1 1.1 位移、速度、力与向量的概念&1.2 向量的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　从位移、速度、力到向量 1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 知识层面 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义．　2．理解平面向量的几何表示和基本要素，会用字母表示向量．　3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角． 素养层面 通过学习向量的有关概念，提升学生数学抽象素养；通过物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，会用有向线段表示向量，提升学生直观想象素养． 知识点一　向量的概念与表示 问题1.观察下列三个情境中反映的物理量有什么共同的特点． 情境1　学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2 000 m，从小明家到学校，可能有长短不同的几条路，无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图①). 情境2　某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速率为v＝28.35 m/s(如图②). 情境3　汽车沿倾斜角为θ的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F(如图③). 提示：三个情境中反映的物理量有位移、速度和力，这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同，在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小又有方向的量还有很多，如加速度、动量等． 1．向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量． (2)数量：只有大小没有方向的量． 2．向量的表示 (1)具有方向和长度的线段称为有向线段，如图，以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. (2)向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 3．零向量与单位向量 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 [微思考]　向量就是有向线段吗？向量能比较大小吗？ 提示：有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 例1－1　下列说法中，正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的方向都是相同的 学生用书第53页 C．单位向量都是同方向的 D．单位向量的长度都相等 答案：D 解析：对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误；对于B，零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故C错误；对于D，长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故D正确．故选D. 例1－2　(链教材P79例1)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，； (2)求||. 解：(1)向量，，如图所示． (2)由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km. 1．对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 2．作向量的方法：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．　　 对点练1.下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量的方向与大小都相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案：C 解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．故选C． 对点练2.(一题多问)在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向； (4)，使||＝3，点D在点C正南方向． 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据直角三角形的性质可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量，如图所示． (4)易知∠BCD＝30°，又||＝3，结合(3)中数据并根据直角三角形的性质可得，点D在点B的正东方向，点D距点B的横向小方格数为3，于是点D的位置可以确定，画出向量，如图所示． 知识点二　向量的基本关系 问题2.在物理学中，两个物体运动速度相等是指它们的方向相同、大小相等；两个力相等不仅包括方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子你能探究数学中相等向量的条件吗？ 提示：相等向量的条件是它们的长度相等且方向相同． 向量的基本关系 相等向量 指它们的长度相等且方向相同．向量a与b相等，记作a＝b 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量，向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 学生用书第54页 [微思考]　如果a＝b，b＝c，那么a＝c吗？如果a∥b，b∥c，那么a∥c吗？ 提示：如果a＝b，b＝c，那么a＝c，即相等向量具有传递性；如果a∥b，b∥c，那么a与c不一定是平行向量．因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥C． 例2　(一题多问)(链教材P80例2)如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC． 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 相等向量与共线向量的探求方法 1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． 2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量．　　 对点练3.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，下列说法： ①，，，，，都是单位向量； ②∥，∥； ③与相等的向量有3个； ④与共线的向量有3个； ⑤与向量长度相等、方向相反的向量为，，. 其中正确的是________(填序号). 答案：①②④⑤ 解析：①因为两菱形的边长都为1，故①正确；易知②正确；③与相等的向量是，，有两个，故③错误；④与共线的向量是，，，有3个，故④正确；易知⑤正确． 知识点三　向量的夹角 问题3.在等边三角形ABC中，边AB，BC的夹角是多少？而向量，的夹角与边AB，BC的夹角相等吗？ 提示：边AB，BC的夹角是60°；向量，的夹角与边AB，BC的夹角不相等，，的夹角是120°. 向量的夹角 1．夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥A． [微提醒]　两个向量的夹角必须满足这两个向量的起点相同． 例3　(一题多问)(链教材P81例3)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，指出下列各组向量的夹角． (1)与；(2)与；(3)与. 解：(1)与的夹角是∠COD＝90°. (2)与的夹角是∠CBD＝45°. (3)如图，延长AC至C′，则与的夹角等于与的夹角，即∠C′CD＝135°. 学生用书第55页 求向量的夹角的注意点 1．方向性：根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角． 2．范围：向量夹角的范围为[0，π].　　 对点练4.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． (1)分别写出与，与夹角的大小； (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小． 解：(1)因为∥且与方向相反， 所以与的夹角为180°. 又AC⊥BE，所以与的夹角为90°. (2)因为＝，＝， 所以与的夹角为∠COD＝60°. 因为＝，所以与的夹角为∠AFE＝120°. 向量基本关系的综合应用 例4　(一题多问)如图所示，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中． (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)写出与的夹角为90°的向量； (5)写出与的夹角． 解：(1)由题意知，因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 由题可得＝＝，＝＝. (2)与共线的向量有，，，. (3)与的模相等的向量有，，，，，，，. (4)与的夹角为90°的向量有，，，. (5) 与的夹角为与的夹角，等于45°. 理解并熟练掌握共线向量、相等向量、相反向量、向量的模、向量的夹角的概念；明确相等向量、相反向量都是共线向量．　　 对点练5.(多空题)如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： (1)与相等的向量有________； (2)与共线，且模相等的向量有_____________________； (3)与的夹角为 ____________；与的夹角为 ____________． 答案：(1)，　(2)，，，，　(3)120°　90° 解析：(1)由图可知，与相等的向量有，.(2)由图可知，与共线，且模相等的向量有，，，，. (3)根据向量夹角的定义，与的夹角为120°；根据对称性⊥，则与的夹角为90°. 知识 1.向量的概念及表示.2.向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角 方法 数形结合 易错误区 零向量和单位向量的方向容易混淆，向量夹角的大小易求错 学生用书第56页 1．下列各物理量表示向量的是(　　) A．质量 B．距离 C．力 D．温度 答案：C 解析：由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、温度都为数量．故选C． 2．下图中与向量a相等的向量是(　　) A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c 答案：D 解析：由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件．故选D. 3．如果一架飞机向西飞行150 km，再向北飞行350 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则(　　) A．s> B．s＝ C．s< D．s与不能比较大小 答案：A 解析：由题意知，作图如图所示： 则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则AB＝150 km，BC＝350 km，a＝，则飞机飞行的路程为s＝500 km，＝＝50 km，所以s>.故选A． 4．在等腰Rt△ABC中，A＝90°，则向量与的夹角为________． 答案：135° 解析：如图所示，延长AB至B′，则与的夹角为与的夹角，即∠B′BC＝135°. 学科网（北京）股份有限公司 $$