2 2.1 向量的加法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 知识层面 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义．　2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算的向量．　3.了解向量加法的运算律，并能够利用加法的运算律解决问题． 素养层面 通过向量加法的平行四边形法则和三角形法则的学习，提升学生直观想象素养；通过向量加法运算律的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　向量加法的定义 问题1.物体在天车(生产车间或工地起重作业设备)的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成，请画出位移的合成． 提示：如图所示． 问题2.假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示． 张先生的两次位移、的结果a，b与从点A直接到点C的位移，即c相同． 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． 3．向量加法的三角形法则：如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 学生用书第57页 4.由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. [微思考]　对任意的两个向量a，b，，＋，－之间具有怎样的大小关系呢？能否通过作图进行解释呢？ 提示：它们之间的关系为||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 当a，b为非零向量时，作图解释如下： (1)如图①，当a，b不共线时，由三角形任意两边之和大于第三边，得|a|＋|b|>|a＋b|；由三角形任意两边之差小于第三边，得||a|－|b||<|a＋b|. (2)如图②，当a与b同向共线时，此时|a＋b|＝|a|＋|b|； (3)如图③，当a与b反向共线时，不妨设|a|>|b|，此时|a＋b|＝|a|－|b|. 由于零向量也满足此式，故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 例1　(一题多解)(链教材P85例1) (1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c． 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一(三角形法则)：如图①所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c． 法二(平行四边形法则)：如图②所示，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c． 用三角形法则求作和向量，关键是抓住“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．　　 对点练1.如图所示，按下列要求作答： (1)以A为始点，作出a＋b； (2)以B为始点，作出c＋d＋e； (3)若图中小正方形边长为1，求，. 解：(1)将a，b的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出a＋b，如图所示： (2)先将共线向量c，d的起点同时平移到B点，计算出c＋d，再平移向量e与之起点相同，利用平行四边形法则即可作出c＋d＋e，如图所示： (3)由a是单位向量可知＝1，根据作出的向量利用勾股定理可知， ＝＝. 由共线向量的加法运算可知＝＝＝1. 知识点二　向量加法的运算律 问题3.实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝， a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 问题4.实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： a＋b＝＋＝，b＋a＝＋＝，所以a＋b＝b＋A． 向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [微提醒]　(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立．(2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行． 例2　(一题多问)化简下列各式： (1)＋； (2) ＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：(1)＋＝＋＝. (2) ＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 学生用书第58页 1．向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 2．化简应用原则 通过向量加法的交换律，使向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．　　 对点练2.如图所示，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. 向量加法的实际应用 例3　(链教材P85例2)一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置． 解：如图所示， 设，分别表示直升飞机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋. 在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km. 在Rt△ACD中，||＝(20＋40)km＝60 km，||＝ ＝40 km，∠CAD＝60°， 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km的C处． 应用向量解决实际问题的基本步骤 第一步(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．　　 对点练3.如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示， 则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. 所以||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||cos 60°＝10×＝5(N). 所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 知识 1.向量加法的定义.2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则.3.向量加法的运算律 方法 数形结合、平行四边形法则、三角形法则 易错误区 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点 学生用书第59页 1．化简：＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝.故选C． 2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 答案：B 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是，所以即为所求的向量．故选B. 3．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B. 4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________ km；向量a＋b的方向为________． 答案：8　东北 解析：如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8(km).因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北． 学科网（北京）股份有限公司 $$