知识求得的范围，然后结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 由于，所以或， 解得或. 故答案为：或 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）若，则__． 【答案】 【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可 【详解】已知，由组合数公式可得. 分别讨论的取值， 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，满足条件. 当时，，满足条件. 当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为：或. 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）若，则_____. 【答案】3或4 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由有或，所以或. 故答案为：3或4. 5．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若，则______. 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知且，由可得， 整理可得，解得. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于n的方程的解为__________． 【答案】6 【分析】根据组合数的计算公式列出方程，再通过试数法求解三次方程即可． 【详解】， 由题知，， 当，， 当，， 当，， 当，，所以， 故答案为：6． 7．关于的方程的正整数解是__________ 【答案】8 【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 【答案】5 【分析】根据组合数以及排列数公式求解，即得答案. 【详解】由得且， 即，即， 故答案为：5 10．化简：______. 【答案】 【分析】由组合数公式可得，根据题意结合组合数的性质分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 11．从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______. 【答案】 【分析】根据正六棱柱的特征分类讨论结合古典概型计算即可. 【详解】 选择任意一条对角线， 若第二条对角线与其在同一个侧面上，则显然与之共面，6个侧面有6组选法； 若第二条对角线与其相交且交点为棱柱的顶点，则12个顶点有12组选法； 若第二条对角线与其相交，但交点在延长线上，比如， （因为由正六棱柱的特征可知，即共面）， 即此类对角线位于间隔一个侧面的两个侧面上，即有6对侧面；； ；每组侧面上都有有2组相应对角线符合题意，共有12组选法； 若第二条对角线与其平行，如，即此类对角线位于平行的两个侧面上， 3对相应平行侧面，每个相对侧面2组平行对角线，共有6组选法， 所以共面的概率为. 故答案为：. 12．从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得. 【详解】第一步，从这个数中任选个，共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的个数中选出个分给， 由题意可知，选出后“五位凹数”就确定了，共有种方法， 所以满足条件的“五位凹数”共有个， 故答案为：. 二、单选题 13．方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数的性质化简方程，即可得解. 【详解】因为，，， 则，或， 解得或， 即方程的解集为， 故选：A. 14．（24-25高二下·上海闵行·期末）北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（   ） A．12种 B．13种 C．19种 D．21种 【答案】C 【分析】利用对立事件的方法求得正确答案. 【详解】记出行日期为， 则两人的出行日期为，各有种方法， 所以两人出行的总的方案数有种， 其中，两人没有同一天的为： 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 小王，小李； 共种，则至少有一天同时出现在上海的有种. 故选：C 15． “”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据组合数知识得到方程，求出或3，得到答案. 【详解】，故或， 解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确化简，即可求解. 【详解】对于A中，由排列数的计算公式，可得， 所以A、B不正确； 对于C中，由组合数的计算公式，可得， 所以C正确，D不正确. 故选：C. 三、解答题 17．求满足等式的所有正整数k． 【答案】 【分析】 利用组合数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以或，解得或， 所以满足等式的值为. 18．利用组合数的性质化简：． 【答案】 【分析】根据组合数性质，可逐步抵消得出，计算即可. 【详解】利用组合数与杨辉三角之间的关系可知组合数性质为； 又易知， 所以 所以可得 19．解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或； （2）原方程可化为，即， ∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解. 20．（24-25高二下·上海·月考）（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 【答案】（1）3或7 （2） 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可； （2）根据排列数的公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以或， 解得：或 （2）因为，所以，， 解得： 21．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广． (1)求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由． (2)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 【答案】(1)，能，推广形式为，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义即可计算；分类讨论，和两种情况，结合组合数的性质即可证明； （2）当时，分，和三种情况讨论，结合组合数的性质即可证明． 【详解】（1）； 当时，，等式成立， 当时， ， 所以组合数性质能推广到（是正整数）的情形，推广形式为． （2）当时，因为是正整数，所以是个连续整数的乘积，而！是个连续正整数的乘积，所以， 当时，此时，那么， 所以， 当时，因为， 所以， 又因为组合数是正整数，所以，则， 综上，当是正整数时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 组合 知识清单 知识点01：组合及组合数的定义 知识点02：排列与组合的关系 知识点03：组合数公式 知识点04：组合数的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：组合数的计算 题型2：利用组合数公式证明 题型3：组合数方程和不等式 题型4：组合数的性质及应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点02排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 知识点03组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点04组合数的性质 性质1：C＝C 性质2：C＝C＋C 题型1：组合数的计算 【例1-1】可以表示为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是_____． 【例1-3】设，求的值. 【变式1-1】（24-25高二下·上海静安·期末）下列关于排列组合的等式成立的个数为（   ）． ① ； ②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）已知为正整数．若，则______． 【变式1-3】设n为正整数，求值： (1)； (2)． 题型2：利用组合数公式证明 【例2-1】下列四个组合数公式:对，约定,有 （1） （2） （3） （4） 其中正确公式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2-2】求证：． 【例2-3】求证：. 【变式2-1】证明：． 【变式2-2】m是自然数，n为正整数，且，求证：． 【变式2-3】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 题型3：组合数方程和不等式 【例3-1】设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）． A．11 B．10 C．9 D．8 【例3-2】若组合数满足，则正整数________. 【例3-3】（1）解方程：； （2）求关于的不等式的解集. 【变式3-1】已知，若，则__________. 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）解下列方程 (1) (2) 【变式3-3】（1）求满足方程的整数的值. （2）求满足不等式的整数的值. 题型4：组合数的性质及应用 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二下·上海·月考）设为正整数，若，则_____． 【例4-3】（1）计算：； （2）求证：＝++. 【变式4-1】（24-25高二下·上海松江·期末）已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【变式4-2】（24-25高二下·上海松江·月考）若，则______． 【变式4-3】（1）解不等式； （2）解方程. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）若，则正整数_________． 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知，若，则________． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）若，则__． 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）若，则_____. 5．（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若，则______. 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于n的方程的解为__________． 7．关于的方程的正整数解是__________ 8．（24-25高二下·上海宝山·期中）若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 9．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 10．化简：______. 11．从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______. 12．从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答） 二、单选题 13．方程的解集是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海闵行·期末）北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（   ） A．12种 B．13种 C．19种 D．21种 15． “”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 16．下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．求满足等式的所有正整数k． 18．利用组合数的性质化简：． 19．解方程： (1)； (2)解方程：. 20．（24-25高二下·上海·月考）（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 21．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广． (1)求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由． (2)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $