10 5.3 利用数量积计算长度与角度-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

5.3　利用数量积计算长度与角度 知识层面 1.进一步熟悉向量数量积的定义及其坐标表示．　2.会利用向量数量积解决有关长度与角度的综合问题． 素养层面 通过利用数量积计算长度与角度，培养学生数学运算与逻辑推理素养． 题型一　向量长度的计算 例1　(链教材P111例5)已知向量a＝(1，0)，b＝，θ∈，则|a＋b|的取值范围是________． 答案： 解析：因为a＝(1，0)，b＝＝(cos θ，cos θ)，所以a＋b＝(1＋cos θ，cos θ)，因为θ∈，所以－1≤cos θ≤，所以＝＝∈，因此的取值范围是. 向量模长的最值与范围问题的求解策略 1．根据＝将其转化为有关量的函数，利用函数的性质求最值或范围． 2．利用向量数量积的定义或其几何意义，结合图形找到角的范围，进而确定向量模的最值或范围． 　　 对点练1.若向量a，b满足：＝1，⊥a，＝，则＝(　　) A．2 B． C．10 D． 答案：B 解析：因为向量a，b满足：＝1，⊥a，＝，则·a＝a2＋a·b＝1＋a·b＝0，所以a·b＝－1，所以2＝4a2－4a·b＋b2＝4＋4＋2＝10，解得＝.故选B. 对点练2.在如图所示的平面直角坐标系中，已知A(1，0)，||＝1，且∠AOC＝，其中O为坐标原点．设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值． 解：设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意可得C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝＋(0≤t≤1)， 所以当t＝时，|＋|取得最小值. 题型二　向量夹角的计算 例2　(链教材P112例8)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝. (1)求a与b的夹角θ； (2)求a－b与a＋b的夹角α的余弦值． 解：(1)由(a－b)·(a＋b)＝，得|a|2－|b|2＝， 因为|a|＝1，所以|b|＝. 又a·b＝，所以cos θ＝＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)因为(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝， 所以|a－b|＝. 因为(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝， 所以|a＋b|＝. 所以cos α＝＝＝. 1．利用数量积求两向量夹角的步骤 　　 2．求两向量夹角的注意点 (1)两向量夹角的范围是[0，π]. (2)两向量夹角余弦值的公式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝＝.选用定义式还是坐标形式，要根据所给条件而定． 对点练3.(1)已知平面向量a＝，b＝，若实数m，n满足mn＝－1，则a＋mb与a＋nb的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)已知单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1，则a，b的夹角等于(　　) A． B． C． D． 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为a＝，b＝，所以a＋mb＝，a＋nb＝，又mn＝－1，所以·＝·＝＋＝2＋2mn＝0，即⊥，所以a＋mb与a＋nb的夹角为.故选B. (2)由单位向量e1，e2的夹角为，得e1·e2＝1×1×cos ＝，a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2e－e1·e2＋e＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，于是得cos 〈a，b〉＝＝＝－，而〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以a，b的夹角等于.故选C． 学生用书第82页 题型三　平面几何中的长度与夹角问题 例3　(一题多解)(链教材P112例7)已知点A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，试用向量的方法判断△ABC的形状． 解：法一 (利用向量的模) 因为A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)， 所以＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)， 所以||＝＝＝4， ||＝＝＝2，||＝＝＝10， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是直角三角形． 法二(利用向量的夹角) 因为点A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，所以＝(8，－4)，＝(2，4)， 所以·＝(8，－4)·(2，4)＝16－16＝0， 所以⊥，即∠A＝， 所以△ABC是直角三角形． 用向量法解决平面几何问题 根据平面图形的特征：(1)若适合建立坐标系时，建系后用向量的坐标表示解决．(2)若不具备建系条件时，用基向量思想求解．　　 对点练4.已知非零向量与满足(＋)·＝0，且＝，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 答案：D 解析：因为(＋)·＝0，所以角A的角平分线所在的向量与垂直，所以△ABC为等腰三角形．又＝，所以cos A＝，所以A＝.故△ABC为等边三角形．故选D. 知识 1.用向量数量积解决长度问题.2.用向量数量积解决夹角问题 方法 化归与转化、数形结合 易错误区 构造函数求最值与范围时，没有考虑自变量的取值范围 1．已知向量u＝(x＋2，3)，v＝(x，1)，当f(x)＝u·v取得最小值时，x的值为(　　) A．0 B．－1 C．2 D．1 答案：B 解析：f(x)＝u·v＝(x＋2)x＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝－1时，f(x)取得最小值2.故选B. 2．正方形ABCD的边长为1，则|＋2|＝(　　) A．1 B．3　 C． D． 答案：D 解析：在正方形ABCD中，如图所示，因为|＋2|2＝(＋2)2＝2＋4·＋42＝1＋0＋4＝5，所以|＋2|＝.故选D. 3．设P1(1－sin α，0)，P2(0，－cos α)，则|－|的最大值是(　　) A．1 B． C． D．2 答案：D 解析：因为P1(1－sin α，0)，P2(0，－cos α)，所以－＝(1－sin α，cos α)，(－)2＝(1－sin α)2＋cos2α＝2－2sinα，当sin α＝－1时，(－)2取得最大值为2－2×(－1)＝4，所以|－|的最大值是2.故选D. 4．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝__________． 答案： 解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$