2 2.1 角的概念推广&2.2 象限角及其表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　任意角　 2．1　角的概念推广　2.2　象限角及其表示 知识层面 1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义．　2.理解象限角的概念、特征及其表示方法．　3.理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角． 素养层面 通过角的概念的推广的学习，培养学生数学抽象素养；通过象限角、终边相同的角的表示，提升学生直观想象和数学运算素养． 知识点一　角的概念推广 问题1.在生活中，拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧．可以旋转一圈，也可以旋转多圈，那么如何描述这种现象呢？ 提示：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，按顺时针方向旋转一周所成的角为－360°，按逆时针方向旋转一周所成的角为360°. 问题2.如图所示的时钟慢了5分钟，校准时钟的过程中分针、秒针分别转过多少角度？ 提示：校准时钟的过程中分针、秒针分别转过的角度为－30°，－1 800°. 1．角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.如图所示，其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角；零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0° [微思考]　如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得的新角的终边与原角的终边有什么关系呢？ 提示：它们的终边重合． 例1　写出图①，②中的角α，β，γ的度数． 解：在题图①中，α＝360°－30°＝330°； 在题图②中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 学生用书第5页 1.理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两点注意 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：在写出图中角的度数时要注意角的始边和旋转的方向．箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． 　对点练1.如图所示，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°到OC处，求角β. 解：∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 知识点二　象限角及其表示 问题3.我们把角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边可以在什么位置呢？ 提示：角的终边可以在坐标轴上也可以在每个象限内． 象限角的概念 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． [微思考]　第二象限角比第一象限角大吗？ 提示：不一定．如120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°＜390°. 例2　(链教材P6例 1)(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° (2)下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 答案：(1)AB　(2)D 解析：(1)－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．故选AB． (2)对于A，终边与始边重合的角为0°＋k·360°，故A错误；对于B，终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故B错误；对于C，小于90°的角可能是0°，还可能是负角，故C错误；对于D，因为集合内的角包含90°直角，所以不一定是钝角，故D正确．故选D． 象限角的判定方法 1．当0°≤α＜360°时，直接写出结果． 2．当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限．　　 对点练2.(1)若α＝k·180°＋60°，k∈Z，则α所在象限是(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 (2)(多选)下列叙述不正确的是(　　) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第四象限角比第一象限角大 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案：(1)A　(2)ACD 解析：(1)当k＝2n，n∈Z时，α＝60°＋n·360°，n∈Z，又60°为第一象限角，所以α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝240°＋n·360°，n∈Z，又240°为第三象限角，所以α为第三象限角．故选A． (2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于300°是第四象限角，390°是第一象限角，300°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD． 学生用书第6页 知识点三　终边相同的角 问题4.我们把角的概念推广到了任意角，角60°，420°，－300°，1 140°有什么内在联系？ 提示：通过作图可以看出60°，420°，－300°，1 140°的终边相同．且420°＝360°＋60°，－300°＝－360°＋60°，1 140°＝360°×3＋60°. 问题5.给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示：给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． [微思考]　终边相同的角一定相等吗？ 提示：不一定．如30° 与390°角的终边相同，但并不相等． 例3　(链教材P7例3)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来： (1)120°；(2)－225°. 解：(1)与120°终边相同的角的集合为{β|β＝120°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤120°＋k·360°<360°，可得－≤k<， 当k＝－2时，β＝120°－2×360°＝－600°， 当k＝－1时，β＝120°－360°＝－240°， 当k＝0时，β＝120°， 所以适合不等式－720°≤β<360°的元素β为－600°、－240°、120°. (2)因为－225°＝135°－360°， 所以与－225°终边相同的角的集合为{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤135°＋k·360°<360°，可得－≤k<， 当k＝－2时，β＝135°－2×360°＝－585°， 当k＝－1时，β＝135°－360°＝－225°， 当k＝0时，β＝135°. 所以适合不等式－720°≤β<360°的元素β为－585°、－225°、135°. 1．求终边落在直线上的角的集合的步骤 第一步：写出在0°～360°范围内相应的角； 第二步：由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 第三步：根据条件能合并的一定合并，使结果简洁． 2．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　 对点练3.与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．k·360°＋220° B．k·360°＋240° C．k·360°＋60° D．k·360°＋260° 答案：B 解析：因为600°＝360°＋240°，所以600°角与240°角的终边相同，所以与600°角终边相同的角可表示为k·360°＋240°.故选B． 对点练4.写出终边在x轴上的一切角的集合． 解：因为与α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴正半轴的一切角的集合为A＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}， 终边在x轴负半轴的一切角的集合为B＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的一切角的集合为 A∪B＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． 学生用书第7页 区域角的表示 例4　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)： 解：由题图①可知，这是对顶角区域的表示问题，结合图象，终边落在阴影部分的角的集合可表示为 {α|k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°或k·360°＋225°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α|n·180°＋45°≤α≤n·180°＋90°，n∈Z}． 由题图②可知，在－180°～180°的范围内，阴影部分为－150°～120°，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；　　 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合． 对点练5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解：由题图①可知，终边落在阴影部分的角的集合为{α|135°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}． 由题图②可知，终边落在阴影部分的角的集合为{β|45°＋k·360°≤β<135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|225°＋k·360°≤β<315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|45°＋k·180°≤β<135°＋k·180°，k∈Z}． 知识 1.角的概念的推广.2.象限角与终边相同的角的概念与应用 方法 数形结合、分类讨论 易错误区 锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z 1．与－67°角终边相同的角是(　　) A．23° B．113° C．203° D．293° 答案：D 解析：与－67°终边相同的角一定可以写成－67°＋360°·k的形式，其中k∈Z，令k＝1可得，－67°与293°终边相同，其他选项均不符合题意．故选D． 2．－1 000°的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为－1 000°的终边与－1 000°＋360°×3＝80°相同，所以终边在第一象限．故选A． 3．(多选)下列命题不正确的是(　　) A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小 C．互为相反数的两个角关于x轴对称 D．锐角都是第一象限角 答案：AB 解析：对于A，0°和360°终边相同，但角不同，故A错误；对于B，135°是钝角，－135°是第三象限角，故B错误；对于C，α与－α关于x轴对称，故C正确；对于D，锐角的范围是，都是第一象限角，故D正确．故选AB． 4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是____________． 答案：{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} 解析：观察图形可知，角α的集合是{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $$