3 2.2 向量的减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

2. 2　向量的减法 知识层面 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的定义．　2．掌握向量减法的几何意义．　3．能熟练地进行向量的加、减的综合运算． 素养层面 通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养学生数学抽象和直观想象素养；通过向量减法法则的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　向量的减法 问题1.在实数的运算中，实数α减去实数β等于α加上实数β的相反数．即：α－β＝α＋(－β).类比实数的减法，在向量的运算中，两向量a，b相减，会有什么结论成立呢？ 提示：a－b＝a＋(－b)，－b是b的相反向量． 向量的减法 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b). 2．向量减法的作图 如图所示，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝. 3．几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b． [微提醒]　(1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减向量”．(2)两个向量的差仍是一个向量． 角度1　作两个向量的差向量 例1　(一题多解)(链教材P88例4)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c， 则＝a＋b－c． 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c． 学生用书第60页 求作两个向量的差向量的两种思路 1．转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． 2．直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　 对点练1.如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c． 解：如图所示，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b， 再作向量＝c，则向量＝a－b－c． 角度2　向量减法的运算 例2　化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－). 解：(1)＋－＝－＝. (2)(－)－(－)＝－＋－＝＋＋＝＋＝－＝0. (3)(＋＋)－(－－)＝＋－＝－＝0. 化简向量的和差的方法 1．如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． 2．可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． 3．化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．　　 对点练2.化简下列各向量的表达式： (1)－－－； (2)－＋－. 解：(1)原式＝(＋)＋(－)＝＋(－)＝＋＝－＝0. (2)原式＝＋－＝－＝. 知识点二　向量减法的三角不等式 问题2.如果a∥b，怎样作出a－b呢？ 提示： 　 问题3.结合问题2，探索|a|，|b|与|a－b|之间的大小关系如何． 提示：若a与b方向相反，|a－b|＝|a|＋|b|；若a与b方向相同，|a－b|＝||a|－|b||；若a与b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. 问题4.若a，b是不共线向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 提示：如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 向量减法的三角不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 例3　如图，已知向量a，b，c，d. (1)求作a－b－c＋d； (2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a－e|的最大值． 解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a－b－c＋d. (2)由向量三角不等式知|a－e|≤|a|＋|e|＝3， 当且仅当a，e反向时等号成立， 故|a－e|的最大值为3. 学生用书第61页　　 利用向量减法的三角不等式解题的关键是根据所给的向量构造合适的三角不等式进行求解．　　 对点练3.(多空题)若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a－b|的取值范围是________． 答案：(0，4]　[2，6] 解析：因为0＝||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0，4].因为|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＝4，且|a＋b|＝2，所以得2≤|a－b|≤6，所以|a－b|的取值范围是[2，6]. 向量加、减法的应用 例4　(链教材P89例6)如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b， 所以＝＋＝b－a＋c． 在图形中用已知向量表示其他向量的步骤 第一步：观察各个向量在图形中的位置； 第二步：把要表示的向量放入三角形或平行四边形中； 第三步：运用法则进行表示； 第四步：若表示结果中还有不是指定向量，重复上面步骤． 对点练4.如图所示，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c 答案：C 解析：根据向量运算法则可得＝＋＝－＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝b－a＋c．故选C． 知识 1.向量的减法运算.2.向量减法的几何意义．3.向量减法的三角不等式 方法 数形结合 易错误区 忽略向量共起点时才可用向量的减法 1. －－＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：－－＝＋＋＝＋＋＝. 2．(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　) A．＋ B．－ C．－ D．－ 答案：AD 解析：由向量的线性运算法则得，对于A，＋＝，所以A符合题意，B不符合题意；对于C，－＝，对于D，－＝，故C不符合题意，D符合题意．故选AD. 3．如图所示，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B.b－(a＋c) C．a＋b＋c D.b－a＋c 答案：A 解析：＝＋＋＝a－b＋c．故选A． 4．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 答案：矩形 解析：根据题意得，＋＝，－＝，因为＝，即＝，所以平行四边形的对角线相等，所以该平行四边形为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$