1 §1 周期变化-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§1　周期变化 知识层面 1.了解现实生活中的周期现象，并能判断其周期．　2.了解周期函数的概念与最小正周期的意义．3.会利用函数的周期性解决问题． 素养层面 通过对周期函数的概念的理解，培养学生数学抽象素养；通过对周期函数的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　周期变化现象 问题1.“天津之眼”摩天轮的直径为110米，旋转一周需28分钟，顶点高度为119.8米．如果你从最低点登上摩天轮，你与地面的距离随时间的变化而变化，这种现象是周期现象吗？转两圈需要多少时间？ 提示：是周期现象，且转两圈需要56分钟． 例1　判断下列现象是否为周期现象，并说明理由． (1)地球的自转； (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； (3)钟表的秒针的转动； (4)某段高速公路每天通过的车辆数． 解：(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象． (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1，2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象． (3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象． (4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象． 周期现象的判断关键点：“间隔相同，现象(或值)重复出现”、“周而复始”等特征．　　 对点练1.下列现象不是周期现象的是(　　) A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行 D．某同学每天上数学课的时间 答案：D 解析：对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，分针每隔一小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行是周期现象；对于D，某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象．故选D． 知识点二　周期函数 问题2.已知[x]表示不超过x的最大整数，画出下列函数的图象： (1)f(x)＝(－1)[x]；(2)f(x)＝x－[x]. 提示：(1)f(x)＝(－1)[x]的图象如图①所示． (2)f(x)＝x－[x]的图象如图②所示． 问题3.观察上面两个函数的图象，从图象上看两个函数有什么共同点？你能从数学角度得到什么性质？ 提示： f(x)＝(－1)[x] ：对任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变．这种变化是重复进行的，函数f(x)＝(－1)[x]的变化是周期性的，且f(x＋2)＝f(x). f(x)＝x－[x]：对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变．这种变化是重复进行的，函数f(x)＝x－[x]的变化也是一种周期变化，且f(x＋1)＝f(x). 1．周期函数与周期的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． 学生用书第2页 [微思考]　(1)是否所有的函数都是周期函数？ (2)周期函数的周期唯一吗？ (3)所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：(1)不是所有的函数都是周期函数，如y＝x＋1就不是周期函数． (2)周期函数的周期不唯一，若T为f(x)的周期，则nT(n∈N＋)也是f(x)的周期． (3)不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f(x)＝0，不存在最小正周期． 例2　(链教材P3例3，练习T3)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示． (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； (3)写出函数y＝f(x)的解析式． 解：(1)T＝1－(－1)＝2. (2)把y＝f(x)向左平移一个单位得y＝f(x＋1)的图象，如图所示． (3)y＝＝，x∈[－1，1]，所以y＝|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. 判定或证明函数f(x)是周期函数关键是找到满足周期函数定义中的非零常数T.　　 对点练2.造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是(　　) A．5.5天 B．7天 C．14天 D．20天 答案：B 解析：由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天亮度等级相同，所以此造父变星亮度变化的周期是7天．故选B． 对点练3.讨论函数y＝2 025＋(－1)n，n∈N是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 解：当n∈N时，该函数的取值为2 026，2 024，2 026，2 024，2 026，2 024，…，可见它是周期函数，且周期为T＝2. 函数的周期及其应用 例3　若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－f(x)，证明函数f(x)是周期函数，并求出其周期． 证明：由已知得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝－(－f(x))＝f(x)， 根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． [变式探究] 1．(变条件)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝，则函数f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：由已知得f(x＋2a)＝＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． 2．(变条件)若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f(x＋a)＝－，则函数f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 解：由已知得f(x＋2a)＝－＝－＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数． 学生用书第3页 周期函数的常用结论 已知a>0且a为常数，若函数y＝f(x)对定义域内任一实数x： 1．满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a； 2．满足f(x＋a)＝±，则f(x)的周期T＝2a； 3．满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的周期T＝2A．　　 对点练4.(一题多问)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调递增(或减)区间． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(－x)， 所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1，4k＋3](k∈Z). 知识 1.周期函数的概念.2.最小正周期的概念 方法 转化法、数形结合法 易错误区 周期函数不一定都有最小正周期 1．下列函数图象中，不具有周期性的是(　　) 答案：C 解析：因为C选项中x∈(－2，2)之间的图象在前后都没有重复出现，所以C选项的函数图象不具有周期性．故选C． 2．如果今天是星期三，则2 026天后的那一天是星期(　　) A．五 B．六 C．日 D．一 答案：B 解析：每隔七天循环一次，2 026＝7×289＋3，故2 026天后为星期六．故选B． 3．如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是(　　) A．2T B．T C． D． 答案：B 解析：因为整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T.故选B． 4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x有f(x)＝f(x＋6)，又当x∈(－3，3]时，f＝，则f的值为________． 答案：2 解析：因为f＝f，所以函数f的周期为T＝6，所以f＝f＝f(4)＝f，又当x∈时，f＝，所以f(－2)＝＝2，所以f＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$