2 1.3 综合应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

1.3　综合应用 知识层面 1.理解同角三角函数的基本关系式及其变形．　2.会运用弦切互化求值．　3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、证明． 素养层面 通过同角三角函数基本关系的综合应用，培养学生逻辑推理、数学运算素养． 题型一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 例1　(链教材P148例4)已知sin θ＋cos θ＝.求sin θcos θ的值． 解：因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 即sin2θ＋2sinθcos θ＋cos2θ＝， 所以sinθcos θ＝－. [变式探究] 1．(变结论)已知本例条件不变，若0<θ<π，求sin θ－cos θ的值． 解：因为sin θ＋cos θ＝＞0，sin θcos θ＝－<0，0<θ<π， 所以sin θ＞0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝. 2．(变结论)已知本例条件不变，若0<θ<π，求tan θ的值． 解：因为sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝， 解得sin θ＝，cos θ＝， 所以tan θ＝＝－. 关于sin θ±cos θ与sin θcos θ的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．常涉及的三角恒等式有： 1．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 2．(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ. 3．(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2. 4．(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．　　 对点练1.(1)设sin θ－cos θ＝，则sin θ·cos θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ，sin θ－cos θ＝，所以sin θcos θ＝.故选D． (2)由题意可得2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，则2＝1－2sin θcos θ＝，由0<θ≤，可知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－.故选B． 题型二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 例2　(一题多解)(链教材P149例5)已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)； (2)2sin2α－sinαcos α＋cos2α. 解：(1)法一(代入法)：因为tanα＝2，所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 法二(弦化切)：因为tan α＝2，所以＝＝＝＝－. (2)2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝＝ ＝＝＝. 学生用书第109页　　 已知tanα的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 1．对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入． 2．对于形如或的分式，分子、分母同时除以cosα或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值． 3．对于形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，将其看成分母为1的分式，先将分母1变形为sin2α＋cos2α，再转化为形如的式子求值．　　 对点练2.(1)已知＝2，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D．3 (2)若sin α－3cos α＝0，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)依题意，2＝＝，解得tan α＝.故选C． (2)由sin α－3cos α＝0，得sin α＝3cos α，所以＝＝＝＝2.故选B． 题型三　三角函数式的化简 例3　化简： (1)－； (2)； (3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α. 解：(1)原式＝＝＝＝－2tan2α. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝＝＝. 三角函数式的化简技巧 1．化切为弦：即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． 2．对于含有根号：常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．　　 3．对于化简含高次的三角函数式：往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 对点练3.化简： (1)； (2)(＋)(1－cos α)； (3)·. 解：(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝(＋)(1－cos α) ＝＝＝＝sin α. (3)原式＝· ＝· ＝· ＝·＝＝ 题型四　三角恒等式的证明 例4　(链教材P149例7)(一题多解)求证：＝. 证明：法一：左边＝＝＝＝＝右边． 所以等式成立． 法二：右边＝＝ ＝＝＝＝左边． 所以等式成立． 证明三角恒等式常用的方法 1．化繁为简法：从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． 2．左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． 3．化异为同法：即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． 4．变更命题法：如要证明＝，可证ad＝bC． 5．比较法：如证明“左边－右边＝0”或“＝1”．　　 学生用书第110页 对点练4.(一题多解)求证：＝(其中sin x≠0). 证明：法一(作差法)：因为sin x≠0， 所以cos x≠－1， 因为－＝＝＝0， 所以＝. 法二：由sin 2x＋cos 2x＝1， 所以sin 2x＝1－cos 2x＝(1＋cos x)(1－cos x)， 因为sin x≠0，所以cos x≠－1， 所以＝. 知识 1.同角三角函数基本关系式的变形.2.同角三角函数的综合应用 方法 “1”的代换、配方法、整体代换法、化繁为简法、左右归一法、变更命题法 易错误区 忽略题目中本身的取值范围导致出错 1．化简的结果是(　　) A．cos160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° 答案：D 解析：＝＝|cos160°|＝－cos 160°.故选D． 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A． B． C．1 D． 答案：C 解析：原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.故选C． 3．已知sinα＋cos α＝3cos αtan α，则cos2αtanα(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3cos α·，即sin αcos α＋cos 2α＝3cos αsin α，即cos 2α＝2cos αsin α，显然cos α≠0，所以cos α＝2sin α，则tan α＝，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，所以cos 2αtan α＝×＝.故选D． 4．如果tan α＝1，那么＝________． 答案：3 解析：由tan α＝1，得＝＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$